數(shù)學(xué)分析總結(jié)材料

數(shù)學(xué)分析總結(jié)

微積分微分學(xué)極限連續(xù)導(dǎo)數(shù)（微分）積分學(xué)不定積分定積分廣義積分級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)（泰勒）三角級(jí)數(shù)（傅立葉）一、維度觀：函數(shù)一元函數(shù)的定義域?qū)?yīng)實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)集，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)集。二元函數(shù)的定義域?qū)?yīng)平面上的點(diǎn)集，簡(jiǎn)稱(chēng)平面點(diǎn)集。開(kāi)區(qū)間VS開(kāi)區(qū)域閉區(qū)間VS閉區(qū)域[a,b]的特征：有界閉集連通一元：?jiǎn)握{(diào)有界原理——確界定理——閉區(qū)間套定理——聚點(diǎn)定理——致密性定理——柯西點(diǎn)列必收斂定理——有限覆蓋定理二元：平面上的點(diǎn)不能比較大小，因此少了單調(diào)有界原理和確界定理實(shí)數(shù)的完備性（或?qū)崝?shù)的連續(xù)性）極限一元：兩種方式趨向二元重極限：x,y同時(shí)以任意方式趨向累次極限：x與y有先有后地趨向與重極限存在累次極限存在累次極限存在重極限存在定義或者（當(dāng)時(shí)）.2412-1在函數(shù)在的極限與處是否有定義沒(méi)有關(guān)系注意鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)以任意方向趨向時(shí)，即當(dāng)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)的某個(gè)去心時(shí)，函數(shù)時(shí)的極限，記為無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱(chēng)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)必須滿足三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)處有定義存在如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)間斷，稱(chēng)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).定義間斷點(diǎn)的類(lèi)型：第一類(lèi)間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)處左右極限都存在的間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)左右極限存在且相等

可去間斷點(diǎn)左右極限存在不相等跳躍間斷點(diǎn)定義第二類(lèi)間斷點(diǎn)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右極限中至少有一個(gè)是不存在的間斷點(diǎn)，則稱(chēng)x0為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。連續(xù)一元二元閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義定義一元二元導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)定義微分定義導(dǎo)數(shù)的困難全微分偏導(dǎo)數(shù)：固定一變量，化為一元函數(shù)之導(dǎo)數(shù)（即沿x軸或y軸的方向）方向?qū)?shù)：沿射線方向的單側(cè)導(dǎo)數(shù)（分母取正值）。。。極限存在、連續(xù)與可導(dǎo)（可微）的聯(lián)系和區(qū)別一元：極限連續(xù)可導(dǎo)可微二元：極限連續(xù)可微一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是同一問(wèn)題的兩個(gè)角度，導(dǎo)數(shù)側(cè)重于變化率（幾何上即切線之斜率），微分側(cè)重于近似計(jì)算。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一元：二元：二元：我們可把看作相對(duì)于的變化率，看作相當(dāng)于的變化率，看作相當(dāng)于的變化率.如果變化得比快2倍，變化得比快3倍，那么變化得比快6倍是合乎情理的.因此我們有.

若隱函數(shù)求導(dǎo)一元：求導(dǎo)或偏導(dǎo)后解線性方程二元：求偏導(dǎo)后解線性方程（組）一階微分形式不變性一元二元中值定理：

一元：二元：拉氏中值定理——拉氏余項(xiàng)的泰勒公式參數(shù)化：柯西中值定理高階推廣：拉氏余項(xiàng)的泰勒公式退化：羅爾定理拉氏中值定理近似計(jì)算一元二元（一階）微分近似計(jì)算公式（高階）泰勒公式定量：拉氏余項(xiàng)，柯西型余項(xiàng)定性：佩亞諾余項(xiàng)極值一元二元判別法一判別法二定理6.10(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在定理6.11(極值的第二充分條件)設(shè)f(x)在點(diǎn)x0定理6.12(極值的第三充分條件)設(shè)f在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)存在直到(ii)n為奇數(shù)時(shí),

