安徽-數(shù)學(xué)歸納法(吳中才)

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教材分析學(xué)生學(xué)情教學(xué)目標(biāo)方法手段教學(xué)程序板書設(shè)計數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教材分析學(xué)生學(xué)情教學(xué)目標(biāo)方法手段教學(xué)程序板書設(shè)計教學(xué)內(nèi)容地位作用重點難點數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人民教育出版社全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(選修II)第二章第一節(jié)的內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)大綱，本節(jié)共3課時，這是第1課時,主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法理解與簡單應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識的深入與擴展,也是一種重要的數(shù)學(xué)方法,可以使學(xué)生學(xué)會一種研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法．重點：歸納法意義的認識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析．難點：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解．?dāng)?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例學(xué)生學(xué)情教材分析教學(xué)目標(biāo)方法手段教學(xué)程序板書設(shè)計知識準(zhǔn)備能力儲備學(xué)生情況學(xué)生對等差（比）數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸納的概念是模糊的．學(xué)生經(jīng)過中學(xué)五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具有一定的推理能力，數(shù)學(xué)思維也逐步向理性層次躍進，并逐步形成了辨證思維體系．但學(xué)生自主探究問題的能力普遍還不夠理想．

我所在的學(xué)校是省屬重點中學(xué)，所教的班級是平行班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯.

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)教材分析學(xué)生學(xué)情方法手段教學(xué)程序板書設(shè)計知識與技能過程與方法情感態(tài)度價值觀了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì)．掌握兩個步驟；會證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題．培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,論證的能力,發(fā)展抽象思維能力和創(chuàng)新能力．培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力．努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率．讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想．讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點；體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神．?dāng)?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例方法手段教材分析學(xué)生學(xué)情教學(xué)目標(biāo)教學(xué)程序板書設(shè)計教學(xué)方法學(xué)法指導(dǎo)教學(xué)手段類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法進行教學(xué)在教學(xué)過程中，我不僅要傳授學(xué)生課本知識，還要培養(yǎng)學(xué)生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達到較為理想的教學(xué)終極目標(biāo)．

借助多媒體呈現(xiàn)多米諾骨牌等生活素材,真正輔助課堂教學(xué).

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)程序教材分析學(xué)生學(xué)情教學(xué)目標(biāo)方法手段板書設(shè)計第一階段:輸入階段第二階段:新舊知識相互作用階段第三階段:操作階段創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維;

回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識;

借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨.搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;

類比數(shù)學(xué)問題,激起思維浪花;

引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法.蘊含猜想證明,培養(yǎng)研究意識;

基礎(chǔ)反饋練習(xí),鞏固方法應(yīng)用;

師生共同小結(jié),完成概括提升;

布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊.教學(xué)設(shè)計三條線:

1.知識線;

2.思想方法線;

3.邏輯思維線.第一階段:輸入階段創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維(1)不完全歸納法引例

明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的．(2)完全歸納法對比引例

有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟比大徒弟聰明．

第一階段:輸入階段回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(1)不完全歸納法實例

給出等差數(shù)列前四項,寫出該數(shù)列的通項公式．

(2)完全歸納法實例

證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況．

第一階段:輸入階段借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨問題1已知=(n∈N*),

(1)分別求,,,.

(2)由此你能得到一個什么結(jié)論?這個結(jié)論正確嗎?問題2

費馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認為，當(dāng)n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．問題3,當(dāng)n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？

驗證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝

，是合數(shù)．第二階段:新舊知識相互作用階段搜索生活實例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣多米諾成功的關(guān)鍵有兩點：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下．

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．

第二階段:新舊知識相互作用階段類比數(shù)學(xué)問題,激起思維浪花(1)當(dāng)n＝1時等式成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立,即ak=a1+(k－1)d,則

ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d,即n＝k＋1時等式也成立．

于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式

an=a1+(n－1)d對任何n∈N*都成立．

類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項公式.

第二階段:新舊知識相互作用階段引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*,k≥n0)時結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確．完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．

(1)證明當(dāng)n取第一個值n=n0時結(jié)論正確;第三階段:操作階段蘊含猜想證明,培養(yǎng)研究意識例題在數(shù)列{}中,＝1,(n∈),

先計算，，的值，再推測通項的公式,

最后證明你的結(jié)論．

第三階段:操作階段基礎(chǔ)反饋練習(xí),鞏固方法應(yīng)用（1）（第63頁例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2.（2）（第64頁練習(xí)3）首項是a1,公比是q的等比數(shù)列的通項公式是an=a1qn－1.第三階段:操作階段師生共同小結(jié),完成概括提升(1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．

第三階段:操作階段布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊(1)課本第64頁練習(xí)第1,2題；第67頁習(xí)題2.1第2題．(2)(辨析與思考)

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+23+…+2n－１=2n－1

(n∈N*)時,其中第二步采用下面的證法：

設(shè)n＝k時等式成立,即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1,則當(dāng)n＝k＋1時,,即n＝k＋1時等式也成立．

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教材分析學(xué)生學(xué)情教學(xué)目標(biāo)方法手段教學(xué)程序板書設(shè)計

2.1數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例問題1