復(fù)習(xí)備用：全等三角形

第十二章全等三角形12.1全等三角形課前預(yù)習(xí)1.已知△ABC≌△DEF,∠A=45°,∠B=65°,DF=12cm,則∠F=

,AC=

.2.如下圖，△A′B′C′是由△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)某一角度得到的，則試寫出△A′B′C′和△ABC中對應(yīng)相等的邊有

、

、

.70°12cmA′B′=ABB′C′=BCA′C′=AC3.如下圖所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.∠1=∠2B.AC=CAC.∠D=∠BD.AC=BC4.若△ABC≌△DEF,且AB=8cm,BC=6cm,AC=7cm，那么DF的長為（）

A.8cmB.6cmC.7cmD.5cmDC課堂精講知識點1.全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．全等形關(guān)注的是兩個圖形的形狀和大小，而不是圖形所在的位置．看兩個圖形是否為全等形，只要把它們疊合在一起，看是否能夠完全重合即可.【例1】下列四個圖形中，全等的圖形是（）

A．①和②

B．①和③

C．②和③

D．③和④解析:根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．③和④可以完全重合，因此全等的圖形是③和④．答案：D

變式拓展1.下面是5個全等的正六邊形A、B、C、D、E，請你仔細(xì)觀察A、B、C、D四個圖案，其中與E圖案完全相同的是

.C知識點2全等三角形的概念和表示方法(1)能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形是特殊的全等形，全等三角形關(guān)注的是兩個三角形的形狀和大小是否完全一樣，疊合在一起是否重合，與它們的位置沒有關(guān)系．把兩個全等的三角形重合在一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角．（3)“全等”用

表示，讀作“全等于”，記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.【例2】如右圖.已知△ABC≌△ADE，寫出其對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角.解析：找對應(yīng)元素，有一簡便方法：先結(jié)合圖形判斷已知條件中的“△ABC≌△ADE”是否按照對應(yīng)頂點的字母順序?qū)懙?，如果確認(rèn)順序正確，則可以按照以下順序：≌寫出它們的對應(yīng)邊：AB與AD、BC和DE、AC與AE，類似地，可以寫出它們的對應(yīng)頂點、對應(yīng)角.答案：對應(yīng)頂點有A與A、B、與D、C與E；對應(yīng)邊有AB與AD、BC與DE、AC與AE；對應(yīng)角有∠ABC與∠ADE、∠ACB與∠AED、∠BAC與∠DAE.變式拓展2.如下圖所示，△ABC≌△BAD，且AC=BD.寫出這兩個三角形的其他對應(yīng)邊和對應(yīng)角.解：其他的對應(yīng)邊有AB=BA,BC=AD;其他的對應(yīng)角有∠CAB=∠DBA,∠ABC=∠BAD,∠C=∠D.知識點3全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.（2）運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可以證明兩條線段相等、兩個角相等．在運(yùn)用這個性質(zhì)時，關(guān)鍵是要結(jié)合圖形或根據(jù)表達(dá)式中字母的對應(yīng)位置，準(zhǔn)確地找到對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，牢牢抓住“對應(yīng)”二字.【例3】如下圖，△EFG≌△NMH，在△EFG中，F(xiàn)G是最長邊，在△NMH中，MH是最長邊，∠F和∠M是對應(yīng)角,EF=2.1cm,EH=1.1cm，HN=3.3cm.(1)寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角；(2)求線段NM及線段HG的長度.

解析：(1)根據(jù)△EFG≌△NMH的對應(yīng)關(guān)系寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角；(2)因為線段NM和線段EF是對應(yīng)邊.所以NM=EF=2.1cm，要求線段HG，可先求線段EG的長，而GE=HN=3.3cm.解：(1)∵△EFG≌△NMH,∴最長邊FG和MH是對應(yīng)邊，其他對應(yīng)邊是EF和NM、EG和NH；對應(yīng)角是∠E和∠N、∠EGF和∠NHM.(2)由(1)知NM=EF=2.1cm,GE=HN=3.3cm,∴HG=GE-EH=3.3-1.1=2.2(cm).變式拓展3.如下圖，△ABC沿直線BC向右平移線段BC長的距離后與△ECD重合，則△ABC≌

