山東省煙臺(tái)市海陽(yáng)第九中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省煙臺(tái)市海陽(yáng)第九中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A．若α⊥β，α⊥γ，則β⊥γB．若a，b與α所成的角相等，則a∥bC．若a⊥α，a∥β，則α⊥βD．若a∥b，a?α，則b∥α參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】閱讀型；空間位置關(guān)系與距離．【分析】結(jié)合兩平面的位置關(guān)系，由面面垂直的性質(zhì)，以及面面平行的判定即可判斷A；由線面角的概念，結(jié)合兩直線的位置關(guān)系即可判斷B；由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)以及面面垂直的判斷即可判斷C；由線面平行的判定定理即可判斷D．【解答】解：A．若α⊥β，α⊥γ，則β、γ可平行，如圖，故A錯(cuò)；B．若a，b與α所成的角相等，則a∥b或a，b相交或a，b異面，故B錯(cuò)；C．若a⊥α，a∥β，則過(guò)a的平面γ∩β=c，即有c∥a，則c⊥α，c?β，則α⊥β，故C正確；D．若a∥b，a?α，則b?α，或b∥α，由線面平行的判定定理得，若a∥b，a?α，b?α，則b∥α，故D錯(cuò)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，面面平行、垂直的判定和性質(zhì)，熟記這些是正確解題的關(guān)鍵．2.已知隨機(jī)變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝()A．2

B．8C．18

D．20參考答案：C略3.直線的傾斜角為A.30°

B.45°

C.60°

D.135°參考答案：B4.已知直線與圓R有交點(diǎn),則

的最小值是(

)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，，則

A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B6.已知雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】雙曲線、橢圓方程分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率．【解答】解：雙曲線mx2﹣ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，∴∴m=3n橢圓mx2+ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：∴橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為=∴橢圓mx2+ny2=1的離心率為故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、雙曲線的離心率，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．7.在正四面體ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則AE與CF所成角的余弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.的展開式中的系數(shù)為（

）A．360

B．180

C．179

D．359

參考答案：C略9.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則在直角坐標(biāo)系中函數(shù)的圖像為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于(

)A．2 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，∴e=，雙曲線的漸近線方程為y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，則c=2a，b=，∵焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線bx﹣ay=0的距離為，∴d=，即，解得c=2，則焦距為2c=4，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查是雙曲線的基本運(yùn)算，利用雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若方程+=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：∵程+=1表示雙曲線，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案為：（﹣2，2）∪（3，+∞）．12.已知△ABC為直角三角形，且，AB=8，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，若PA=PB=PC，且PＯ⊥平面ABC，Ｏ為垂足，則ＯＣ=．參考答案：4略13.設(shè)，若，則的最大值為

．參考答案：由柯西不等式，，知．14.已知圓的弦的中點(diǎn)為，則弦的長(zhǎng)為

▲

.參考答案：415.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 。參考答案：6016.已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是上底面A1B1C1D1（包括邊界）內(nèi)的任一點(diǎn)，若滿足的關(guān)系式為：

。參考答案：17.若，則與的大小關(guān)系是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)有關(guān)于的一元二次方程（1）若是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任意取一個(gè)數(shù)，是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任意取一個(gè)，求上述方程有實(shí)根的概率；（2）若，求上述方程有實(shí)根的概率.

參考答案：略19.如圖在正三棱錐P-ABC中，側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，(1)求證：BC⊥PA(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離參考答案：證明（1）E為BC的中點(diǎn)，又為正三棱錐BC⊥PA（2）設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為。則略20.以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)、在直線l上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線l的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，列出和，由可計(jì)算出的值.【詳解】（Ⅰ）在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）設(shè)、在直線l上對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程代入，整理得，則，，，.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，同時(shí)也考查直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，可將直線的參數(shù)方程與圓的普通方程聯(lián)立，利用的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解，也可以計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理計(jì)算出弦長(zhǎng)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）計(jì)算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知條件利用遞推導(dǎo)思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（Ⅱ）證法一：由，利用裂項(xiàng)求和法和放縮法進(jìn)行證明．證法二：利用用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，證明：（?。┊?dāng)n=1時(shí)，顯然成立．（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k….4分，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，結(jié)合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）證法一：∵，…10分∴．…14分證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，，，….8分（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，…9分則當(dāng)n=k+1時(shí)，要證：只需證：由于所以…13分于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N*，都有….14分【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)