應力與應力狀態(tài)分析

應力與應力狀態(tài)分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸時的彈性，其計算公式如下：拉伸模量〔/c㎡)=△f/△h(㎏/c㎡)f表示單位面積兩點之間的力變化，△h表示以上兩點之間的應變化。更具體地說，△h＝〔L-L0〕/L0，其中L0表示拉伸長前的長度，L表示拉伸長后的長度?！?-1 幾組根本術語與概念一、變形固體的根本假設1、均勻連續(xù)性假設：假設在變形固體的整個體積內均勻地、毫無空隙地布滿著物質，并且各點處的力學性質完全一樣。點坐標的連續(xù)函數(shù)。2、各向同性假設：假設變形固體在全部方向上均具有一樣的力學性質。3、小變形假設：認為構件的變形與構件的原始尺寸相比及其微小。件的變形而按構件的原始外形、尺寸進展計算。二、應力的概念1、正應力的概念分布內力的大小〔或稱分布集度〕，應力。由于內力是矢量，因而應力也是矢量，其方向就是分布內力的方向。沿截面法線方向的應力稱為正應力，用希臘字母σ表示。a/米〔N/m21N/m2稱為1a

/米

KN/m2，a1KN/m21KPa

P〕，此外還有更大的單位兆帕〔Ma

P〕、吉帕〔Ga〕。幾種單位的換算關系為：aa

103P=a=

=103KP

=103MP

=106KP

109P=a=aaaaa2、切應力與全應力的概念aaaaa與截面相切的應力重量稱為切應力，用希臘字母τ表示。K點處某截面上的全應力pKK與切應力K的矢量和。三、位移、變形及應變的概念變形：構件的外形和尺寸的轉變。位移：構件軸線上點的位置變化和截面方位的轉變。的變形引起的，溫度變化、支座移動等也會使構造產生位移。單元體：圍繞構件內某一點截取出來的邊長為無限小的正六面體。應變：描述單元體變形程度的幾何量，包括線應變和角應變兩類。線應變〔正應變〕ε：單元體線性尺寸的相對轉變量。ε=Δu/u角應變〔切應變〕γ：單元體上直角的轉變量。γ=90°-θσ與正應變ετ與切應變γ相互對應。四、受力構件內一點處的應力狀態(tài)的概念構件內某點處的應力狀態(tài)，是指通過該點的各個不同方位截面上的應力狀況的總體。是必需的。為了爭論一點處的應力狀態(tài)主平面：單元體上沒有切應力的面稱為主平面。主應力：主平面上的正應力稱為主應力?！布纯隙ù嬖谥鲉卧w，因而每一點都對應著三個主應力。一點處的三個主應力分別用σ1,σ2和σ3按應力代數(shù)值的大小挨次排列，即σ1≥σ2≥σ3。于桿件，通常用一對橫截面和兩對相互垂直的縱截面截取原始單元體。主單元體：各面上沒有切應力的單元體稱為主單元體。應力狀態(tài)的分類：空間〔三向〕應力狀態(tài)：三個主應力均不為零平面〔二向〕應力狀態(tài)：一個主應力為零單向應力狀態(tài)：兩個主應力為零正應力。了二向純剪應力狀態(tài)之外的其他二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)統(tǒng)稱為簡單應力狀態(tài)。五、切應力互等定理都指向或都背離公共棱邊，并且大小相等。六、應力與應變之間的關系試驗說明，當只要桿件處于線彈性階段〔應力不超過肯定限度與主應變之間以及切應力與剪應變之間存在肯定的關系，這種關系統(tǒng)稱為胡克定律。另一種表達形式；剪切胡克定律；廣義胡克定律。留意：全部胡克定律的適用條件均為：材料處于線彈性階段。單向應力狀態(tài)下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是廣義虎克定律的一種特例。1、單向應力狀態(tài)下的胡克定律σ方向的線應變ε與正應力σ之間存在如下的正比關系：σ=Eεx x式中比例常數(shù)E稱為材料的彈性模量，其常用單位為GPa。彈性模量E只與材料的種類有關，它屬于材料的彈性常數(shù)。單向應力狀態(tài)下橫向應變與縱向應變之間的關系：泊松比μ也屬于材料的彈性常數(shù)，它也只與材料的種類有關。2、軸向拉壓桿胡克定律的另一種表達形式Fll NEA軸力為常數(shù)時，只要桿件處于彈性狀態(tài)〔正應力不超過肯定限度成正比，與桿段原長成正比，與桿件橫截面積成反比，比例系數(shù)即材料的彈性模量。3、剪切胡克定律τ引起的角應變γ與切應力τ之間存在如下的正比關系：τ =Gγ式中比例常數(shù)G稱為材料的剪切彈性模量〔又稱為切變模量，其常用單位為GPa。剪切彈性模量G只與材料的種類有關，它屬于材料的彈性常數(shù)。4、廣義虎克定律1 2 3 1 2 三向應力狀態(tài)下主單元體沿三個主應力、 、 方向的線應變分別用、 、表示，這種沿主應力方向的線應變稱為主應變(principalstrain1 2 3 1 2 對于各向同性材料，在應力不超過其比例極限時，可以用疊加法來求其主應變。1E

