2020高考試卷全國卷一

2020年全統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標口）副標題題號 -二三總分得分一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合4={%|%2-3%-4<0},B={-4,1,3,5},則4GB=（）A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}.若2=1+2i+i3，則|z|=（）A.0 B.1 C.夜 D.2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角4.形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）C.45+14A.45-1 B.，5-14.形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）C.45+14A.45-1 B.，5-1設O為正方形ABCD的中心，在O,的概率為（）A.5 B.2D.45+12A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線C.12.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度%（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（壬,匕）。=1,2,…，20）得到下面的散點圖：

100%100%20% 0!!!io 1.G 20 30由)溫度/t由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度l的回歸方程類型的是()A.y=a+bxB.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+blnx.已知圓第2+y2-6%=0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4.設函數(shù)f(%)=cos(3%+與在［-耳兀］的圖象大致如圖，則f(%)的最小正周期為()6A.皿 B.田 C.血.設出。％4=2，則4-a=()D.16A,工 B.1 D.16.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的九=()TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.17 B.19 C.21 D.23\o"CurrentDocument".設｛a｝是等比數(shù)列，且0+aO+a=1,a+q+a，=2,則a+a+a=（）vnJ 1 2 3 2 3 4 678、，\o"CurrentDocument"A.12 B.24 C.30 D.32.設工，F(xiàn),是雙曲線。：、2—返=1的兩個焦點,0為坐標原點,點尸在。上且|OP|=2,1 2 3則△。尸產(chǎn)2的面積為（）\o"CurrentDocument"A.z B.3 C.5 D.22 2.已知A,B,。為球O的球面上的三個點，。。1為△4BC的外接圓.若。。1的面積為4tt,AB=BC=AC=00v則球。的表面積為（）A.647r B.487r C.36tt D.32tt二、填空題（本大題共4小題，共20?0分）2%+y—2<0>.若％,y滿足約束條件｛%—y—120,則z=%+7y的最大值為.y+i>o,.設向量G=（L—1），b=（m+1,2m—4），若Gl，，則m=..曲線y=m％+l+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為..數(shù)列｛4｝滿足4+2+（-l）nan=3n-1,前16項和為540,則％=.三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）.某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標準分為A,5,C,。四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、3級品、。級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于。級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這

種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務？18.19.△4BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，口已知8=150°.18.19.(1)若a=V3c，b=2?,求△4BC的面積；(2)若s譏4+V3sinC=應，求C.2如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△4BC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點,UPC=90°.(1)證明：平面P4B1平面PAC；D(2)設DO=衣，圓錐的側(cè)面積為V3僅求三棱錐P-D.已知函數(shù)f(%)=ex—a(x+2).(1)當a=1時，討論f(%)的單調(diào)性；(2)若f(%)有兩個零點，求a的取值范圍..已知4,B分別為橢圓E：蛙+y2=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，AG-02禧=8.P為直線％=6上的動點，PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點.22.在直角坐標系xQy中，曲線加的參數(shù)方程為x=C0S：：,（t為參數(shù)）.以坐標原點為極1 y=sin就點，％軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4pcos6-16Ps譏6+3=0.（1）當k=i時，q是什么曲線？（2）當k=4時，求q與c2的公共點的直角坐標.23.已知函數(shù)f(%)=|3%+1|-2|%-1|.(1)畫出y=f(%)的圖象；(2)求不等式f(%)>f(%+1)的解集.第7頁，共19頁答案和解析.【答案】D【解析】解：集合4={%|%2-3%-4<0}=(-1,4),B=[-4,1,3,5},則4GB={1,3},故選：D.求解一元二次不等式化簡A，再由交集運算得答案.本題考查交集及其運算，考查一元二次不等式的解法，是基礎題..【答案】C【解析】【分析】本題考查了復數(shù)的定義以及復數(shù)模的求法，是基礎題.根據(jù)復數(shù)的定義化簡原式，并通過模長公式求解即可.【解答】解：z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,???|z|=V12+12=V2.故選：C..【答案】C【解析】解：設正四棱錐的高為九底面邊長為。，側(cè)面三角形底邊上的高為人%2=1ahf則依題意有：{, 2 ,、，h2=h72-(2)22因此有h,2-d)2=1。"04(a)2-2(瓦)-1=00a=&1(負值舍去)；2 2 a a a4故選：C.先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進而求解結(jié)論.本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題..【答案】A【解析】【分析】本題考查了古典概型概率問題，屬于基礎題.根據(jù)古典概率公式即可求出.【解答】解：O，A，B，C，D中任取3點，共有或=10，其中共線為A，O，C和B，O，D兩種，故取到的3點共線的概率為P=120=5，故選：A..【答案】D【解析】解：由散點圖可知，在10℃至40℃之間，發(fā)芽率y和溫度%所對應的點(居y)在一段對數(shù)函數(shù)的曲線附近，結(jié)合選項可知，y=a+譏幾%可作為發(fā)芽率y和溫度％的回歸方程類型.故選：D.直接由散點圖結(jié)合給出的選項得答案.本題考查回歸方程，考查學生的讀圖視圖能力，是基礎題..【答案】B【解析】解：由圓的方程可得圓心坐標C(3,0),半徑r=3；設圓心到直線的距離為力則過。(1,2)的直線與圓的相交弦長|4B|=2/7-五,當d最大時|4B|最小，當直線與CD所在的直線垂直時d最大，這時d=￡D|=V(3-1)2+(2-0)2=2V2,所以最小的弦長|4B|=2V32-(272)2=2,故選：B.由相交弦長|4B|和圓的半徑r及圓心C到過。(1,2)的直線的距離d之間的勾股關(guān)系，求出弦長的最小值，即圓心到直線的距離的最大時，而當直線與CD垂直時d最大，求出d的最大值，進而求出弦長的最小值.本題考查直線與圓相交的相交弦長公式，及圓心到直線的距離的最大時的求法，屬于中檔題..【答案】C