不是極值點(diǎn).極值的第二充分條件之階的推廣問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？單調(diào)性凹凸性一元：曲線二元：凹凸面（變量的）微分，就是該變量的微小線性變化部分，技巧是局部切或小切，即局部地遇線切線，見(jiàn)面切面也一元（線微元）（本已線性，因此其中為單位切向量二元（面微元）其中為單位法向量平面面積微元①．設(shè)曲面的方程為：如圖，3。曲面的面積曲面S的面積元素②．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：③．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得三元（體微元）。。。。。積分學(xué)：一、幾何角度4-D體積點(diǎn)線（長(zhǎng)度）面（面積）體（體積）直線段長(zhǎng)度:曲線段平面曲線段長(zhǎng)度空間曲線段長(zhǎng)度。。。。。平面塊（平面區(qū)域）的面積曲面塊3-D曲面塊面積4-D曲面快面積。。。。。直線段長(zhǎng)度:平面上曲線段長(zhǎng)度空間曲線段長(zhǎng)度平面塊（平面區(qū)域）的面積4-D曲面塊面積？3-D曲面塊面積空間幾何體的體積點(diǎn)——線——面——體各積分公式的關(guān)系一重定積分：N-L公式二重積分：Green公式三重積分：Gauss公式四重積分：。。。維度曲線：一維直線，平面封閉曲線（Green公式），3-D封閉曲線（Stokes公式）。。。維度曲面：二維平面，3-D封閉曲面（Gauss公式），4-D封閉曲面。。。物理角度：質(zhì)量直線段：定積分曲線段（平面，空間）：第一型曲線積分平面塊：二重積分曲面塊：第一型曲面積分3-D幾何體：三重積分做功：第二型曲線積分流量：第二型曲面積分微元法：1.（平行截線為已知的平面區(qū)域面積）2.平行截面為已知的立體體積總式：應(yīng)用1.旋轉(zhuǎn)體體積2.計(jì)算重積分（投影降重）：X-型區(qū)域（投影到X軸上）Y-型區(qū)域（投影到Y(jié)軸上）二重積分三重積分先投影到平面上先投影到坐標(biāo)軸上1.平面（空間）曲線的切線與法線去掉可微的誤差項(xiàng)曲面的切平面與法線：去掉可微的誤差項(xiàng)2.平面（空間）曲線之弧長(zhǎng)，平面圖形（空間曲面）之面積，空間幾何體之體積3.平面（空間）曲線，曲面之曲率幾何應(yīng)用：做功，水壓力，引力，矩：質(zhì)量，重心（質(zhì)心），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等物理應(yīng)用：級(jí)數(shù)數(shù)列與級(jí)數(shù)：數(shù)列數(shù)列函數(shù)列：也是數(shù)列，是帶函數(shù)形式的數(shù)列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：正向級(jí)數(shù)收斂判別法①冪級(jí)數(shù)：用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法求收斂區(qū)間②傅里葉級(jí)數(shù)（處理周期函數(shù)）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：(常數(shù)項(xiàng)數(shù)列)函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)有界與一致有界函數(shù)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)與一致連續(xù)函數(shù)列點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂點(diǎn)點(diǎn)與一致（即局部與整體）：例1

例2

但在[a，1）才一致有界點(diǎn)點(diǎn)有界,但在[a，1）才一致連續(xù)例3

但在[a，1）才一致收斂證首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來(lái)敘述f(x)在區(qū)例9

但仍有確實(shí)不是一致連續(xù)的.總有間I上不一致連續(xù)的定義：試問(wèn),函數(shù)在區(qū)間I上一致連續(xù)與在區(qū)間I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？?jī)H與有關(guān).對(duì)于任意正數(shù),所得答:(1)首先,對(duì)于如果在區(qū)間I上連續(xù)，那么,

不僅與有關(guān),而且還與所討論的點(diǎn)而在區(qū)間I上一致連續(xù).那么顯然關(guān).過(guò)程中有一個(gè)正下界(當(dāng)然(2)函數(shù)f(x)在每一點(diǎn)連續(xù),區(qū)間I上就一致連續(xù)了.這個(gè)下界只與有關(guān),而與x0無(wú)關(guān)),則此時(shí)f(x)在從幾何意義上看,就是存在某個(gè)預(yù)先給定的(<1),無(wú)論N多么大,總存在某條曲線只限于在區(qū)間上,則容易看到,只要不能全部落在由夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)(圖13-2).若函數(shù)列曲線

就全部落在所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以

上是一致收斂的.

處處連續(xù)處處不可導(dǎo)函數(shù)：P可微VS方向?qū)?shù)VS偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)極值一、多元函數(shù)的極值和最值無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．一些較簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題可以把它轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值來(lái)求解——降元法，但這種方法需要經(jīng)過(guò)解方程和代入的手續(xù)，對(duì)于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時(shí)甚至是不可能的解決條件極值問(wèn)題的一般方法是Lagrange乘數(shù)法——升元法求z=f(x,y)其幾何意義是其中點(diǎn)(x,y)在曲線L上x(chóng)yzoz=f(x,y)LM無(wú)條件極值點(diǎn).P條件極值點(diǎn).1.已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為求線狀物體的質(zhì)量

m.由物理學(xué)知道，如果一個(gè)物體在常力F作用下，使得物體沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng)，物體有位移s時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為：W=F*s這個(gè)公式只有在力F是不變的情況下才適用，但在實(shí)際問(wèn)題中，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的力是變化的。下面我們通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明如何利用微元法來(lái)求變力所作的功。例1已知彈簧每伸長(zhǎng)0.02m要用9,8N的力，求把彈簧拉長(zhǎng)0.1m需作多少功一、變力沿直線作功當(dāng)我們拉長(zhǎng)彈簧時(shí)，需要克服彈性力作功，由Hoke定律，彈性力F與伸長(zhǎng)量x之間有函數(shù)關(guān)系：F=kx

k——彈性系數(shù)用微元法由題設(shè)9.8=0.02k

k=490要求的是變力所作的功F=490x

取x為積分變量積分區(qū)間為[0,0.1]彈簧由x處拉到x+dx處，由F(x）的連續(xù)性，當(dāng)dx很小時(shí)，彈性力F(x)變化很小，可近似地看作是不變的（常力）解于是在小區(qū)間[x，x+dx]上對(duì)應(yīng)的變力F所作的功近似于把變力F看作常力F=490x所作的功如果積分區(qū)域?yàn)椋海踃－型］其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).二重積分的計(jì)算法(1)一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得例1求由兩個(gè)圓柱面圍立體的體積.解二重積分的計(jì)算法（2）一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分①．設(shè)曲面的方程為：如圖，3。曲面的面積曲面S的面積元素②．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：③．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得簡(jiǎn)述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換