均值不等式求最值 學霸總結對點訓練

均值不等式求最值方法總結口決：正，二定，三取等。積定和最小，和定積最大。（求和的式子乘積為定值，求積的式子和為定值。）基本公式：.若a,b>0，則a+b>2ab當且僅當a=b取“=”.若a,b,c>0，則a+b+c>33abc當且僅當a=b=c取“二”3,若a,beR，則a2+b2>2ab當且僅當a=b取“=”4.貝U(2+a2+a2)(2+b2+b2)>(ab+ab+12n12n1122+abnnaa“二，，12拓展公式：.若a,b>0，則ab<(a^b)2<a2^b222.若a,b,c>0，則abc<aa+*c)33當且僅當a=b取“=”當且僅當a=b=c取“=”a2+b27.若a，beR，貝|ab<218,若x>0，貝Ux+->2x1若x<0，貝Ux+—<—2x.若ab>0，則a+->2ba若ab<0，則a+b<-2

ba.若a,beR，則(a+b)2<a2+b222當且僅當a=b取“=”當且僅當x=1取“二”當且僅當x=-1取“=”當且僅當a=b取“=”當且僅當a=b取“=”當且僅當a=b取“=”_二或L-.犯方法出結；2環(huán)血表）上將皿上豹k偃」知孰舞花廣廬二工，陋現(xiàn)千城傕^_二或L-.犯方法出結；2環(huán)血表）上將皿上豹k偃」知孰舞花廣廬二工，陋現(xiàn)千城傕^二-基.初忒,◎,/輯.卜委3^^~:樸力打，格聿得赤￡疑潮/二1碓J@__^tk±c^3yTbc~.S峻—>22帖一人魚技代與"￥叫.甚2±1海愎_xl^MMl,_—,如用1房'站￡_產(chǎn)于=AF--9、次,a斗浜/彳）（口」5一匚/*二心=匚，〔a$匠FL,_3*6*，a斗取樂）5a*b^-C^。,a=b”取專>i"b&k.*g_）—'；~“二["，I*-1用JQ]，-壬=一1肽笄）―=——空尸十之行一Q%>。，q~b喀箜）,3——―L_i_?,2h_^*d__（，?bV。.,_Qh》辰才）*——￡LA^-kfeRx.__a二b%①一一妙誼十C?nbtbc寸缺工d,U、JUi^￡MWWW匚仙?J__:均值不博討求卻良方垓（月外f/一姐中3十*產(chǎn)均滸盥忒'_JL任/@揖雕君曼￡而6”乂加JUASENWEM1月|一、“1”代換1、直接代入形如ax+by=1,求m+九最值的式子可用直接代入法xyii19.-①已知x>0,y>0，且+=1,求x+y的最小值。xy錯解：：'x>0,y>0，且+=1，/.x+y=1+9(x+y)>22xy=12故(x+y)=12。..xyIxyJxymin錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x+y>2xy等號成立條件是x=y，在1+9>29等號成xyxy立條件是1=9即y=9x，取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，xy列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解:八八19正解:八八19?x>0,y>0,+=1，xy...x+y=(x+y)1+9IxyJy9xy++10>6+10=16xy(x+y)=16(x+y)=16。min當且僅當=■時，上式等號成立，又+=1，可得x=4,y=12時，x_yxy對點練習：（i）若x,y￡R+且2x+y=1，求］+1的最小值xy（2）已知a,b,x,y￡R+且a+b=1，求x+y的最小值

xy2、轉(zhuǎn)換為“1”（略）11對點練習：若logx+logy=2，求v+”的最小值.并求x,y的值44xy3、“1”的平方例7若川：+/_工二%*,求拄+8的最大值中解；屋+1+r>如i"=3%匕’+『+r>3加er=36「①一〃一.?一！時」…

二、湊1、增減項①(略)對點練習：已知％<54，求函數(shù)y=4%-2+1的最大值。

4%—5二、湊1、增減項①(略)對點練習：已知％<54，求函數(shù)y=4%-2+1的最大值。

4%—5②已知x,y為正實數(shù)，且x2+y22=1,求x1+y2的最大值.2a2+b2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式abW2同時還應化簡1+y2中y2前面的系數(shù)為2,%1+y2=%2.七y2+y2+2面將%，12＋y22分別看成兩個因式：+y2+2x2＋(W1+y22+22)2x2＋y222＋213二4即%1+y2=2?%1+y22+2③形如y=mg(%)+A+B(A>0,B>0)(%)g(x)恒正或恒負，求最值的式子④16對點練習：求函數(shù)y=3%2+,的最小值。2+%22、湊系數(shù)①當口UXC4時，求y=%(8—2%)的最大值。解析：由口知，2%+(8—2%)=8為定值，將y=%(8—2%)湊上一個系數(shù)即可。y=XS-2x）=l[2x>（8-2項M；戶4；-2乎=g當2x=E-2克，即％=2時取等號當％=2時，y=x（8—2x）的最大值為8。②已知x>0,y>0,且3x+2y=12,求lgx+1gy的最大值。解：x>0,y>0,lgx+1gy=1gQy）=lg3x'2y<1g1f3"：2y]=1g1J；]=1g66|_612J\|_612J_當且僅當3x=2y,即x=2,y=3時，等號成立，所以最大值是1g6?！?-、對點練習：設0<x<，求函數(shù)y=4x（3—2x）的最大值。3、拆項①均拆整式（略）②拆整式變分式例1已知0Mx〈匕求函數(shù)j—十—大.川的最大值.解=）=_/（工+1）+（工+1）=（工+1）（1_工工）=（工+1『（]_工）4川川“」節(jié)1+與+…[32=4.??]=工M4=?——o當且僅當二…L上式取」一③拆分式例6已知。<.大々冗，求函數(shù)'-」“2’的最小值。%inxTtT.因為腿——5吟T嗎.啊.當且僅當X刎時一式取士。故工「小④均拆幕指數(shù)

