北京科技大學(xué)材料力學(xué)課件第九章

第九章壓桿穩(wěn)定材料力學(xué)§9–1穩(wěn)定性失效的概念

細(xì)長桿件承受軸向壓縮載荷作用時(shí)，將會由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效

(failurebyloststability),又稱為屈曲失效

(failurebybuckling)。1983年10月4日，高54.2m、長17.25m、總重565.4kN大型腳手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受傷。橫桿之間的距離太大2.2m>規(guī)定值1.7m;地面未夯實(shí)，局部桿受力大；與墻體連接點(diǎn)太少；安全因數(shù)太低：1.11-1.75<規(guī)定值3.0。壓桿失穩(wěn)破壞的實(shí)例

2006年12月9日，北京市順義城區(qū)北側(cè)減河上一座懸索橋在進(jìn)行承重測試時(shí)突然坍塌,約50米橋體連同橋上進(jìn)行測試的10輛滿載煤渣的運(yùn)輸車一起塌下,1名司機(jī)和2名檢測人員受傷。

柱腳與地面連接強(qiáng)度不足，局部桿受力大，導(dǎo)致另一柱腳被拔起Ａ型柱的連接桿焊點(diǎn)突然失效，導(dǎo)致Ａ型柱失穩(wěn)破壞桿件在失穩(wěn)后，有可能以彎曲曲線形式的平衡狀態(tài)的維持，也可能不再平衡。桿件失穩(wěn)≠不平衡1.穩(wěn)定平衡和臨界平衡

一個(gè)處于平衡狀態(tài)的受力系統(tǒng)，當(dāng)受到一個(gè)輕微的擾動(dòng)后，仍然能夠恢復(fù)原有形式的平衡狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定平衡。反之，稱為非穩(wěn)定平衡。

結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機(jī)器零件在壓縮載荷或其它特定載荷作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為平衡構(gòu)形（equilibriumconfiguration）。

承受軸向壓縮載荷的細(xì)長壓桿，有可能存在兩種平衡構(gòu)形——直線的平衡構(gòu)形與彎曲的平衡構(gòu)形。

平衡構(gòu)形—壓桿的兩種平衡構(gòu)形FP<FPcr:

直線平衡構(gòu)形FPFP>FPcr:彎曲平衡構(gòu)形(在擾動(dòng)作用下)FPFP

FP<FPcr

:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。FPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

FP<FPcr,穩(wěn)定的直線平衡構(gòu)型FPFP>FPcr

:在擾動(dòng)作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。FPFP判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則（staticalcriterionforelasticstability）

FP>FPcr,不穩(wěn)定的直線平衡構(gòu)型(1)結(jié)構(gòu)必須是由細(xì)長或薄壁構(gòu)件（長桿、薄板或殼體）組成(2)構(gòu)件必須承受壓載荷作用(3)壓載荷必須達(dá)到或超過失穩(wěn)的臨界載荷，即：2結(jié)構(gòu)桿件發(fā)生失穩(wěn)的必要條件在外界干擾力作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動(dòng)除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱：壓載荷為達(dá)到失穩(wěn)的臨界載荷Pcr。當(dāng)壓載荷達(dá)到某數(shù)值時(shí)，即：3.壓桿的臨界載荷§9–２兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力確定臨界載荷的平衡方法

當(dāng)梁內(nèi)彎矩分段、材料不同、截面不同，梁的近似撓曲線微分方程必須分段表示。積分法一般步驟為：（近似撓曲線微分方程）臨界載荷作用下的彎矩方程:令lPPPcrPcrxyyPcrNMy（近似撓曲線微分方程）考慮桿的邊界條件:解的形式為:求解此常微分方程,可以得到含待定常數(shù)的通解:選擇一個(gè)半波:n=1,

歐拉公式lPPPcrPcrxyyn稱為半波數(shù)最小臨界載荷討論:(3)n=1,表示失穩(wěn)曲線僅有一個(gè)半波.(2)I應(yīng)當(dāng)選取最小慣性矩bhxy例如:兩端鉸支壓桿,I=Imin=

IyPcr9Pcr4Pcrn=1n=2n=3n稱為半波數(shù)不同撓曲線近似微分方程

不同的約束不同邊界條件不同的Pcr§9–3其它支座條件下細(xì)長壓桿的臨界力PcrPcrPcrl/2l/4l/4l兩端固定端約束觀察失穩(wěn)曲線拐點(diǎn)處無彎矩確定兩個(gè)拐點(diǎn)(inflexion)—反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)（coefficientof1ength）——可由屈曲后的正弦半波長度與兩端鉸支壓桿屈曲時(shí)的正弦半波長度的比值確定。

l

—不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度(effectivelength)；一端自由，一端固定一端鉸支，一端固定歐拉公式的一般形式PcrPcrPcrl/2l/4l/4lPcrl2lPcrl0.7lPcr—長度系數(shù)（coefficientof1ength）—?dú)W拉公式(μl)22EIPcr=E—壓桿材料的彈性模量I—壓桿失穩(wěn)方向的慣性矩l—壓桿長度l—有效長度(effectivelength)—?dú)W拉公式(μl)22EIPcr=注意：1、當(dāng)約束與空間取向無關(guān)時(shí)（如：球鉸鏈），慣性矩

