數(shù)值分析01-第一章

封建湖、車(chē)剛明、聶玉峰編著數(shù)值分析原理科學(xué)出版社主要教材：華長(zhǎng)生制作2主要參考書(shū)：《數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)》韓旭里、萬(wàn)忠編著科學(xué)出版社華長(zhǎng)生制作3第一章緒論1.3舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性1.1數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)1.2誤差基礎(chǔ)知識(shí)華長(zhǎng)生制作4本章重點(diǎn):1.絕對(duì)誤差(限)和相對(duì)誤差(限)2.有效數(shù)字位數(shù)及其與誤差的關(guān)系華長(zhǎng)生制作51.1數(shù)值分析的對(duì)象與任務(wù)實(shí)際問(wèn)題的提出建立數(shù)學(xué)模型提出數(shù)值問(wèn)題設(shè)計(jì)高效、可靠的數(shù)值方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)實(shí)踐計(jì)算結(jié)果科學(xué)與工程領(lǐng)域中的問(wèn)題求解一般過(guò)程：華長(zhǎng)生制作6數(shù)值問(wèn)題：輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)確定而無(wú)歧義的描述即：輸入與輸出的都是數(shù)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題如求解線(xiàn)性方程組求解二次方程是數(shù)值問(wèn)題一、數(shù)值問(wèn)題華長(zhǎng)生制作7求解微分方程不是數(shù)值問(wèn)題將其變成數(shù)值問(wèn)題，即將其“離散化”“離散化”是將非數(shù)值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型化為數(shù)值問(wèn)題的主要方法華長(zhǎng)生制作8二、數(shù)值方法數(shù)值方法:是指解數(shù)值問(wèn)題的在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的系列計(jì)算公式在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的公式是指只含有加減乘除的公式現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)中幾乎都含有關(guān)于開(kāi)方的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)sqrt()常見(jiàn)的在計(jì)算機(jī)上不能直接運(yùn)行的計(jì)算有:開(kāi)方、極限、超越函數(shù)、微分、積分等等要在計(jì)算機(jī)上實(shí)行上述運(yùn)算需將其化為可執(zhí)行的等價(jià)或近似等價(jià)運(yùn)算華長(zhǎng)生制作9應(yīng)化為如求根公式應(yīng)化為公式華長(zhǎng)生制作10本課程的主要任務(wù):1.針對(duì)所求解的數(shù)值問(wèn)題尋找在計(jì)算機(jī)上可執(zhí)行的且有效的數(shù)值方法2.因?yàn)榭赡懿捎昧私频葍r(jià)運(yùn)算,故要進(jìn)行誤差分析,即數(shù)值問(wèn)題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性本課程的重點(diǎn)就是對(duì)線(xiàn)性方程組、微積分、微分方程、矩陣特征值及回歸擬合等問(wèn)題尋找行之有效的數(shù)值方法華長(zhǎng)生制作111.2誤差基礎(chǔ)知識(shí)一、誤差的種類(lèi)及來(lái)源模型誤差在建立數(shù)學(xué)模型過(guò)程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對(duì)問(wèn)題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問(wèn)題有一定的區(qū)別.觀測(cè)誤差在建模和具體運(yùn)算過(guò)程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過(guò)觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有誤差華長(zhǎng)生制作12如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差Taylor展開(kāi)截?cái)嗾`差由于計(jì)算機(jī)只能完成有限次算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算,因此要將有些需用極限或無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行的運(yùn)算有限化,對(duì)無(wú)窮過(guò)程進(jìn)行截?cái)?這就帶來(lái)誤差.華長(zhǎng)生制作13舍入誤差在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中還會(huì)遇到無(wú)窮小數(shù),因計(jì)算機(jī)受到機(jī)器字長(zhǎng)的限制,它所能表示的數(shù)據(jù)只能有一定的有限位數(shù),如按四舍五入規(guī)則取有限位數(shù),由此引起的誤差過(guò)失誤差由于模型錯(cuò)誤或方法錯(cuò)誤引起的誤差.這類(lèi)誤差一般可以避免華長(zhǎng)生制作14數(shù)值計(jì)算中除了過(guò)失誤差可以避免外,其余誤差都是難以避免的.數(shù)學(xué)模型一旦建立,進(jìn)入具體計(jì)算時(shí)所考慮和分析的就是截?cái)嗾`差和舍入誤差的估計(jì)、傳播和控制二、誤差和誤差限定義1.華長(zhǎng)生制作15絕對(duì)誤差限或誤差限,顯然或且華長(zhǎng)生制作16哪個(gè)更精確呢?定義2.relativeerror華長(zhǎng)生制作17絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限往往未知代替相對(duì)誤差代替相對(duì)誤差限因此華長(zhǎng)生制作18例1.解:華長(zhǎng)生制作19例2.解:可見(jiàn),經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對(duì)誤差限將不超過(guò)其末位數(shù)字的半個(gè)單位華長(zhǎng)生制作20則稱(chēng)三、有效數(shù)字華長(zhǎng)生制作21有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字華長(zhǎng)生制作22例3.實(shí)際上只有1個(gè)華長(zhǎng)生制作23華長(zhǎng)生制作24例4.華長(zhǎng)生制作25定理1．華長(zhǎng)生制作26