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是函數(shù)的周期的求法，運用排除法是迅速解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.由圖象觀察可得最小正周期小于于，大于個，排除4。；再對照選項B，C求得小代入f(-41)=0計算，即可得到結(jié)論.【解答】解：由圖象可得最小正周期小于兀-(-")=皿，大于2X(兀-妞)=皿，排除4,D；9 9 9 9由圖象可得/■(-：)=3$(-彳3+6)=0,即為一彳3+6=上兀+：,kez,(*)若選B，即有3=言=?,由-y*?+：=上兀+1可得k不為整數(shù)，排除B；6若選C,即有3=膂=3，由-mx3+4=而+巴可得上=-1,成立.3 2 9 2 6 2故選：C..【答案】B【解析】【分析】本題考查了對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題.直接根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)即可求出.【解答】則10g34a=2,則4a=32=9解：因為出。034則10g34a=2,則4a=32=9故選：B..【答案】C【解析】解：九=1,S=0,不滿足退出循環(huán)的條件，九=3；不滿足退出循環(huán)的條件，九=5；不滿足退出循環(huán)的條件，九=7；第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=1,第二次執(zhí)行循環(huán)體后，S=4不滿足退出循環(huán)的條件，九=3；不滿足退出循環(huán)的條件，九=5；不滿足退出循環(huán)的條件，九=7；第五次執(zhí)行循環(huán)體后，S=25,不滿足退出循環(huán)的條件，九=11；第六次執(zhí)行循環(huán)體后，S=36,不滿足退出循環(huán)的條件，九=13；第七次執(zhí)行循環(huán)體后，S=49,不滿足退出循環(huán)的條件，九=15；第八次執(zhí)行循環(huán)體后，S=64,不滿足退出循環(huán)的條件，九=17；第九次執(zhí)行循環(huán)體后，S=81,不滿足退出循環(huán)的條件，九=19；第十次執(zhí)行循環(huán)體后，S=100,不滿足退出循環(huán)的條件，九=21；第十一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=121,滿足退出循環(huán)的條件，故輸出n值為21,故選：C.由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量n的值，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎題..【答案】D【解析】解：｛4｝是等比數(shù)列，且4+。2+%=1,則出+。3+。4=q(4+。2+%),即q=2,???%+%+4=q5(4+4+q)=25x1=32,故選：D.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，屬于基礎題..【答案】B【解析】解：由題意可得a=1,b=V3,c=2,??%F2|=2c=4,??|OP|=2,??|OP|=*產(chǎn)2|,??△。4弓為直角三角形，??明1PF2,|P%|2+|PF2|2=4c2=16,??||PF]|-|PF2||=2a=2,