，相等的邊有

、

、

，相等的角有

、

、

.△ECDAB=ECBC=CDAC=ED∠ABC=∠ECD∠ACB=∠EDC∠A=∠E隨堂檢測1.下列圖形是全等形的是()2.已知△ABC≌△DEF，A與D，B與E，C與F分別為對應(yīng)頂點，若AB=7cm，BC=5cm，AC=8cm，則EF=（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cmDA3.如圖，△ACB≌△DCE，∠BCE=30°，則∠ACD的度數(shù)為（）

A．20°B．30°C．35°D．40°B4．如圖，△ABC與△BAD全等，可表示為

，∠C與∠D是對應(yīng)角，AC與BD是對應(yīng)邊，其余的對應(yīng)角是

，其余的對應(yīng)邊是

.5.如圖：△ABE≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠B=30°，則AD=

cm，∠ADC=

．△ABC≌△BAD∠CBA和∠DAB、∠CAB和∠DBAAB和BA、CB和DA590°12.2三角形全等的判定12.2.1三角形全等的判定——SSS課前預(yù)習(xí)1.已知△ABC與△DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF,那么這兩個三角形的關(guān)系為△ABC

△DEF.2.如右圖，已知AB=CD,AD=CB,則△ABC≌△CDA的根據(jù)是

.≌SSS3.在下圖中，若點D為BC的中點，若判定△ABD≌△ACD需添加條件

（邊），理由是

.

AB=ACSSS4.如下圖，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，則由“SSS”可以判定（）

A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不對

C課堂精講知識點三角形全等的條件——邊邊邊（SSS）及其應(yīng)用(1)判定：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”.①運(yùn)用此法證兩個三角形全等，應(yīng)設(shè)法確定這兩個三角形的三條邊分別相等．同時這個判定也告訴我們：當(dāng)三角形的三邊確定后，其形狀、大小也隨之確定．②書寫格式：在列舉兩個三角形全等的條件時，應(yīng)把三個條件按順序排列（一般是把同一個三角形的三個條件放在等號的同一側(cè)），并用大括號將其括起來：③有些題目可以直接從已知中找出全等的條件，而有些題目的已知條件是隱含在題設(shè)或圖形之中的，如公共邊、公共角、對頂角等，解題時一定要認(rèn)真讀圖，準(zhǔn)確地把握題意，找準(zhǔn)所需條件．（2）“SSS”的應(yīng)用：證明兩個三角形中的角相等或線平行等，常通過證明兩個三角形全等來解決.課堂精講【例1】如圖，在△ABC和△EFD中，AB=EF，AC=ED，點B，D，C，F(xiàn)在一條直線上．（1）請你添加一個條件，由“SSS”可判定△ABC≌△EFD．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：AB∥EF．解析：（1）根據(jù)條件可以得出由“SSS”可判定△ABC≌△EFD，就需要三組對邊分別相等，而條件告訴了兩組，只需要FD=BC或FC=BD．就可以得出結(jié)論；（2）由△ABC≌△EFD就可以得出∠B=∠F，進(jìn)而得出AB∥EF．解：（1）當(dāng)FC=BD時，△ABC≌△EFD，理由：∵FC=BD，∴FC+CD=BD+CD，即BC=DF．在△ABC和△EFD中，∴△ABC≌△EFD（SSS）．（2）∵△ABC≌△EFD，∴∠B=∠F，∴AB∥EF．【例2】如右圖，△ABC是一個風(fēng)箏架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架.求證：AD⊥BC.解析：要證AD⊥BC，根據(jù)垂直定義，需證∠1=∠2,而∠1=∠2可由△ABD≌△ACD求得，證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD.在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠1=∠2（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∵∠1+∠2=180°(平角的定義)，∴∠1=∠2=90°.∴AD⊥BC（垂直的定義）.課堂精講知識點三角形全等的條件——邊邊邊（SSS）及其應(yīng)用變式拓展1.如下圖，AB=CD，若添加條件

，則可根據(jù)“邊邊邊”公理證得△ABC≌△CDA.BC=AD2.如下圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC.求證：∠A=∠C.證明：在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠A=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.隨堂檢測1．如圖，在△ACE和△BDF中，AE=BF，CE=DF，要利用“SSS”證明

時，需增加的一個條件可以是()

A.AB=BCB.DC=BCC.AB=CDD.AC=BCB2.如圖，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，應(yīng)添加條件是

．3．如圖，AE=DF，CE=BF，AB=CD，得

=

，從而根據(jù)

，得△ACE≌△DBF.AC=DBACBDSSS4．已知，如圖，AB=CD，AC=BD，則△ABC≌

，

△ABC≌

.

