平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用含解析

系統(tǒng)題型——平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用[A級(jí)保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo)]1．(2019·牡丹江第一高級(jí)中學(xué)月考)已知圓O是△ABC的外接圓，其半徑為―→1，且AB―→―→―→―→)＋AC＝2AO，AB＝1，則CA·CB＝(3A.2B.3C.3D．23―→―→―→O是BC的中點(diǎn)，即BC是圓O的直徑，又解析：選B因?yàn)锳B＋AC＝2AO，所以點(diǎn)＝1，圓的半徑為1，所以∠＝30°，且＝3，ABACBAC―→―→―→―→∠ACB＝3.故選B.則CA·CB＝|CA|·|CB|cos(2019·廣州綜合測(cè)試)如圖，半徑為1的扇形AOB中，∠AOB2π，P是弧AB上的一點(diǎn)，且滿足OP⊥OB，M，N分別是線段OA，3―→―→)OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PM·PN的最大值為(23A.2B.2C．1D．2解析：選C∵扇形OAB的半徑為―→―→―→1，∴|OP|＝1，∵OP⊥OB，∴OP·OB＝0.∵∠2ππ―→―→―→―→―→―→―→2―→―→AOB＝3，∴∠AOP＝6，∴PM·PN＝(PO＋OM)·(PO＋ON)＝PO＋ON·PO＋―→―→＋―→―→―→5π―→―→2π≤1＋0×3·PO·ON＝1＋||cos＋||·|ON|cos－＋OMOMOM6OM3210×－2＝1，故選C.3．(2019·南昌模擬)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋π4(k∈Z)的()A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選Ba·b＝cosα·cos(－α)＋sinα·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cosππ2α，若a·b＝0，則cos2α＝0，∴2α＝2kπ±2(k∈Z)，解得α＝kπ±4(k∈Z)．∴ab＝0是α＝π＋π(k∈Z)的必要不充分條件．故選B.·k414.(2019·浙江部分市學(xué)校聯(lián)考)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，―→―→其中AB＝2，過A向點(diǎn)C處的切線作垂線，垂足為P，則AC·PB的最大值是()A．2B.1C．0D．－1解析：選B連接BC，則∠ACB＝90°.∵AP⊥PC，∴―→―→―→―→―→＝AC·PB＝AC·(PC＋CB)―→―→―→―→―→―→2|―→||―→|PCACAC·PC＝(AP＋PC)·PC＝PC.依題意可證Rt△APC∽R(shí)t△ACB，∴―→＝|―→，|CB|AB|―→|―→||―→|―→2―→2―→2―→2―→2―→||＝4≥2|即|PC|＝2.∵|AC|＋|CB|＝|AB|，∴|AC＋|CBAC||―→|，即|―→||―→|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)|―→|＝|―→|時(shí)取等號(hào)，∴|―→|≤1，∴―→·―→CBACCBACCBPCACPB―→2―→―→1，故選B.＝PC≤1，∴AC·PB的最大值為5．(2019·四川雙流中學(xué)月考)已知平面向量―→―→―→―→PA，PB滿足|PA|＝|PB|＝1，―→―→1―→―→PA·PB＝－2.若|BC|＝1，則|AC|的最大值為()A.2－1B.3－1C.2＋1D．3＋1解析：選D因?yàn)楱D→―→―→―→1∠|PA|＝|PB|＝1，PA·PB＝－，所以cos212πAPB＝－2，即∠APB＝3，由余弦定理可得AB＝1＋1＋1＝3.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A－3，B3，0，由題設(shè)點(diǎn)(，y)在22以B3，0為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖形可知，點(diǎn)C(x，y)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，有2|AC|＝|AD|＝|AB|＋1＝3＋1.故選D.max6．(2019·重慶梁平調(diào)研)過點(diǎn)(－1,1)作圓：(x－t)2＋(y－＋2)2＝1(t∈R)的切線，PCt切點(diǎn)分別為，，則―→·―→的最小值為()ABPAPB1040A.3B.3221C.4D．22－3解析：選C觀察圓C的方程可知，圓心C在直線y＝x－2上運(yùn)動(dòng)，則|PC|≥|－1－1－2|2＝2―→―→―→―→―→2－2.設(shè)∠CPA＝θ，則PA·PB＝|PA||PB|cos2θ＝|PA1＋―→―→2―→22―→2(2cos2＝(|2－1)|PA|－1＝(|－1)2|θ－1)PC|2×PC|·1－―→2＝|PC|＋―→2|PC||PC|2―→222―→2－3，令|PC|＝x，設(shè)y＝x＋x－3，則y＝x＋x－3在[8，＋∞)上為增函數(shù)，故|PC|―→―→221PA·PB≥8＋－3＝，故選C.847.(2019·北京四中期中考試)如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是―→3―→―→―→AC邊上一點(diǎn)，且DC＝－4DA，則BD·AC＝________.―→―→3―→＋4―→―→―→3―→―→34解析：根據(jù)題意得BD·AC＝7BA7BC·(BC－BA)＝7BA·BC－7×16＋74―→―→1―→―→32132×4－7BA·BC＝－7BA·BC－7＝－7×4×2×cos120°－7＝－4.答案：－48．若a，b，c是單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最大值為________．解析：依題意可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)，則(a－c)·(b－c)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－2sinπ，所以(a－c)·(b－c)的最大值為1＋2.