復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉PPT第一章

課程名稱：復(fù)變函數(shù)論教材：《復(fù)變函數(shù)論》第三版鐘玉泉高等教育出版社授課教師：阮妮2023/1/311對(duì)象：復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)：研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、課程介紹2023/1/312學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。2023/1/313背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。2023/1/314復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支。2023/1/315復(fù)變函數(shù)的理論已經(jīng)深刻地深入到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支，是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)所必需的一門基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論不但是我們所學(xué)數(shù)學(xué)分析的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)以及自動(dòng)控制學(xué)等，目前也被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、電子工程等領(lǐng)域。2023/1/316第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集第三節(jié)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)2023/1/317第一節(jié)復(fù)數(shù)1.虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位的特性:2.復(fù)數(shù):2023/1/318兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)z

=0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.注：實(shí)數(shù)可以比較大小,但復(fù)數(shù)不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的代數(shù)和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:4.共軛復(fù)數(shù):實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).2023/1/3196.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):P16例1解5.復(fù)數(shù)域:全體復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域,記作C.實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是代數(shù)學(xué)中所研究的域的概念的實(shí)例.2023/1/3110

例2解：設(shè)左右兩邊平方2023/1/3111三、復(fù)平面1.復(fù)數(shù)的模顯然下列各式成立2023/1/31122.復(fù)數(shù)的輻角輻角不確定.注：2023/1/3113輻角主值的定義:P8-92023/1/3114當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

書本：例1.2P9

2023/1/31153.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.2023/1/31164.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)2023/1/31175.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成:復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式:復(fù)數(shù)可以表示成:復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式書本：例1.4P112023/1/3118例1解2023/1/31196.復(fù)數(shù)在幾何上的應(yīng)用舉例下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形。書本：P182023/1/3120例1求下列方程所表示的曲線:解化簡(jiǎn)后得2023/1/31211.乘積與商定理一

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為：注由于輻角的多值性,兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值,右端必有值與它相對(duì)應(yīng).書本：P122023/1/3122定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.2.冪與根

n次冪:2023/1/3123棣莫弗公式推導(dǎo)過(guò)程如下:棣莫弗公式根據(jù)棣莫佛公式,2023/1/3124當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).從幾何上看,2023/1/3125例1解即書本：例1.8P15；例1.14P202023/1/31261.2.1復(fù)平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念定義1.1鄰域:記作:或N(z0)={z||z-z0|<}記作：或N0(z0)={z|0<|z-z0|<}第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集2023/1/3127定義1.2聚點(diǎn)、外點(diǎn)、孤立點(diǎn)如果z0屬于E，但不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的孤立點(diǎn).如果z0不屬于E，又不是E的聚點(diǎn)，則稱z0為E的外點(diǎn).z0為E的孤立點(diǎn)>0:N(z0)E={z0}z0為E的外點(diǎn)>0:N(z0)E=2023/1/3128定義1.3內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界、閉集:

如果E內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末E稱為開集.如果在z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi),都有屬于

E

的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱z0為E的邊界點(diǎn)。z0為E的內(nèi)點(diǎn)>0:N(z0)E點(diǎn)集E的全體邊界組成的集合稱為E的邊界.記為:E（孤立點(diǎn)是邊界點(diǎn)，反之不成立）若點(diǎn)集E的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集；任何集合E的閉包一定是閉集.2023/1/3129定義1.4有界集和無(wú)界集:zxy有界！o例1

圓盤N(z0)={z||z-z0|<}是有界開集；閉圓盤是有界閉集。例2

集合,圓心它是的孤立點(diǎn)，是集合的聚點(diǎn)。2023/1/3130定義1.5區(qū)域:如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開集；(2)D是連通的,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).D加上D的邊界稱為閉域。1.2.2區(qū)域與Jordan曲線記為D＝D+D

z1z2D說(shuō)明

(2)區(qū)域邊界可能由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成.