例5

已知近似數(shù)的相對(duì)誤差界為0.3%，問(wèn)至少有幾位有效數(shù)字？

解設(shè)有位有效數(shù)字，由于的第一個(gè)有效數(shù)沒(méi)有具體給定，而我們知道一定是1，2，，9中的一個(gè)，由故由定理式知=2，即至少有2位有效數(shù)字。華長(zhǎng)生制作27例6.解:則有定理1,相對(duì)誤差滿(mǎn)足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過(guò)0.1%.華長(zhǎng)生制作28四、誤差的傳播與估計(jì)(用泰勒公式）即華長(zhǎng)生制作29華長(zhǎng)生制作30華長(zhǎng)生制作31華長(zhǎng)生制作32絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子相對(duì)誤差增長(zhǎng)因子思考:試分析相近數(shù)相減的誤差傳播規(guī)律華長(zhǎng)生制作33特別地，對(duì)絕對(duì)誤差限的傳播關(guān)系有同樣，可以得到華長(zhǎng)生制作34解這里并且有于是有誤差界相對(duì)誤差界

例7

設(shè)有長(zhǎng)為,寬為的某場(chǎng)地。現(xiàn)測(cè)得的近似值M,d的近似值=90M，并已知它們的誤差界為試估計(jì)該場(chǎng)地面積的誤差界和相對(duì)誤差界。華長(zhǎng)生制作35例8

設(shè)有三個(gè)近似數(shù)它們都有三位有效數(shù)字。試計(jì)算的誤差界，并問(wèn)的計(jì)算結(jié)果能有幾位有效數(shù)字？

解于是有誤差界

相對(duì)誤差界因?yàn)樗阅苡袃晌挥行?shù)字。華長(zhǎng)生制作36一、浮點(diǎn)數(shù)系及其運(yùn)算的舍入誤差(略)二、算法的數(shù)值穩(wěn)定性1.3舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性舍入誤差在一定的條件下能夠得到控制或舍入誤差的增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果，則稱(chēng)該算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱(chēng)其數(shù)值不穩(wěn)定。華長(zhǎng)生制作37例8.計(jì)算定積分解:華長(zhǎng)生制作38誤差放大

5千倍!但如果利用遞推公式華長(zhǎng)生制作39因此在計(jì)算公式選用及算法設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)注意以下原則1.四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問(wèn)題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類(lèi)問(wèn)題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算誤差會(huì)放大誤差不會(huì)放大華長(zhǎng)生制作40而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.華長(zhǎng)生制作41(2)作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,會(huì)使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失由于在算法設(shè)計(jì)中,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減,則改變計(jì)算公式,如使用三角變換、有理化等等華長(zhǎng)生制作42例9.解方程解:由中學(xué)知識(shí)韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長(zhǎng)為8,基底為10的計(jì)算機(jī)上利用求根公式機(jī)器吃了因此在計(jì)算機(jī)上華長(zhǎng)生