|P%|2+|PF2|2-2|P4|?|PF2|=4,??|P%|?|PF2|=6,:?△%P2的面積為s=1|PF1|-|PF2|=3,故選：B.先判斷△0％%為直角三角形，再根據(jù)雙曲線的定義和直角三角形的性質(zhì)即可求出.本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，雙曲線的定義，三角形的面積，屬于中檔題..【答案】A【解析】解：由題意可知圖形如圖：。。]的面積為4兀，可得0/=2,則340]=4Bsi九60°,3/0=上48,2 1 2 1 2?4B=BC=4C=00]=2V3,外接球的半徑為：R=V布2"+西2=4，球O的表面積：4X42X兀=64兀.故選：A.畫出圖形，利用已知條件求出0〃，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積.本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵..【答案】12%+y-2<0,【解析】解:％,y滿足約束條件％-y-120,,y+1>0,不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，2、+v-2=0由%-y-1=0，可得4(1,0)時，目標函數(shù)z=%+7y,可得y=-l%+1z,當直線yu-Lx+Zz,過點A時，在y軸上截7 7距最大，此時z取得最大值：1+7X0=1.故答案為：1.先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域直線街軸上的截距最大值即可.本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題..【答案】5【解析】解：向量&=(1,-1)，B=(6+1,26-4)，若G1反—則G?b=m+1—(2m-4)=-m+5=0，則加=5，故答案為：5根據(jù)向量垂直的條件可得關(guān)于m的方程，解之可得結(jié)果.本題考查了向量的垂直的條件和向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題..【答案】y=2x【解析】【分析】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程,考查直線方程的運用,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題.求得函數(shù)丫=仇%+%+1的導數(shù)，設切點為(科九)，可得切線的斜率，解方程可得切點,進而得到所求切線的方程.【解答】解：y=Inx+x+1的導數(shù)為y'=1+1，X設切點為(加,九)，可得k=1+\=2，解得加=1，即有切點(1,2)，則切線的方程為y-2=2(%-1)，即y=2%，故答案為：y=2%..【答案】7【解析】解：由4+2+(-1"4=3九一1，當n為奇數(shù)時，有4+2-%=3幾-1，可得冊-%-2=30-2)-1，???。3-4=3.1-1，累加可得4-4=3[1+3+…+S-2)]-止廣=3,[1+(九-2)].二—n-1—(二一1)(3九一5)；2 2 4當n為偶數(shù)時，4+2+,=3n-1,可得a4+。2=5,4+%―17,42+4。=29,46+44—41.可得出+a4H +a16—92.」.a1+。3+…+45=448.???8al+](0+8+40+96+176+280+408+560)=448,???8al=56,即4=7.故答案為：7.在已知數(shù)列遞推式中，分別取n為奇數(shù)與偶數(shù)，可得。九-。九-2=3(n-2)-1與。九+2+匕=3n-1,利用累加法得到n為奇數(shù)時匕與a的關(guān)系，求出偶數(shù)項的和，然后列式求解a「本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，是中檔題.17.【答案】解：(1)由表格可得，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的頻數(shù)為40,故頻率為皿=0.4,100乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的頻數(shù)為28,故頻率為言=0.28,故甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率分別是0.4,0.28；(2)由表格可知甲分廠加工四個等級的頻率分別為0.4,0.2,0.2,0.2,故其平均利潤為(90-25)X0.4+(50-25)X0.2+(20-25)X0.2+(-50-25)X0.2=15(元)；同理乙分廠加工四個等級的頻率分別為0.28,0.17,0.34,0.21,故其平均利潤為(90-20)X0.28+(50-20)X0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)X0.21=10(元)；因為15>10,所以選擇甲分廠承接更好.【解析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)得到甲乙A級品的頻數(shù)分別為40,28,即可求得相應頻率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)分別求出甲乙的平均利潤即可.本題考查頻率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題.18.【答案】解：(1%4BC中，B=150°,a=V3c,b=2?,a2+c2-b2_3c2+c2-28—2ac

