中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)

第五章中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)

講授者：邵貴明單位：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)一、問(wèn)題情境華羅庚先生曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)問(wèn)題：一位教師讓三位聰明的學(xué)生看了一下事先準(zhǔn)備好的五頂帽子：三頂白帽子，兩頂黑帽子。然后請(qǐng)三人同時(shí)閉上眼睛并給每人戴上一頂帽子(戴上帽子的人看不見(jiàn)自己的帽子),將其余的藏起來(lái).隨后請(qǐng)三人同時(shí)睜開(kāi)眼睛，說(shuō)出自己的帽子的顏色.三人互相看了看，躊躇了一會(huì)兒，覺(jué)得很為難.而后，三人幾乎同時(shí)說(shuō)出了自己的帽子的顏色.說(shuō)出他們?nèi)说拿弊拥念伾?§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念1.數(shù)學(xué)概念的意義客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性．人們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中，逐漸認(rèn)識(shí)了所接觸對(duì)象的各種屬性．在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨(dú)有而其它事物所不具有的屬性，于是，便稱其為這種事物的本質(zhì)屬性．反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念．反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念．?dāng)?shù)學(xué)概念通常用特有的名稱或符號(hào)來(lái)表示．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念1.數(shù)學(xué)概念的意義數(shù)學(xué)概念通常用特有的名稱或符號(hào)來(lái)表示．名稱（或符號(hào)）和與此相關(guān)聯(lián)的概念分屬兩個(gè)不同的范疇．概念反映名稱（或符號(hào)）的內(nèi)容，表達(dá)出人們認(rèn)識(shí)事物的結(jié)果，而概念的名稱（或符號(hào)）是表達(dá)概念的語(yǔ)言形式．有時(shí)同一個(gè)概念會(huì)有不同的名稱（或符號(hào)），如“5”、“五”、“five”都表示同一個(gè)概念。因此，使用名稱（或符號(hào)）時(shí)，重要的是它所表達(dá)的內(nèi)容，即相關(guān)聯(lián)的概念本身．

§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念2.概念的內(nèi)涵與外延概念所反映的本質(zhì)屬性稱為概念的內(nèi)涵.——質(zhì)概念所反映的對(duì)象的總和，稱為概念的外延．——量例如，“平行四邊形”這一概念的外延是“所有平行四邊形的集合”，“偶素?cái)?shù)”這一概念的外延是“2”．必須注意“屬性”與“本質(zhì)屬性”的不同．一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的某個(gè)屬性，可以是其它數(shù)學(xué)對(duì)象也具有的，但是本質(zhì)屬性是它區(qū)別于其它數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性．例如，一組對(duì)邊平行“是平行四邊形的屬性，但不是本質(zhì)屬性；“對(duì)角線相等”是正方形的屬性，但不是本質(zhì)屬性．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念一個(gè)概念的內(nèi)涵實(shí)際是一個(gè)等價(jià)類，這個(gè)概念的內(nèi)涵的每一個(gè)表現(xiàn)形式都是它的一個(gè)代表元．我們約定，一般情況下，說(shuō)出一個(gè)概念的內(nèi)涵，只要說(shuō)出它的任一個(gè)代表元．概念的外延和內(nèi)涵是主觀對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)，由于人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過(guò)程中有其相對(duì)的穩(wěn)定性．例如角的概念，起初角是作為具有公共端點(diǎn)的兩條射線所構(gòu)成的圖形．其外延在小學(xué)階段為0°到180°的角，到初中發(fā)展為0°到360°的角．后來(lái)發(fā)展成：角是一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形．其外延，在平面幾何中為0°到360°的角，在三角中發(fā)展為任意角．在以上的發(fā)展變化過(guò)程中，角這一概念的外延與內(nèi)涵都發(fā)生了變化，但是在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的.概念的外延和內(nèi)涵二者是相互確定的．當(dāng)用集合表示一個(gè)概念的外延時(shí)，就給出了這個(gè)概念的內(nèi)涵．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念3.概念間的關(guān)系（1）相容關(guān)系如果兩個(gè)概念的外延至少有一部分重合，則稱它們之間的關(guān)系為相容關(guān)系．相容關(guān)系可分為以下三種情況：i）同一關(guān)系如果兩個(gè)概念的外延完全相同，則稱這兩個(gè)概念間的關(guān)系為同一關(guān)系，這兩個(gè)概念稱為同一概念．