(1)區(qū)域都是開的.以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界2023/1/3131定義1.6連續(xù)曲線:平面曲線C的復(fù)數(shù)表示:C的實(shí)參數(shù)方程C的復(fù)參數(shù)方程起點(diǎn)z()C終點(diǎn)z()zxyCC的正向：起點(diǎn)終點(diǎn)o2023/1/3132

沒有重點(diǎn)的曲線C稱為簡(jiǎn)單曲線(或若當(dāng)(Jordan)曲線).重點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn)換句話說(shuō),簡(jiǎn)單曲線自身不相交.簡(jiǎn)單曲線是z平面上的一個(gè)有界閉集.2023/1/3133簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)若當(dāng)(Jordan)定理任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成C,I(C),E(C)三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.滿足：I(C)E(C)邊界（1）I(C)是一個(gè)有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.（2）E(C)是一個(gè)無(wú)界區(qū)域（稱為C的外部）.（3）若簡(jiǎn)單折線P的一個(gè)端點(diǎn)屬于I(C)，另一個(gè)端點(diǎn)屬于E(C)

，則P必與C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共邊界.2023/1/3134定義1.7可求長(zhǎng)曲線:設(shè)連續(xù)弧C的參數(shù)方程為:任取實(shí)數(shù)列考慮C上對(duì)應(yīng)點(diǎn)列將它們用一折線連接起來(lái)，有上界，則稱C為可求長(zhǎng)的，上確界稱為C的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度為。若對(duì)所有數(shù)列，光滑曲線C:特點(diǎn)（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線（2）光滑曲線可以求長(zhǎng)2023/1/3135由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.分段光滑曲線必是可以求長(zhǎng)的，但簡(jiǎn)單曲線或簡(jiǎn)單閉曲線卻不一定可求長(zhǎng)。單連通區(qū)域與多連通區(qū)域的定義:復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通區(qū)域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通區(qū)域.oxy2023/1/3136單連通區(qū)域多連通區(qū)域（二連通，三連通，四連通…)簡(jiǎn)單閉曲線的方向：沿著一條簡(jiǎn)單閉曲線C前行時(shí)，C的內(nèi)部總在左側(cè)，此方向稱為曲線C的正方向，否則，稱為負(fù)方向。2023/1/3137例1指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無(wú)界的,單連通的還是多連通的.解無(wú)界的單連通區(qū)域(如圖).是角形域,無(wú)界的單連通區(qū)域(如圖).2023/1/3138無(wú)界的多連通區(qū)域.表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通區(qū)域.2023/1/31391.定義:第三節(jié)復(fù)變函數(shù)2.單(多)值函數(shù)的定義:3.函數(shù)的定義域和值域:1.3.1復(fù)變函數(shù)的定義4.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:P29例1.242023/1/31401.3.2映射的概念1.引入:2.映射的定義:2023/1/31411.3.2映射的概念xuGG*Z平面zwW=f(z)vyW平面注：像點(diǎn)的原像可能不只一點(diǎn)2023/1/31423.反函數(shù)的定義:根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.2023/1/31431.3.3復(fù)變函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:P34注意:2023/1/31442.極限的計(jì)算性質(zhì)定理一證(1)

必要性.有2023/1/3145(2)充分性.則對(duì)于任意[證畢]2023/1/3146定理二與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類似.2023/1/3147證(二)例1證(一)根據(jù)定理一可知,2023/1/3148例2證根據(jù)定理一可知,2023/1/31491.連續(xù)的定義:連續(xù)的三要素:（1）

f(z)在z0處有定義（2）f(z)在z0處有極限（3）f(z)在z0處的極限值等于函數(shù)值1.3.4復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性2023/1/3150定理1.3例如：2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)P352023/1/3151特別地，(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.例1

證設(shè)由于2023/1/3152例2證P35例1.26例1.27例1.282023/1/31533.有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)P38>0,>0,z1,z2E,當(dāng)|z1-z2|<時(shí),有|f(z1)-f(z2)|<.定理1.7

設(shè)E是有界閉集，f(z)C(E),則有：（1）f(z)在E上有界：（2）|f(z)|在E上有最大（?。┲担矗海?）

f(z)在E上一致連續(xù)，即2023/1/31544.復(fù)變函數(shù)的極限性質(zhì)定理1(Bolzano-Weiestrass聚點(diǎn)定理)每一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理2(閉集套定理)定理3(Heine-Borel有限覆蓋定理)2023/1/3155一、復(fù)球面1