2

3 E 1

3

3 E 3 1 2律只有在應力不超過材料的比例極限時才能使用。1使用上式時，其中的1

、2

、3

應以代數(shù)值代入，求的

、2

、3

中，正值表示伸1 2 1長，負值表示縮短，三個主應變仍按代數(shù)值大小挨次排列，1 2 11、2、3相應的改為x、y、z，等式仍舊成立，即： 1x E x

y

Eyy 1Eyy 1z E z

zzx

x xyx 應留意按上式求出的應變 、y、 x 在三向應力狀態(tài)下，切應力和切應變之間也有肯定關系，即Gτ = γGxy xyτ =Gγyz yzτ =Gγzx zx方程；在試驗應力分析中，依據某點處測出的應變，可以計算主應力或正應力、切應力。5、彈性常數(shù)E、G、μ之間的關系對各向同性材料可以證明，彈性常數(shù)E、G、μ存在如下關系G E2(1)32§4-2 軸向拉壓桿與受扭桿橫截面上的應力一、軸向拉壓桿橫截面上的應力〔壓〔壓F且正應力相等。設軸向拉〔壓〕桿橫截面上軸力為N，面積為A，則橫截面上任一點的正應力為F NAN 軸力F 為拉力時，正應力取正號；F 為壓力時，N 1MP 106P 106N/m2由于 a a

/MP位換算為N，長度單位換算為mm，得到的應力單位就是 a。二、應力集中的概念等直桿不管受軸向拉力作用還是受軸向壓力作用力，但是，假設等直桿件橫截面有局部減弱的狀況〔如開槽、鉆孔等，即使外力仍是軸向拉壓，被減弱橫截面上的正應力也不再均勻分布。實測說明，在被減弱橫截面上，靠近減弱部位的正應力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應力集中。三、圓截面扭轉桿橫截面上的應力分布規(guī)律及其計算也就是說，只發(fā)生扭轉變形的圓軸橫截面上有且只有切應力。圓軸扭轉時橫截面上任一點的切應力計算公式為()MxIPIP稱為截面的極慣性矩。對于受扭圓軸，其橫截面上切應力在圓軸邊緣處到達最大，即： M

x

Mxrmax I IrP PIW假設令 P

PrWP稱為抗扭截面系數(shù)，則又有MI Wp、p的計算

xmax WP對于直徑為d的圓截面桿：I d4P 32

W d3P 16

d對于空心圓截面桿，其內徑為d，外徑為D，內外徑比值 D，有I P 32

d432

32

4)

D3W P 16

(14)四、矩形截面自由扭轉桿的扭轉切應力但在薄壁截面桿中，卻不能無視。1、矩形截面桿的扭轉切應力存在，長邊中點處的切應力是整個橫截面上的最大切應力。2、開口薄壁截面桿的扭轉合的線，這種桿稱為開口薄壁截面桿；假設中線是一條閉合線，這種桿稱為閉口薄壁截面桿。變形性能比開口薄壁截面好。§4-3 截面的幾何性質一、爭論截面幾何性質的意義面的幾何性質有關。爭論桿件的應力與變形，爭論桿件的強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積等。二、形心、靜矩及其相互關系定義以下積分：S zdAy A