△DCB△DAB5.如圖，AB=DF，AC=DE，BE=FC，問：△ABC與△DFE全等嗎？請說明你的理由．解：△ABC與△DFE全等．理由如下：∵BE=FC（已知），∴BE+EC=FC+EC，即BC=FE．在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE（SSS）．12.2.2三角形全等的判定——SAS課前預(yù)習(xí)1.兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，用字母表示簡寫成

.2.如右圖，只要

，則△ABC≌△ADC.()A.AB=AD,∠B=∠DB.AB=AD,∠ACB=∠ACDC.BC=DC,∠BAC=∠DACD.AB=AD,∠BAC=∠DACSASD3.如下圖，AB與CD相交于點O，AO=CO，只需添加一個條件

.就可用三角形全等的條件“邊角邊”證明△AOD≌△COB.DO=BO課堂精講知識點

三角形全等的條件——“邊角邊”（SAS）

及其應(yīng)用（1）判定：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.①此方法包含“邊”和“角”兩種元素，必須是兩邊夾一角才行，而不是兩邊及一邊對角分別相等，一定要注意元素的“對應(yīng)”關(guān)系.②書寫格式：

③此方法是證明兩個三角形全等最常用的方法之一，易和“邊邊角”(“SSA”)相混淆，誤將“SAS”的條件寫成“SSA”來證明兩個三角形全等．在應(yīng)用時，一定要按“邊一角一邊”的順序排列條件，不能出現(xiàn)“邊一邊一角”的錯誤，因為“邊邊角”不能保證兩個三角形全等.如圖所示，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC與△ABD不全等．（2）“SAS”的應(yīng)用：證明分別屬于兩個三角形中的角相等或線段相等等問題，常用到證明兩個三角形全等來解決.

【例1】在△ABC和△DEF中，下列給出的條件，能用“SAS”判定這兩個三角形全等的是（）A．AB=DE，BC=DF，∠A=∠DB．AB=EF，AC=DF，∠A=∠DC．AB=BC，DE=EF，∠B=∠ED．BC=EF，AC=DF，∠C=∠F解析：根據(jù)選項中所給的條件結(jié)合SAS定理分別進(jìn)行分析，可選出答案．只有BC=EF，AC=DF，∠C=∠F可以利用SAS證明△ABC和△DEF全等.答案：D

【例2】已知，如下圖，AB=AC，AD=AE.求證：∠B=∠C.

解析：利用SAS證明兩個三角形全等，∠A是公共角.

證明：在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD.∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

變式拓展1.如下圖，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF，還需的條件是（）

A.∠A=∠DB.∠B=∠EC.∠C=∠FD.以上三個均可以

B2.如下圖，AE=AC，AB=AD，∠EAB=∠CAD.求證：∠B=∠D.

證明：∵∠EAB=∠CAD,∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠CAB.在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知），∠CAB=∠EAD（已證），AC=AE（已知），∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的對應(yīng)角相等）.隨堂檢測1．在△ADF和△BCE中，若AD=BC，∠A=∠B，能直接利用“SAS”證明△ADF≌△BCE的條件是()A.AE=BFB.DF=CEC.AF=BED.∠CEB=∠DFA2．如圖，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，下列結(jié)論錯誤的是()A.∠B=∠DB.∠C=∠EC.BC=DED.BC=AECD3．如圖，在△ABC和△DEF中，AB∥DE可以推出

∠

=∠

，加上條件AB=DE和

，可得到△ABC≌△DEF,根據(jù)是

.BDEFBC=EFSAS4．如圖，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求證：DE=AB．證明：∵∠1=∠2，∴∠2+∠ECA=∠1+∠ECA,即∠ECD=∠BCA．在△ECD和△BCA中，∴△ECD≌△BCA（SAS）∴DE=AB.5.已知：如圖，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．問：△ADF與△CBE全等嗎？請說明理由．證明：全等.∵AD∥BC，∴∠A=∠C.在△ADF和△CBE中，∵