A（B）圖5-1§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（1）相容關(guān)系——同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系i）同一關(guān)系例1下列各組概念是同一概念：（i）偶素?cái)?shù)；最小的正偶數(shù)．（ii）有理數(shù)；形如p/q（p、q是整數(shù)，

q≠0）的數(shù)．（iii）等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的平分線．

A（B）圖5-1§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（1）相容關(guān)系——同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系ii）從屬關(guān)系如果一個(gè)概念A(yù)的外延真包含于另一個(gè)概念B的外延，那么稱這兩個(gè)概念之間的關(guān)系為從屬關(guān)系．外延較小的概念A(yù)——種概念，外延較大的概念B——屬概念．

B圖5-2AB

A（B）圖5-1四邊形的外延平行四邊形的外延矩形的外延正方形的外延四邊形的內(nèi)涵平行四邊形的內(nèi)涵矩形的內(nèi)涵正方形的內(nèi)涵＞＞＞＜＜＜§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（1）相容關(guān)系——同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系iii）交叉關(guān)系如果兩個(gè)概念的外延有且只有部分重合，那么稱這個(gè)概念間的關(guān)系為交叉關(guān)系，這兩個(gè)概念叫交叉概念．

例3下列各組概念是交叉概念：（i）正數(shù)；整數(shù)．（ii）等腰三角形；直角三角形．（iii）矩形；菱形．兩個(gè)交叉概念的外延重合部分——具有這兩個(gè)概念的一切屬性．外延的重合部分另一個(gè)概念——原來(lái)的兩個(gè)概念的種概念．如例3中的交叉概念“正數(shù)”和“整數(shù)”——其外延重合部分——正整數(shù)正整數(shù)同時(shí)包含了正數(shù)和整數(shù)的一切屬性．

A（B）圖5-1B圖5-2ABA圖5-3B§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（2）不相容關(guān)系——矛盾關(guān)系、對(duì)立關(guān)系i）矛盾關(guān)系在同一屬概念之下的兩個(gè)種概念，如果它們外延的交集為空集，而外延的并集等于這個(gè)屬概念的外延，那么稱這兩個(gè)種概念之間的關(guān)系（相對(duì)于這一屬概念而言）為矛盾關(guān)系，這兩個(gè)概念稱為矛盾概念．

例5下列各組概念是矛盾概念：（i）零；非零整數(shù)（相對(duì)于屬概念“整數(shù)”而言）．（ii）不等邊三角形；等腰三角形（相對(duì)于屬概念“三角形”而言）．（iii）整式方程；分式方程（相對(duì)于屬概念“有理方程”而言）．A

B圖5-5§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（2）不相容關(guān)系——矛盾關(guān)系、對(duì)立關(guān)系ii）對(duì)立關(guān)系兩個(gè)種概念在同一屬概念之下，外延的交集是空集，而外延的并集小于這個(gè)屬概念的外延，那么稱這兩個(gè)種概念之間的關(guān)系（相對(duì)于這一屬概念而言）為對(duì)立關(guān)系，這兩個(gè)種概念叫對(duì)立概念．例4下列各組概念是對(duì)立概念：（i）正有理數(shù)；負(fù)有理數(shù)（相對(duì)于屬概念“有理數(shù)”而言）．（ii）等腰梯形，直角梯形（相對(duì)于屬概念“梯形”而言）．（iii）整式方程；分式方程（相對(duì)于屬概念“代數(shù)方程”而言）．