S ydAz Ayz軸的靜矩，其單位為m3。c z c y 圖形幾何外形的中心稱為形心可以將面積看作垂直于圖形平面的均勻分布力則形心即為合力的作用點。設y、z為形心坐標，依據合力矩定理有：S yA；S c z c y 由上述定義可以得出結論：正，對有些為負；對于通過形心的坐標軸為零。假設已經計算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，假設形心位置，就可以計算圖形的靜矩。z y z y 圖形〔可以直接確定形心位置的圖形；然后由式SyA及SzA分別計算它們SyASzz y z y 三、慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑I定義以下積分：y

z2dA IA 、z

y2dAA yz軸的截面慣性矩。I定義積分P

2dAA

為圖形對于點O的極慣性矩。I定義積分yz

yzdAA

為圖形對于

y、z

兩個坐標軸的慣性積。i y

i IyAIzA，z y、zIyAIzA由上述定義可知：1、慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標軸位置的不同，可能為正，也可能為負。三者的單位均為m4或mm4。2、由于2

y2，所以由上述定義有：I 2dA(y2z2)dAI IP A A y z3、依據極慣性矩的定義，可以計算出圓截面對于其形心的極慣性矩為：4 πR4I I P 32或P 2dR為圓的半徑。類似地，還可以得到圓環(huán)截面對于圓環(huán)中心的極慣性矩為：πD4 dI (14) P 32 DdD4-3-3所示。4．依據慣性矩的定義，可以計算出圓截面對于通過其形心的任意軸慣性矩為：d4I I Z y 64對于內徑為dD的圓環(huán)截面D4 dI I (14) Z y 64 D對于坐標軸過形心點且分別平行于兩邊的矩形截面，其慣性矩為：I bh3，IZ 12

hb312可以看出，應用定義進展積分，可以計算各種簡潔圖形對于給定坐標軸的慣性矩。式計算慣性矩；而是利用簡潔圖形的慣性矩計算結果以及圖形對于平行軸慣性矩之間的關系，由求和的方式求出。四、慣性矩平行移軸公式1、圖形對于任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。2、由于面積及包含a2、b2是增加的。六、主慣性軸與形心主慣性軸、主慣性矩與形心主慣性矩定義簡稱主慣性矩。對于通過形心的主軸稱為形心主軸工程計算中有意義的是形心主軸與形心主矩。當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點的主軸?！?-4 梁橫截面上的應力彎曲是桿件的根本變形形式之一。梁平面彎曲時橫截面上一般既有正應力又有切應力。一、梁橫截面上的正應力橫截面上只有彎矩而無剪力的梁段叫做純彎曲橫力彎曲梁段?！惨弧臣儚澢簷M截面上的正應力變化的。所以，其間必有一層縱向纖維既不伸長，也不縮短，該層稱中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸將梁的橫截面分成了兩個區(qū)域，中性軸以上的為受壓區(qū)，中性軸以下為受拉區(qū)。My梁在純彎曲時橫截面上任一點處正應力的計算公式： Iz由上式知，梁橫截面面上任一點處的正應力，與截面上的彎矩M和該點到中性軸的y成正比，而與截面對中性軸的慣性矩Iz成反比。〔二〕正應力公式的適用條件由正應力計算公式〔9-4〕式的推導過程可知，它的適用條件是：①純彎曲梁；②梁的最大正應力不超過梁所用材料的比例極限P；由矩形截面推導出的公式9-T面形式的梁。橫力彎曲是彎曲問題中最常見的狀況，在這種狀況下，梁橫截面上不僅有正應力存l/h有關，跨高比l/hl/h>5純彎曲時的正應力計算公式計算彎曲正應力。對于T是對稱軸。中性軸為對稱軸時，tmax與Cmax|M|max中性軸為非對稱軸時，LtmaxCmaxM+maxM-max在的截面上。二、梁橫截面上的切應力〔一〕矩形截面梁橫截面上的切應力分布規(guī)律兩個假設：截面上任何點處的切應力方向與橫截面的側邊平行，與剪力同向；切應力沿橫截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離處的各點的切應力相等。h大于寬度b的矩形截面導出切應力的計算公式。FS*Q zIbz這就是彎曲切應力的一般表達式。zs為橫截面上所求切應力作用點的水平橫線以下〔或以上〕局部截面積對中性軸的面FQ為所要求切應力橫截面上的剪力；b為所求切應力點處的截面厚度；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。z對矩形截面梁

