山東省青島市即墨第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山東省青島市即墨第四中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾五步，股一十二步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：C直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，內(nèi)切圓的面積為，豆子落在其內(nèi)切圓外部的概率是，故選C.

2.已知表示數(shù)列的前項(xiàng)的和，若對(duì)任意滿足且則=（

）A．B．C．D．參考答案：C在中，令則，令，則，于是，故數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，.選C.3.設(shè)函數(shù)f（x）=，若對(duì)任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a2t2+at，則正實(shí)數(shù)a的最小值是(

)A．2B．C．D．參考答案：B考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：此題的突破口在于如何才會(huì)存在唯一的x滿足條件，結(jié)合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，即只有當(dāng)f（x）＞2時(shí)，才會(huì)存在一一對(duì)應(yīng)．解答： 解：根據(jù)f（x）的函數(shù)，我們易得出其值域?yàn)椋篟，又∵f（x）=2x，（x≤0）時(shí)，值域?yàn)椋?，1]；f（x）=log2x，（x＞0）時(shí)，其值域?yàn)镽，∴可以看出f（x）的值域?yàn)椋?，1]上有兩個(gè)解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，必有f（f（x））＞1（因?yàn)?a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，當(dāng)x＞4時(shí)，x與f（f（x））存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是可以把2a2t2+at當(dāng)作是一個(gè)數(shù)，然后在確定數(shù)的大小后再把它作為一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)．4.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）．①在△ABC中，若，則△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，若，則③兩個(gè)向量，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使④等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：B【分析】對(duì)每個(gè)命題逐一檢驗(yàn)其正確性:①：若，則或；②:轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題：在△ABC中，若，則，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可證；③：若，不合命題的充要性，命題為假；④：常數(shù)列不合題意.【詳解】對(duì)于①：若，則或，即或即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以該命題不正確；對(duì)于②：證明其等價(jià)命題即其逆否命題：在△ABC中，若，則當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)單調(diào)遞增可得；當(dāng)時(shí)，，所以原命題成立，所以該命題正確；對(duì)于③：若，滿足向量，共線，但不存在實(shí)數(shù)，使，所以該命題不正確；對(duì)于④：常數(shù)列，通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和公式不是二次函數(shù)，所以該選項(xiàng)不正確，綜上：只有一個(gè)正確.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)命題真假性的判斷，涉及解三角形，向量，數(shù)列相關(guān)知識(shí)，此類問(wèn)題涉及面廣，考查全面，對(duì)綜合能力要求較高.5.

設(shè)圓O1和圓O2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則圓P的圓心軌跡不可能是（

）參考答案：A解：設(shè)圓O1和圓O2的半徑分別是r1、r2，|O1O2|=2c，則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點(diǎn)為O1、O2，且離心率分別是和的圓錐曲線（當(dāng)r1=r2時(shí)，O1O2的中垂線是軌跡的一部份，當(dāng)c=0時(shí)，軌跡是兩個(gè)同心圓）。當(dāng)r1=r2且r1+r2<2c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)B；當(dāng)0<2c<|r1?r2|時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)C；當(dāng)r1≠r2且r1+r2<2c時(shí)，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)D。由于選項(xiàng)A中的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)不重合，因此圓P的圓心軌跡不可能是選項(xiàng)A。6.已知，，則A∩B=（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】分別根據(jù)分式不等式求解以及余弦的值域求解計(jì)算集合,再求交集即可.【詳解】,.故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解以及根據(jù)定義域求余弦函數(shù)的值域方法,同時(shí)也考查了交集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1繞其體對(duì)角線BD1旋轉(zhuǎn)θ之后與其自身重合，則θ的值可以是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由正方體的特點(diǎn)，對(duì)角線BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C為等邊三角形得答案．【解答】解：如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，對(duì)角線BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C為等邊三角形，正方體繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)120°能與原正方體重合．故選：C．8.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則（）A．54 B．48 C．32 D．16參考答案：D9.過(guò)的重心任作一直線分別交、于點(diǎn)、，若則的值為

A.4

B.1

C.2

D.3參考答案：D10.若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為（

）A．

B． C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：12.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為

.參考答案：313.已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，若，為方程的兩根，則=____________.

．參考答案：-3，14.復(fù)數(shù)(1+i)(1-i)=_________參考答案：2略15.已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

▲

.參考答案：3316.已知R,，，則M的最大值是

．參考答案：．試題分析：由柯西不等式式易知，所以即是，故應(yīng)填入．考點(diǎn)：1．復(fù)數(shù)的概念；2．虛數(shù)的定義；3．純虛數(shù)的定義．17.已知等差數(shù)列{an}滿足：a1+a5=4，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)之積為

（用數(shù)字作答）參考答案：1024【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5項(xiàng)和，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}滿足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴數(shù)列{2}的前5項(xiàng)之積為2=210=1024，故答案為：1024【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)，.（1）若曲線與在它們的交點(diǎn)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．參考答案：解：（1）因?yàn)?，，所以?…………………1分因?yàn)榍€與在它們的交點(diǎn)處有相同切線,所以,且。即,且,………………2分解得.……………ks5u……………3分（2）當(dāng)時(shí)，，所以．…………………4分令，解得．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．………………5分故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．………………6分從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)………7分即解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．……………………8分（3）當(dāng)，時(shí)，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．由于，，所以．……………9分①當(dāng)，即時(shí)，………………………10分．………ks5u…11分②當(dāng)時(shí)，．……………12分③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，．……………………13分綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為……………14分

略19.函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分圖像如圖所示。(1)求f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(x)在[－2，a]有5個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。參考答案：20.（本題滿分14分）某單位的聯(lián)歡活動(dòng)中有一種摸球游戲，已知甲口袋中大小相同的3個(gè)球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)黑球；乙口袋中有大小相同的2個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)白球．每次從一只口袋中摸一個(gè)球，確定顏色后再放回．摸球的規(guī)則是：先從甲口袋中摸一個(gè)球，如果摸到的不是紅球，繼續(xù)從甲口袋中摸一個(gè)球，只有當(dāng)從甲口袋中摸到紅球時(shí)，才可繼續(xù)從乙口袋里摸球．從每個(gè)口袋里摸球時(shí)，如果連續(xù)兩次從同一口袋中摸到的都不是紅球，則該游戲者的游戲停止．游戲規(guī)定，如果游戲者摸到2個(gè)紅球，那么游戲者就中獎(jiǎng)．現(xiàn)假設(shè)各次摸球均互不影響．（I）一個(gè)游戲者只摸2次就中獎(jiǎng)的概率；（II）在游戲中，如果某一個(gè)游戲者不放棄所有的摸球機(jī)會(huì)，記他摸球的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考答案：從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅色球的概率為；從乙口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅色球的概率為．（1）一個(gè)游戲者只摸2次就中獎(jiǎng)，說(shuō)明他第一次從甲口袋摸到的是紅球，第二次從乙口袋中摸到的也是紅球，所以其概率為；（2）可?。帽硎尽皬募卓诖忻?個(gè)球，摸到的是紅球”，用表示“從甲口袋中摸1個(gè)球，摸到的不是紅球”，則；用表示“從乙口袋中摸1個(gè)球，摸到的是紅球”，用表示“從乙口袋中摸1個(gè)球，摸到的不是紅球”，則．；；．所以的分布列為：234

．21.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知函數(shù)