I

應(yīng)當(dāng)取最小值Imin。2、當(dāng)約束與空間取向有關(guān)時(shí)（如：夾板式鉸鏈），則按照兩個(gè)互相垂直方向的慣性矩I和相應(yīng)的約束(μ)。分別計(jì)算臨界壓力，取其最小值為桿的Pcr。壓力P與壓桿內(nèi)最大撓度Vmax的關(guān)系PmaxHFG實(shí)際材料失穩(wěn)PvmaxOA`近似解理想材料失穩(wěn)CED精確解APcr穩(wěn)定承載真實(shí)壓桿的缺陷：初曲率非均勻性偏心載荷實(shí)際支承處，約束類型的確定已經(jīng)討論過的桿端約束，均為典型的理想約束。然而，實(shí)際工程中桿端的約束情況是比較復(fù)雜的，有時(shí)很難將其歸結(jié)為某一種理想約束。在實(shí)踐中，可能將其表示為理想約束與彈簧的組合形式。因此，為了計(jì)算壓桿臨界載荷，在實(shí)際工程中桿端的約束形式及桿的等效長度，應(yīng)當(dāng)視具體情況，查工程設(shè)計(jì)規(guī)范而決定。柔度又稱長細(xì)比，用

表示。柔度是綜合反映壓桿長度、約束條件、截面尺寸和截面形狀對壓桿臨界載荷影響的量，由右式確定：

其中，i為壓桿橫截面的慣性半徑：從上述二式可以看出，柔度反映了壓桿長度、支承條件以及壓桿橫截面幾何尺寸對壓桿承載能力的綜合影響?！?–4歐拉公式的適用范圍，經(jīng)驗(yàn)公式對于彈性屈曲,必須有：p—比例極限臨界應(yīng)力—柔度—截面的慣性半徑歐拉公式的適用范圍：(μl)22EIPcr=設(shè)：cr＝

P時(shí)，=pPEp＝

故：三類不同壓桿的區(qū)分

大柔度桿—柔度大于或等于極限值p時(shí)的壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿。

中柔度桿—柔度小于p，但大于或等于另一個(gè)極限值s時(shí)的壓桿稱為中柔度桿或中長桿。

小柔度桿—柔度小于極限值s時(shí)，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為小柔度桿或粗短桿。

顯然，只有p時(shí)，即：對于大柔度桿，才可以用歐拉公式計(jì)算壓桿臨界力。應(yīng)當(dāng)記憶：對于一般鋼材，P=200~300MPa。其p~100左右。三類不同的壓桿細(xì)長桿（大柔度桿）—發(fā)生彈性屈曲中長桿（中柔度桿）—發(fā)生彈塑性屈曲粗短桿（小柔度桿）—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服

對于細(xì)長桿，臨界應(yīng)力公式

對于中長桿，由于發(fā)生了塑性變形，理論計(jì)算比較復(fù)雜，工程中大多采用直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算其臨界應(yīng)力，最常用是直線公式：其中，a和b為與材料有關(guān)的常數(shù)，單位為MPa。三類壓桿的臨界應(yīng)力公式

對于粗短桿，因?yàn)椴话l(fā)生屈曲，而只發(fā)生屈服(韌性材料)，故其臨界應(yīng)力即為材料的屈服應(yīng)力將上述各式乘以壓桿的橫截面面積，即得到三類壓桿的臨界載荷。臨界應(yīng)力總圖

根據(jù)三種壓桿的臨界應(yīng)力表達(dá)式，在σcr－λ坐標(biāo)系中可以作出關(guān)系曲線，稱為臨界應(yīng)力總圖(figuresofcriticalstresses)。

細(xì)長桿中長桿

粗短桿臨界應(yīng)力總圖λpλSσsσpσcrλOσcr=σsσcr=a-bλ

根據(jù)臨界應(yīng)力總圖中所示之σcr－λ關(guān)系，可以確定區(qū)分不同材料三類壓桿的柔度極限值λs、λP。

令細(xì)長桿的臨界應(yīng)力等于材料的比例極限，得到

對于不同的材料，由于E、σ

P各不相同，λP的數(shù)值亦不相同。一旦給定E、σ

P，即可算得λP。若令中長桿的臨界應(yīng)力等于屈服強(qiáng)度，由細(xì)長桿(p)—發(fā)生彈性屈曲，用歐拉公式。中長桿(s<p)—發(fā)生彈塑性屈曲，用經(jīng)驗(yàn)公式。短粗桿(<s)—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服。小結(jié)：例題

兩根直徑均為d的壓桿，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。試；

2.已知：

d=160mm、E=206GPa,求：二桿的臨界載荷

1.分析:哪一根壓桿的臨界載荷比較大；

1.分析:

哪一根壓桿的臨界載荷比較大：

從臨界應(yīng)力總圖可以看出：材料相同的壓桿，柔度越大，臨界應(yīng)力越小。所以判斷哪一根壓桿的臨界載荷大，必須首先計(jì)算壓桿的柔度。

1.分析:

哪一根壓桿的臨界載荷比較大：

2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E

=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.