例卡打"r'：弁函|旌?,1'；L；；IJ的最上底解；1均拆棘指數(shù))T二+I-3a>0.1y—*"1-:i1)=r.f(]—3r)當JI儀當?_]—即,=；時，等號成立，即產(chǎn)的坡小小為4、湊等量X2+7X+10①y=1(x>-1)求的值域。X+1解析：將分子配方湊出含有(x+1)的項，再將其分離。二十1x+1X+1?一,八4-八當或二一1，即時,y>2(x+1)義+5=9(當且僅當x=1時取“=”號)。x+1已知工>—],求用數(shù)丫=挑二1的最大值.件駕解IQj-imiAO,二1=（工/1「斗4卜七叫M當且我當了二1時,上式取ifeV=3。ilklX③略對點練習:對點練習:例13已知。＜工＜],求圖數(shù)丫=3+」一的最小值。x]-工解：因為。所以1一大；＞。。所以J=*+—!—=|"工+0一：)]|-+^—1=5+^——^+—^—＞90

X]-A-Jl,.V|-A)X|--X當且代當IM."二——時,即一口匚,上式取W故，皿=9e工1一13\4<|例15已知兀Y,二EK,且J寸+二=1,求+—的最小值。xy<M-設2>o,故有2C+丫+：-])=u。>iVT+4Va"+(iy[X—A=12,JX--Ao當且俚當——A-1'.--=A*同時成立時上述不等ay￡式取3即#=L,**=,￡二?代入M+丫■!■耳三1?解得工=36.此時—2=36?枚—r1—71'717T久y工的最小值力拓。4、湊參數(shù)例1：已加工仁二，求函數(shù)'41-2+^—的最大值。TOC\o"1-5"\h\z44.V-5解，因力――5＜口，所以首先要"調(diào)整”符號，又(仆一2)」_不是常數(shù)，所以對小一2要進行拆、篌項,'4-V-55if1\"".'i＜-...5-4＞0.；.v=4-1-24-=_；5-4-^h|十3，一工+3=144-^-5、5-4aJ當且僅當5—4工=」一，即工=1時，上式等號成立，故當工=1時，=U①J、三、平方1、公式法①已知％,y為正實數(shù)，3x+2j=10,求函數(shù)W=3x+2y的最值.W>0,牝=3%+2y+23%-2y=10+23x-2y<10+(3%)2?(2y)2=10+(3%+2y)=20.*.WW20=25對點練習：求函數(shù)y=2x-l+5-2%(1<%<5)的最大值。2、兩邊同時平方①求函數(shù)》=2x-l+5-2%(1<%<5)的最大值。解析：注意到2x-1與5一2x的和為定值。y2=(2x-1+5—2x)2=4+2(2x-1)(5—2x)<4+(2x-1)+(5—2x)=8又y>0,所以0<y<22當且僅當2x-1=5-2x，即x=3時取等號。故y=22。2max例3已知0工工<,3求函數(shù)丁=七（4—的最大值。解1r=36■寸（4一Yf=18犬2王（4一￡）（4一工］<IK27當且僅當2—寸（4一?。锤Z=氈時?上式取"J故口3.—世③ab2(a+b)=4,求2a+b的最值四、替換①（略）②（略）③已知a,b為正實數(shù)，2b+ab+a=30,求函數(shù)y=；^ai/的最小值.由已知得：30—ab=a+2b：a+2b三22ab;令u=ab則u2+22u—3OW0,—52WuW3???abW32,abW18,.'.y三±1830—ab三22ab2對點練習：1.已知a>0,b>0,ab—（a+b）=1,求a+b的最小值。a2b2c2④求b+c+a的最小值。五、多次均值①X+y+的最值町②(X+y)+(1+9)的最值xy六、消元①8a+2b=ab,求a+b的最值。②x—3y+2z=0,求y2的最值xz③已知X,J為正實數(shù)，且X2+12=1,求X1+y2的最大值.2七、倒數(shù)法0<,jv<一.一例4已知2,求函數(shù)和-2町的最小值.分析分母是工與2耳的積、可通過配系數(shù)，使它們的相為定值；也可通地配系效，使它們的和為口+片（這是解本題時真正需要的I于是逋過取倒數(shù)即????］■錦決問瓶.網(wǎng)］一"113兀』一2工『一口』工『-311+j-3工十1一2工［WI1十龍.1+工=J_TOC\o"1-5"\h\z―32-12取例效，得--辦_1一工工1當且僅當1；工一17.即時，取等號.故F的鼠小值是H八、單調(diào)法X2+