6F bh3

h2( -y2)4

。可見，矩形截面梁橫截面上的切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律分布，上下邊緣點處切應力為零，中性軸處切應力最大。二、工程中常用截面的最大彎曲切應力矩形截面梁的最大彎曲切應力3F 3F

F3 Q3

max

bh 2A工字形截面梁的最大彎曲切應力FS*擔。對于腹板上的切應力仍可由公式

Q zIzb 計算，腹板上的最大切應力可由下式計算Fb為工字鋼板厚度。

Qb(b(I)ZSZmax圓形截面梁的最大彎曲切應力R的圓截面梁，其最大切應力為：4F 4F

F4 Q4

4max

A 3§4-5平面應力狀態(tài)分析確定通過該點其他截面上的應力，進而確定主應力和主平面。一、任意方向面上的應力 x y

xy

2 2 cos2 xsin2 x y＝ 2 sin2xcos2單元體上任意兩個相互垂直方向面上的正應力之和為常數(shù)。二、主應力和主平面主平面的方位角0按下式計算：2x主應力計算公式：

tg20

x y( x2y)( x2y)22xi x yj 2 將由上式求得的兩個主應力i、j與單元體零應力面上的零值主應力比較，便可確定1三個主應力、2和3。1三、應力圓應力圓繪制在以σ為橫坐標，τ〔

x y2 (( x2y)22x⒉應力圓的作圖方法取OB1=xB1Dx=xDx；同理，量取橫坐標OB2=y，縱坐標B2Dy=yDy〔4-5-3b〕；連DxDy，與軸交于C點，以CCDx〔或CDy〕為半徑作圓，即得單元體對應的應力圓。⒊應力圓的應用⑴確定單元體任意斜截面上的應力假設欲求單元體Dx點依據單元體上角的轉向沿圓周轉2角至EE面上的正應力和切應力。應力圓與單元體存在著如下對應關系：①點面對應——應力圓圓周上任一點的橫應力和切應力。圓上任始終徑兩端點的坐標對應著單元體上相互垂直的兩個平面上的應力。截面外法線之間的夾角的兩倍，而且二者的轉向一樣。利用應力圓解題的關鍵是：點面對應，先找基準。假設應力圓上以Dx點為基準，則單元體上應以x〔2〕確定主應力的大小和主平面的位置應力圓與A1A2兩個點分別對應著單元體上的兩個主平面的主應力大小。DxDx點沿圓周轉至A1〔A2〕20〔2090〕，x 45 準，由其外法線x以一樣的轉向轉角度0〔0

〕，這樣就確定了

i〔或j〕所在主iA1點到A2點所對圓心角為180，則在單元體上，兩個主應力和j所在主平面的外法線之間的夾角為90，說明兩個主平面相互垂直。i 由確定主平面位置的解析式解出的兩個角度0和0/=0 ，分別代表著i和j的方向。假設僅用解析式計算時，哪個角代表

i的方向，哪個角代表

j的方向，還需加以判 斷。經分析可知，較大的主應力i總是偏向于x和y之中的較大者；較小的主應力j總 是偏向于x和y之中的較小者。當x＝y(tǒng)時，0

45，主應力方向可直接由單元體45大”。§4-6受力構件內一點處的最大應力通過受力構件內任意一點處的最大正應力max和最大切應力max，都可以由該點的最1大主應力1

和最小主應力3

max

也就是最大主應力1，最大切應力max為最大應力圓的半徑，即：max1max

1 32最大切應力max所在平面與2平行，且與1和3所在的主平面各成45角。上述結論同樣適用與單向和二向應力狀態(tài)?！?-7各種根本變形桿件的應力狀態(tài)一、軸向拉壓桿件的應力狀態(tài)分析軸向拉伸桿件內任一點處于單向應力狀態(tài)。軸向拉壓桿件的最大正應力發(fā)生在橫截面上，該截面上不存在切應力。軸向拉壓桿件的最大切應力發(fā)生在45°斜截面上，該斜截面上同時存在正應力。軸向拉壓桿件縱