微分幾何第四版答案(三)曲面的第二基本形式

§3曲面的第二基本形式1.計算懸鏈面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0}={-sinhusinv,sinhucosv,0},={coshucosv,coshusinv,0},={-coshucosv,-coshusinv,0},=coshu,=0,=coshu.所以=coshu+coshu.==,L=,M=0,N==1.所以=-+。2.計算拋物面在原點的第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示為,,,,,,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,=,=.3.證明對于正螺面={u,u,bv},-∞<u,v<∞處處有EN-2FM+GL=0。解，={0,0,0},={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，，L=0,M=,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.4.求出拋物面解在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.,,,,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率.5.已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解設(shè)平面與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1.6.利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比例。證明因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類基本量成比例。7．求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對于正螺面={u,u,bv}，，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，L==0,N==0.所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8.求曲面的漸近線.解曲面的向量表示為,,..漸近線的微分方程為,即一族為dy=0,即,為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即.8.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，，，在曲線上，t=0,,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.9.證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù),y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證曲面的向量表示為={x,y,f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。,.因為,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族x=常數(shù),y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)。,u,bv}上的曲率線.11.確定螺旋面={u解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，，L=0,M=,N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:.12.求雙曲面z=axy上的曲率線.解N=0.由=0得,積分得兩族曲率線為.13.求曲面上的曲率線的方程.解M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是::.14.給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線,所以沿L有,又沿L有?=常數(shù),求微商得,所以,即-·=0,則有=0,或·=0.若=0,則L是平面曲線；若常向量，而當(dāng)L是漸近線時，·=0，L又是曲面的漸近線，則沿L，=0，這時d=，為=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若，則因∥，所以∥，所以d∥，由伏雷內(nèi)公式知d∥（）而L是曲率線，所以沿L有d∥，所以有=0,從而曲線為平面曲線；因為L是曲率線，所若不垂直于，則有?=常數(shù),求微商得以沿L有∥，所以，所以，即-∥（-·=0，若=0，則問題得證；否則·=0，則因，有∥，∥）∥，矛盾。15．如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。16．求正螺面的主曲率。解設(shè)正螺面的向量表示為解={u,u,bv}.，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，，L=0,M=,N=0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+LN-=0得=。所以主曲率為。17．確定拋物面z=a()在（0，0）點的主曲率.解曲面方程即，，，，。在（0，0）點,E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,N=2a.所以-4a+4=0，兩主曲率分別為=2a,=2a.18.證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證曲面上的給定點處兩主曲率分別為的法曲率分別為、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向，，即為常數(shù)。19.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證由得,即漸進(jìn)方向為,=-.又-+=2為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).20.求證正螺面的平均曲率為零.證由第3題或第16題