∴△ADF≌△CBE．12.2.3三角形全等的判定——ASA或AAS課前預(yù)習(xí)1.已知AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，則△ABC≌△A′B′C′的根據(jù)是（）A.SASB.SSAC.ASAD.AAS2.根據(jù)下列已知條件，能判定△ABC≌△A′B′C′的是（）A.AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′B.∠A=∠A′，∠B=∠C′，AB=A′B′C.△ABC的周長等于△A′B′C′的周長D.∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′CD3.下圖中兩個三角形全等的理由是

.4.如下圖，已知AB∥CD，∠ABC=∠CDA，則由“AAS”直接判定△

≌△

.

AASABCCDA課堂精講知識點1.三角形全等的條件——“角邊角”（ASA）及

其應(yīng)用（1）判定：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”.（2）用“ASA”來判定兩個三角形全等，一定要證明這兩個三角形有兩個角以及這兩個角的夾邊分別相等，證明時要加強(qiáng)對夾邊的認(rèn)識．（3）書寫格式：如圖所示，在△ABC和△A′B′C′中，

注意：在書寫兩個三角形全等的條件時，一般把夾邊相等寫在中間，以突出邊角的位置關(guān)系．（4）“ASA”的應(yīng)用：在證明兩個三角形中的角相等或線段相等常通過三角形全等來解決.【例1】如圖，點A、D、C、E在同一條直線上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，則CD的長為（）A．5.5

B．4

C．4.5

D．3解析：先證明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=7，再求出AD=AE﹣ED=3，即可得出CD=AC﹣AD=4.解：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中，

∴△ABC≌△EFD（ASA），∴AC=ED=7，∴AD=AE﹣ED=10﹣7=3，∴CD=AC﹣AD=7﹣3=4．答案：B變式拓展1.如下圖，O是AB的中點，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？

解：全等.∵在△AOC與△BOD中，∠A=∠B（已知）,OA=OB（線段中點的定義）,∠AOC=∠BOD（對頂角相等）,∴△AOC≌△BOD（ASA）.課堂精講知識點2.三角形全等的條件——“角角邊”（AAS）及

其應(yīng)用（1）判定：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.①這一結(jié)論很容易由“ASA”推得，將這一結(jié)論與“ASA”結(jié)合起來，即可得出：兩個三角形如果具備兩角和一條邊對應(yīng)相等，就可判定其全等．②書寫格式：如圖所示，在△ABC和△A′B′C′中，

注意：(1)“有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等”這句話正確嗎？不一定正確，這是因為：假設(shè)這條邊是兩角的夾邊，則根據(jù)角邊角可知正確；假設(shè)一個三角形的一邊是兩角的夾邊，而與另一個三角形相等的邊是其中一等角的對邊，則兩個三角形不一定全等．(2)有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，如圖所示，DE//BC，則∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，但△ADE和△ABC不全等．（2）“AAS”的應(yīng)用：證明角相等或線段相等可用三角形全等來解決問題.【例2】已知：如下圖，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.求證：AD=A′D′.解析：已知△ABC≌△A′B′C′，相當(dāng)于已知它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，在證明過程中，可根據(jù)需要，選取其中的一部分相等關(guān)系.證明：∵△ABC≌△A′B′C′,∴AB=A′B′,∠B=∠B′（全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）.∵AD、A′D′分別是△ABC、△A′B′C′的高（已知），∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.在△ABD和△A′B′D′中，∠B=∠B′,∠ADB=∠A′D′B′,AB=A′B′,∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).∴AD=A′D′（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.變式拓展2.如圖所示，AD為△ABC的中線，且CF⊥AD于點F，BE⊥AD，交AD的延長線于點E．求證：BE=CF.證明：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°．△BED≌△CFD(AAS)．∴BE=CF.隨堂檢測1．下列判斷中錯誤的是（

）A．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角

形全等D．有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等B2.如圖，要量湖兩岸相對兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A、C、E在一條直線上，這時可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（）