首先計(jì)算柔度，判斷屬于哪一類壓桿：Q235鋼p=101二者都屬于細(xì)長桿，采用歐拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.二者都屬于細(xì)長桿，采用歐拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235鋼，E=206GPa,

求：二桿的臨界載荷.§9–5壓桿的穩(wěn)定計(jì)算壓桿失效與穩(wěn)定性設(shè)計(jì)穩(wěn)定校核條件Pw–桿內(nèi)最大工作壓力

Pw

Pcrnst—其中：[nst]

–許用穩(wěn)定安全因數(shù)nst–實(shí)際穩(wěn)定安全因數(shù)Pcr–桿的臨界壓力

或PcrPwnst

=nst—例題已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235鋼E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8校核:

穩(wěn)定性是否安全。正視圖俯視圖解：壓桿在正視圖平面內(nèi)，兩端約束為鉸支,屈曲時(shí)橫截面將繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)：z=zl/iz,y=yl/iy,壓桿在俯視圖平面內(nèi)，兩端約束為固定端,屈曲時(shí)橫截面將繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)：因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。工作安全因數(shù)：z=132.6因此，壓桿將在正視圖平面內(nèi)屈曲。nw>[n]st=1.8壓桿的穩(wěn)定性是安全的工作安全因數(shù)：穩(wěn)定計(jì)算中需要注意的幾個(gè)重要問題正確地進(jìn)行受力分析，準(zhǔn)確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿件承受壓縮載荷，對于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算或穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。l

要注意綜合性問題，工程結(jié)構(gòu)中往往既有強(qiáng)度問題叉有穩(wěn)定問題；或者既有剛度問題，又有穩(wěn)定問題。有時(shí)穩(wěn)定問題又包含在超靜定問題之中。這一結(jié)構(gòu)中，哪一根桿會發(fā)生屈曲？其臨界載荷又如何確定？圖示結(jié)構(gòu),AB為18號工字鋼梁,[]=120MPa,CE和DF均為兩端鉸鏈約束的圓截面鋼桿，d=24mm,P=100,

S=61.4。求:結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)時(shí)的理論極限載荷Pmax=？ABPCDEF1m1m1.5m1m算例解題思路由于CE和DF桿與結(jié)構(gòu)是并聯(lián)關(guān)系，只有CE和DF桿都失穩(wěn)時(shí)，才導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)。ABPCDEF1m1m1.5m1m因此，應(yīng)當(dāng)按照兩壓桿的臨界載荷Pcr求出結(jié)構(gòu)的理論極限載荷Pmax。圖示結(jié)構(gòu),AB為18號工字鋼梁,[]=120MPa,CD為兩端鉸鏈約束的圓截面鋼桿，d=24mm,P=100,

S=61.4，[n]st=2.8。要求:

ABPCD3m1.8m1m結(jié)構(gòu)的許用載荷Pmax=？算例3解題思路校核時(shí)，必須先按梁AB強(qiáng)度估算一個(gè)許用載荷。再按桿CD梁穩(wěn)定要求，估算第二個(gè)許用載荷。實(shí)際的許用載荷則為二者中最小值。即：Pmax=min：{，}ABPCD3m1.8m1m圖示結(jié)構(gòu),AC是圓截面鋼桿，d=80mm,C端與CB桿用球鉸鏈連接，A、B端均為固定端約束。BC為矩形截面桿，截面尺寸為b?h=70?90mm,桿長如圖所示,兩桿材料相同,材料的彈性模量E＝205GPa,P=100,

S=61.4，熱膨脹系數(shù)?=12.5?，[n]st=3。求：當(dāng)材料內(nèi)溫度升高100度后，校核系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3m1.8mABCdbh算例解題思路由于CE和DF桿與結(jié)構(gòu)是串聯(lián)關(guān)系，只要兩桿中有一根桿失穩(wěn)，就導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)。3m1.8mABCdbh先求出AC桿和CB桿的臨界載荷Pcr，再按靜不定桿方法，求出桿AC和桿CB的軸力。最后就可校核系統(tǒng)的穩(wěn)定性。影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素

一般情形下，控制構(gòu)件強(qiáng)度的因素主要是個(gè)別危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力、危險(xiǎn)面的幾何形狀和尺寸。§9–6提高壓桿穩(wěn)定性的措施影響壓桿穩(wěn)定承載能力的因素不同于影響強(qiáng)度的因素而壓桿喪失穩(wěn)定，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，這一過程不是某個(gè)截面或某幾個(gè)截面的行為，而是壓桿的一種整體行為。與梁的位移形成過程相似，壓桿的屈曲過程是壓桿所有橫截面彎曲變形的累加結(jié)果