圖5-4CAB§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念4、概念的定義（1）概念的定義定義是建立概念的邏輯方法．人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)抽象，形成概念，就要借助語(yǔ)言或符號(hào)，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義．常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運(yùn)用邏輯的方法和精練的語(yǔ)言或符號(hào)揭示出對(duì)象的本質(zhì)屬性．下定義的方式——可以是直接揭示對(duì)象的本質(zhì)屬性來(lái)給出定義——可以是通過(guò)揭示概念的外延來(lái)給出定義這是因?yàn)楦拍畹耐庋油耆_定了它的內(nèi)涵．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（3）常用的定義方法i）屬概念加種差定義法一般地，屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來(lái)進(jìn)行定義的方法．

平行四邊形的定義——“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．”“平行四邊形”是被定義的概念，“四邊形”是已有定義的——是屬概念，“兩組對(duì)邊分別平行”——是平行四邊形與其它四邊形的差別，稱之為“種差”這種定義方法就是屬概念加種差定義法．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念ii)發(fā)生式定義法不是直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過(guò)指出概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生的過(guò)程，由此來(lái)定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法．

發(fā)生式定義法是屬概念加種差定義法的一個(gè)變異，這里的屬概念不一定是被定義概念最鄰近的屬概念，種差也不是揭示被定義概念相對(duì)于屬概念來(lái)說(shuō)特有的屬性，而是給出被定義概念所反映對(duì)象發(fā)生的過(guò)程．例如“平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做角．”“把數(shù)和表示數(shù)的字母用代數(shù)運(yùn)算符號(hào)聯(lián)結(jié)起來(lái)的式子叫代數(shù)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．”§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念iii)關(guān)系定義法是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性．例如，偶數(shù)的定義：能被２整除的整數(shù)叫做偶數(shù)．這是一個(gè)關(guān)于偶數(shù)的關(guān)系定義，它的種差是偶數(shù)與２的一種關(guān)系．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念iv)外延定義法有些數(shù)學(xué)概念的外延是單一的對(duì)象或是幾個(gè)簡(jiǎn)單明顯的對(duì)象組成的集合，往往直接揭示概念的外延作為定義．例如，“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”，“我們規(guī)定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定義法．v）遞歸定義法例如用遞推公式an=an-1+d定義等差數(shù)列，就是歸納定義法．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念（4）定義的規(guī)則i）定義必須是相稱的常常是先形成概念，再用下定義這樣的邏輯方法來(lái)明確和建立概念．下定義時(shí)，必須使定義所確定的概念和人們已經(jīng)形成的概念相一致．必須準(zhǔn)確揭示要建立的概念的基本內(nèi)涵，或者說(shuō)必須使由所下定義確定的概念外延和人們已經(jīng)形成的，已建立的概念的外延相同，這就是定義應(yīng)當(dāng)相稱的意思．例如，不能把“兩條不相交的直線”當(dāng)作平行線的定義，因?yàn)樵诳臻g，不相交的直線還有異面直線的情形．應(yīng)該是“在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線”．又如，不能把“無(wú)理數(shù)是開(kāi)不盡的方根”當(dāng)作無(wú)理數(shù)的定義，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)概念外延中還包括了除此而外的許多其它數(shù)，象π、e、tan2、sin1o等等．§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念ii）不能循環(huán)定義如果把甲概念作為已知概念來(lái)定義乙概念，又把乙概念作為已知概念來(lái)定義甲概念，就是循環(huán)定義，犯了邏輯錯(cuò)誤．循環(huán)定義既不能揭示概念的基本內(nèi)涵，又不能確定概念的外延．例如，用兩直線垂直來(lái)定義直角，又用兩直線成直角來(lái)定義垂直，就是循環(huán)定義§5.1數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)

5.1.1數(shù)學(xué)概念iii）一般不用否定形式作定義定義要揭示概念所反映對(duì)象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)．例如不能把“不是有理數(shù)的數(shù)叫做無(wú)理數(shù)”當(dāng)作無(wú)理數(shù)的定義，因?yàn)檫@既沒(méi)有揭示出無(wú)理數(shù)的基本內(nèi)涵，也沒(méi)有確定無(wú)理數(shù)的外延．當(dāng)然也有例外的情形，如平行線的定義．不過(guò)，這個(gè)定義表面上看，是否定形式，但它實(shí)際上揭示出了平行線“在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)”的本質(zhì)屬性．i