A．SSS

B．SAS

C．ASA

D．AASC3．已知，如圖，∠B=∠DEF,AB=DE,△ABC≌△DEF.(1)若以∠ACB=∠DFE得出△ABC≌△DEF，依據(jù)是

；(2)若以BC=EF得出△ABC≌△DEF，依據(jù)是

；(3)若以∠A=∠D得出△ABC≌△DEF，依據(jù)是

.AASSASASA4.如圖，△ABC中，D是邊BC的中點，延長AD到點E，且CE∥AB，求證：△ABD≌△ECD.證明：∵CE∥AB，∴∠B=∠ECD，∵D為BC中點，∴BD=DC，在△ADB和△EDC中，∴△ABD≌△ECD（ASA）．5.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過點A作任一直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，證明：DE=BD-CE.證明：∵BD⊥AN,CE⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAD+∠EAC=90°，∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE.

在△ABD和△CAE中，∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE-AD=BD-CE.12.2.4三角形全等的判定——HL課前預(yù)習(xí)1.如下圖，點P是∠BAC內(nèi)一點，且P到AB、AC的距離PE=PF，則△PEA≌△PFA的理由（）A.HLB.AASC.SSSD.ASAA2.如右圖，△ABC與△EDF中∠B=∠D=90°,∠A=∠E,B、F、C、D在同一直線上，再添上下列條件，不能判斷△ABC≌△EDF的是（）A.AB=EDB.AC=EFC.AC∥EFD.BC=DFC3.如下圖，AE⊥BD于點C，AB=ED，AC=EC，求證：△ABC≌△EDC.證明：∵AE⊥BD,∴∠ACB和∠ECD是直角.在Rt△ABC和Rt△EDC中，AB=ED，AC=EC，∴Rt△ABC≌Rt△EDC.課堂精講知識點斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角

形全等，可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”（1）“HL”定理是直角三角形所獨(dú)有的，對于一般三角形不成立．（2）書寫格式：如下圖所示，在

和

中，

（3）判定一般三角形全等的所有方法對判定兩個直角三角形全等全部適用，至此我們可以根據(jù)SSS，SAS，ASA，AAS和HL五種方法去判定兩個直角三角形全等，在用一般方法證明時，因為兩個直角三角形中已具備一對直角相等的條件，故只需找另外麗個條件即可，在實際證明中可根據(jù)條件靈活選用不同的方法．【例1】如下圖，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分別是點E、F.求證：∠1=∠2.解析：由HL可證Rt△AEC≌Rt△AFB.得∠BAF=∠CAE，都減去∠BAC，從而∠1=∠2.證明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB為直角三角形.∵AE=AF，AB=AC（已知）.∴Rt△AEC≌Rt△AFB(HL).∴∠EAC=∠FAB.∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC，即∠1=∠2.【例2】如下圖所示，有兩個長度相等的滑梯（即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長度DF相等，則∠ABC+∠DFE=

.解析：由HL可得兩個直角三角形全等，把要求的兩角之和轉(zhuǎn)化為一個直角三角形的兩銳角之和.解：由現(xiàn)實意義及圖形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因為BC=EF，AC=DF，可知

Rt△ABC≌Rt△DEF，得∠DFE=∠ACB.因為∠ACB+∠ABC=90°,故∠ABC+∠DFE=90°.答案：90°變式拓展1.如下圖，已知AC=BD,∠C=∠D=90°,求證：Rt△ABC≌Rt△BAD.證明：∵∠C=∠D=90°,∴△ABC與△BAD都是直角三角形.在Rt△ABC與Rt△BAD中，∵AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).2.如右圖，有一正方形窗架，蓋房時為了穩(wěn)定，在上面釘了兩個等長的木條GF與GE，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，可證得Rt△AGE≌

,理由是

，于是G是

的中點.Rt△BGFHLAB隨堂檢測1．下列條件中，能使兩個直角三角形全等的條件是

()A．兩直角邊對應(yīng)相等

B.一銳角對應(yīng)相等C．兩銳角對應(yīng)相等

D．斜邊相等2．已知，如圖，∠A=∠D=90°，BE=CF,AC=DE，則△ABC≌

.A△DFE3.如圖，已知∠A=∠D=90°，E、F在線段BC上，DE與AF交于點O，且AB=CD，BE=CF．求證：Rt△ABF≌Rt△DCE．證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABF與△DCE都為直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．4.如圖，在△ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A，B兩點分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足．AE=CF，求證：∠ACB=90°．證明：如圖，在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），∴∠EAC=∠BCF，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°﹣90°=90°．三角形全等復(fù)習(xí)課課堂精講知識點.判定兩個三角形全等常用的思路和方法【例1】如圖，已知∠1=∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．BD=CD