」.c=2,a=2V3，???S=1acsinB=1-2V3?2?1=V3.△ABC222(2)sinA+V3sinC=V2,2即sin(180°-150°-C)+V3sinC=，，化簡得1cosc+V3sinC=應，2 2 2sin(C+30°)=應，2???0°<C<30°,:.30°<C+30°<60°,:.C+30°=45°,???C=15°.【解析】（1）根據(jù)題意，B=150°,通過余弦定理，即可求得c=2,a=2V3,進而通過三角形面積公式S-bc=；acs譏B=1.2V3-2-1=V3.（2）通過三角形三邊和為180°,將Z=180°-150°-C代入$譏2+73s譏C=V2,根據(jù)C2的范圍，即可求得c=15°.本題主要考查解三角形中余弦定理的應用，結(jié)合三角恒等變換中輔助角公式的應用，屬于基礎題..【答案】解：（1）連接OA,OB,OC,△ZBC是底面的內(nèi)接正三角形，所以ZB=BC=ZC.O是圓錐底面的圓心，所以：OZ=OB=OC,所以2。=BP=CP=OZ2+OP2=OB2+OP2=。。2+OP2,所以^ZPB34BPC34ZPC,由于/ZPC=90°.所以/ZPB=NBPC=90°所以2。1BP,CP1BP,AP,PC<=平面APC,由于ZPGCP=P,所以BP1平面APC,由于BPu平面PAB,所以：平面P4B1平面PAC.(2)設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l,所以］=42+r2.由于圓錐的側(cè)面積為V3僅所以兀-r72+r2=V3兀,整理得。2+3)02—1)=0,解得r=1.所以4B=71+1—2X1X1X(―1)=V3.2由于4P2+BP2=4B2,解得4P=732貝U：y =1X1xV3xV3xV3=76.P-48C 3 2 2 2 2 8【解析】(1)首先利用三角形的全等的應用求出4P1BP,CP1BP,進一步求出二面角的平面角為直角，進一步求出結(jié)論.(2)利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應用及勾股定理的應用求出結(jié)果.本題考查的知識要點：面面垂直的判定和性質(zhì)的應用，幾何體的體積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型..【答案】解：由題意，/(%)的定義域為(—叼+8),且f'(%)=e久—a.(1)當a=1時，f'(%)=e久一1,令f'(%)=0,解得％=0.??當％G(一8,0)時，f'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，當％G(0,+8)時，f'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.??/■(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；(2)①當a<0時，f'(%)=。久一a>0恒成立，/(%)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；②當a>0時，令f'(%)=0,解得第="a,當％G(一8"九。)時，f'(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，當％G(伍a,+8)時，f'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.??f(%)的極小值也是最小值為f(Z幾a)=a-a(Zna+2)=一。(1+仇a).又當％T-8時，f(%)T+8,當％T+8時，f(%)T+8.??.要使f(%)有兩個零點，只要f(ma)<0即可，則1+ma>0,可得a〉1.綜上，若f(%)有兩個零點，則a的取值范圍是(2+8).

【解析】(1)當a=1時，/(%)=。久-1，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，再由導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)性；(2)當a40時，f'(%)=e久-a>0恒成立，f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；當a>0時，利用導數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值，結(jié)合題意由極小值小于0即可求得。的取值范圍.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓練了利用導數(shù)求極值，考查利用函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，是中檔題.21.【答案】數(shù)求參數(shù)的取值范圍，是中檔題.21.【答案】解：(1)由題設得，4(-a,0),B(a,0),G(0,1),則％g=(a,1),GB=(a,-1),由ZZT?麗=8得a2-1=8,即a=3,所以E的方程為絲+y2=1.9(2)設ClyyJ，。(4，：^)，P(6，t)，若tW0,設直線CD的方程為％=my+幾，由于直線PA的方程為丫=；(%+3)，所以兀于是有3yl(%2-3)=y2(%1+3)①.由題可知，一3〈九<3，=；(4+3)，同理可得y2=；(第2-3)，由于^i+y2=1，所以y2=一(久2+3)(久2-3)，9 2 2 9將其代入蟲式，消去%2-3，可得27兀丫2=-。1+3)(%2+3)，即(27+62)兀丫2+m(n+3)(y1+y2)+(九+3)2=0②，(X=my+n聯(lián)立｛絲_Le_1得，(62+9)y2+2mny+幾2-9=0,+y2=1l9所以y1+y所以y1+y2=-2m■九，m2+9y?2=為2-9，m2+9代入②式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(九+3)2(m2+9)=0,解得幾=；或-3(因為-3〈幾<3,所以舍-3)，故直線CD的方程為％=my+2，即直線CD過定點(3,0).若t=0,則直線CD的方程為y=0,也過點(；,0).綜上所述，直線CD過定點(：,0).

【解析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可寫出A、B和G的坐標，再結(jié)合平面向量的坐標運算列出關(guān)于。的方程，解之即可；（2）設其第了兀），D（%,y2），P（6,t），然后分兩類討論：①tW0，設直線CD的方程為%=my+九，寫出直線PA和PB的方程后，消去t可得3yl（%2-3）=y2（4+3），結(jié)合琢+丫2=1，消去%2-3，可得（27+62）丫1丫2+6（九+3）（丫1+丫2）+（九+3）2=0，然后聯(lián)立直線CD和橢圓的方程，消去％，寫出韋達定理，并將其代入上式化簡整理得關(guān)于m和n的恒等式，可解得幾=；或-3（舍），從而得直線CD過定點（；,0）；②若t=0，則直線CD的方程為y=0，只需驗證直線CD是否經(jīng)過點（3,0）即可.本題考查橢圓方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系中的定點問題，涉及分類討論的思想，有一定的計