θ＋4答案：1＋29．(2018·泰安二模)已知平面向量a，b滿足|b|＝1，且a與b－a的夾角為120°，則|a|的取值范圍為________．―→ ―→解析：在△ABC中，設(shè)AB＝a，AC＝b，―→ ―→ ―→則b－a＝AC－AB＝BC，∵a與b－a的夾角為 120°，∴∠B＝60°，|a|由正弦定理得sin60°＝sinC，sinC23∴|a|＝sin60°＝3sinC，323∵0°<C<120°，∴sinC∈(0,1]，∴|a|∈0，.3答案：230，310．(2019·河南豫南豫北聯(lián)考 )在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且5cosB＝13.若sinA＝4，求cosC；5―→ ―→若b＝4，求AB·BC的最小值．51212解：(1)在△ABC中，由cosB＝13得，sinB＝13，∵sinB＝13>sinA，∴B>A，故A為銳角，∴cos＝3，∴cos＝－cos(＋)＝－coscos＋sinsin＝33.A5CABABAB65由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，2210101616＝a＋c－13ac≥2ac－13ac＝13ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立，∴ac≤13，∴―→·―→＝accos(π－)＝－accos＝－5ac≥－5.ABBCBB13―→―→故AB·BC的最小值為－5.xxxx11．(2019·太原模擬)已知向量m＝3sin3，cos3，n＝cos3，cos3，f(x)＝m·n.求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且a＝2，(2a－b)cosC＝ccosB，3f(A)＝，求c.2解：(1)∵f(x)＝m·n＝3sinxcosx＋cos2x33332x12x2xπ1＝2sin3＋2cos3＋1＝sin3＋6＋2，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為3π，π2π令－2＋2kπ≤3＋6≤2＋2kπ，k∈Z，則－π＋3kπ≤x≤2＋3kπ，k∈Z，π∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 －π＋3kπ， ＋3kπ，k∈Z.(2)∵(2a－b)cos＝ccosB,C4∴2sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sinA，∵0<A<π，∴sin1πA>0，∴cosC＝，∴C＝.23∵f(A)＝sin2Aπ13＋6＋2＝2，3∴sin2Aπ＝1，3＋62Aπππ∴3＋6＝2＋2kπ，k∈Z，∴A＝2，C＝2sinπ∴c＝asin3＝3.[B級(jí)難度題——適情自主選做]―→―→―→―→1―→―→―→1．在等腰三角形AOB中，若|OA|＝|OB|＝5，且|OA＋OB|≥2|AB|，則OA·OB的取值范圍為()A．[－15,25)B.[－15,15]C．[0,25)D．[0,15]解析：選A|―→＋―→|≥1|―→|＝1|―→－―→|，所以|―→＋―→|2≥1|―→－―→OAOB2AB2OBOAOAOB4OBOA2―→―→21―→―→2―→2―→―→―→21―→2―→―→|，即(OA＋OB)≥4(OB－OA)，所以O(shè)A＋2OA·OB＋OB≥4(OB－2OA·OB―→22―→―→212―→―→2―→―→＋OA)，即5＋2OA·OB＋5≥4(5－2OA·OB＋5)，則OA·OB≥－15.又―→―→―→―→＝5×5＝25，當(dāng)且僅當(dāng)―→―→OA·OB≤|OA||OB|OA與OB同向時(shí)取等號(hào)，因此上式等號(hào)不成立，所以―→·―→的取值范圍為[－15,25)，故選A.OAOB2．已知a，b，e是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，且|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，當(dāng)|a－b|取得最小值時(shí)，a與e夾角的正切值為()31A.3B.22C．1D．2解析：選D根據(jù)題意，分別以a，b為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)e與a的夾π角為θ，θ為銳角，則e與b的夾角為 2－θ.∵|e|＝1，a⊥b，a·e＝2，b·e＝1，∴|a|·cosπ212θ＝2，|b|·cos2－θ＝|b|·sinθ＝1，∴|a|＝cosθ，|b|＝sinθ，∴|a－b|＝5224141224sin2θ|a|－2a·b＋|b|＝cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sin2θ(sinθ＋cosθ)＝5＋cos2θ＋2222cosθ4sinθcosθ22sin2θ≥5＋2cos2θ·sin2θ＝9，當(dāng)且僅當(dāng)2sinθ＝cosθ，即tanθ＝2時(shí)等號(hào)成2立，此時(shí)|a－b|取得最小值3，且a與e夾角的正切值為2，故選D.3．(2019·武漢調(diào)研)設(shè)，，是半徑為1的圓上的三點(diǎn)，且―→⊥―→，則(―→－ABCOOAOBOC―→―→－―→)的最大值是())·(OCOBOAA．1＋2B.1－2C.2－1D．1解析：選A―→―→―→―→―→如圖，作出OD，使得OA＋OB＝OD，則(OC－―→―→―→―→2―→―→―→―→―→―→OA)·(OC－OB)＝OC－OA·OC－OB·OC＋OA·OB＝1－―→―→―→―→―→C在OD的反向延長線(OA＋OB)·OC＝1－OD·OC，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)―→―→―→―→―→―→與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，OD·OC取得最小值，最小值為－2，此時(shí)(OC－OA)·(OC－OB)取得最大值，最大值為1＋2，故選A.4．(2019·江西吉安月考)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(cosφ，sinφ)．π(1)若|θ－φ|＝3，求|a－b|的值；(2)若θ＋φ＝π，記f(θ)＝ab－λ|a＋b|，θ∈0，3·的最小值．解：(1)∵向量a＝