B．AB=AC

C．∠B=∠CD．∠BAD=∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS對各個選項逐一分析即可得出答案．A.∵∠1=∠2，AD為公共邊，若BD=CD，則△ABD≌△ACD（SAS）；B.∵∠1=∠2，AD為公共邊，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠B=∠C，則△ABD≌△ACD（AAS）；D.∵∠1=∠2，AD為公共邊，若∠BAD=∠CAD，則△ABD≌△ACD（ASA）.答案：B【例3】在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF=AE，BC=DA．求證：Rt△ABE≌Rt△CDF．解析：根據(jù)全等三角形的判定定理HL證得Rt△ADC≌Rt△CBA，在該全等三角形的對應(yīng)邊相等：DC=BA，然后再由HL來證得Rt△ABE≌Rt△CDF．證明：如圖，在Rt△ADC與Rt△CBA中，∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC=BA．又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE與Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．變式拓展1.如圖，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一個條件是

．AB=AC2.（2015南寧模擬）如圖，AB，CD相交于點O，AB=CD，（1）請你添加一個條件使得△AOB≌△COD．（2）證明你的結(jié)論．解：（1）添加條件：∠A=∠C；（2）證明：在△AOB和△COD中，∵∴△AOB≌△COD（AAS）．3.（2015晉江市一模）如圖，AB∥CD，AB=CD，點E、F在AD上，且AE=DF．求證：△ABE≌△DCF．證明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS）．隨堂檢測1.如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的條件是（）

A．∠B=∠C，BD=DCB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．BD=DC，AB=ACA2.如圖，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，BE=CD，則△

≌△

，理由是

．BECCDBHL3.已知：如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：△ABC≌△DEF．證明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．4.如圖，A、B、C、D四點在同一條直線上，AB=CD，EC=DF，EC∥DF．求證：△ACE≌BDF．證明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．又∵EC∥DF，∴∠ACE=∠BDF．在△ACE與△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SAS）．5.如圖所示，已知AC=BD，∠CAB=∠DBA．求證：（1）△CAB≌△DBA；（2）△CAO≌△DBO．證明：（1）在△CAB和△DBA中，∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）由（1）可知△CAB≌△DBA，∴∠C=∠D，在△CAO和△DBO中，∴△CAO≌△DBO（AAS）．12.3角的平分線的性質(zhì)課前預(yù)習(xí)1.在用尺規(guī)作圖得一個角的平分線時，是用下列哪種方法證明三角形全等的（

）A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如下圖，AD平分∠BAC，點P在AD上，若PE⊥AB,PF⊥AC，則PE=

.DPF3.如下圖,已知AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3cm，則點D到AC的距離是（

）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB4.如下圖，PD⊥AB，PE⊥AC,且PD=PE，連接AP,則∠BAP

∠CAP.=課堂精講知識點1.畫角的平分線的方法作已知角的平分線的方法有很多，主要有折疊法和尺規(guī)作圖法，尺規(guī)作圖法是常用的方法．尺規(guī)作圖法的步驟歸納如下：（1）以點O為圓心，OA為半徑畫孤，交OB于B.（2）分別以點A，點B為圓心，以AB，BA為半徑作孤，兩孤相交于點D.（3）則射線OD為所求.【例1】利用尺規(guī)平分如下圖的鈍角∠AOB，并寫出作圖步驟.解：作法:(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.(2)分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C.(3)射線OC即為所求（如下圖）.D

變式拓展1.如下圖，先作∠α的鄰補(bǔ)角，再畫該鄰補(bǔ)角的平分線.知識點2.角的平分線的性質(zhì)（1）內(nèi)容：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．（2）書寫格式：如圖所示，∵OM是∠AOB的平分線，C是OM上一點，CE⊥OA于點E，CF⊥OB于點F，∴CE=