第8章-方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計

第8章方差分析與正交試驗(yàn)設(shè)計北京聯(lián)合大學(xué)機(jī)電學(xué)院本章主要內(nèi)容8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計8.4混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析8.6正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述8.1.1試驗(yàn)設(shè)計的基本概念試驗(yàn)指標(biāo)：在試驗(yàn)中用來衡量試驗(yàn)結(jié)果的量。因素：又稱因子，在試驗(yàn)中影響試驗(yàn)指標(biāo)的量。通常用A，B，C等大寫字母作為因素的簡化表示。水平：試驗(yàn)中各因素的不同取值。一般用“+”“-”號或1，2，3……來表示因素的不同水平。8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述8.1.2正交表1.正交表的表示列號試驗(yàn)號12341111121222313334212352231623127313283213933218.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述L8(27)正交表的代號正交表的橫行數(shù)字碼數(shù)（因素的水平數(shù)）正交表的縱列數(shù)（最多允許安排因素的個數(shù)）正交表的符號8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述3.正交表的正交性(1)均勻分散性：是指正交表的每一列中的每個數(shù)字都以相同的次數(shù)重復(fù)出現(xiàn)。(2)整齊可比性：即將任意兩列的同行數(shù)字看成一個數(shù)對，那么一切可能的數(shù)對重復(fù)次數(shù)都相同。這不會導(dǎo)致某個水平在對應(yīng)因素中更突出，從而影響對試驗(yàn)結(jié)果的分析。8.1正交試驗(yàn)設(shè)計概述

試驗(yàn)點(diǎn)的分布a）全面試驗(yàn)b）正交試驗(yàn)8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析8.2.1正交試驗(yàn)設(shè)計的流程1.明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定評價指標(biāo)正交試驗(yàn)結(jié)果需要量化分析，因此體現(xiàn)試驗(yàn)?zāi)康牡脑囼?yàn)結(jié)果必須量化，即形成評價指標(biāo)。試驗(yàn)指標(biāo)就其屬性有定性指標(biāo)和定量指標(biāo)兩種。8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析2.確定試驗(yàn)指標(biāo)影響因素和各自的水平1）試驗(yàn)因素（因子）可控因子：水平可控制或可作審慎改變的因子；不可控因子：不能或難以控制，或不能經(jīng)濟(jì)地加以控制，或試驗(yàn)人員并未意識到會對試驗(yàn)指標(biāo)有影響的因子。2)因素的水平因素被確定后，隨之是確定各因素的水平。水平的確定包含兩個含義，即水平的個數(shù)的確定和各個水平的狀態(tài)的確定。黑箱(試驗(yàn)過程)可控因子輸入A

B

噪聲因子試驗(yàn)指標(biāo)Y輸出8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析3.選擇合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計1）正交表的選擇首先根據(jù)試驗(yàn)因素的水平數(shù)選擇相應(yīng)水平的正交表，同水平的正交表中，在保證正交表列數(shù)多于試驗(yàn)因素數(shù)的前提下，選擇試驗(yàn)次數(shù)最少的正交表。當(dāng)各因素間存在交互作用時，選擇正交表有進(jìn)一步的限制條件。2）表頭設(shè)計即將試驗(yàn)因素安排到所選正交表相應(yīng)的列中。不存在交互作用時，試驗(yàn)因素可任意安排，多余的列在后續(xù)的數(shù)據(jù)分析中可作為誤差列；不能排除因素間的交互作用時，應(yīng)避免將因素的主效應(yīng)安排在正交表的交互效應(yīng)列內(nèi)，妨礙對因素主效應(yīng)的判斷。8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析4.確定試驗(yàn)方案并加以實(shí)施將因素水平表及表頭設(shè)計融合到選定的正交表中，也就形成了試驗(yàn)的方案。實(shí)施試驗(yàn)設(shè)計的幾項原則：1)重復(fù)：指一個試驗(yàn)點(diǎn)在相同條件下進(jìn)行若干次重復(fù)試驗(yàn)。重復(fù)試驗(yàn)可以使算術(shù)平均后的試驗(yàn)指標(biāo)誤差更小；通過重復(fù)試驗(yàn)得到了隨機(jī)誤差的值之后，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。2)隨機(jī)化試驗(yàn)材料的分配、人員安排和各試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)次序都要隨機(jī)確定。隨機(jī)化可以有效地減小噪聲因子的影響。8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析5.試驗(yàn)結(jié)果正交試驗(yàn)結(jié)果的分析，通常有極差法和方差分析法兩種方法。8.2正交試驗(yàn)設(shè)計的實(shí)施及試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析8.2.2正交試驗(yàn)設(shè)計結(jié)果的直觀分析直觀分析的任務(wù)主要有兩點(diǎn)：1.各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響的大小順序。采用的是極差分析法。2.各因素的最佳的水平組合。需要注意的是試驗(yàn)指標(biāo)有望大、望小和望目三種類型，三種類型的試驗(yàn)指標(biāo)對最佳水平的選擇也必然是不一樣的。8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計8.3.1因素間的交互作用當(dāng)因子A水平的變化對試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)生的影響還要取決于因子B所處水平時，稱因子A與B存在交互作用，記為A×B或AB。因子A與B的交互作用可以用圖形直觀地表示。A1A2B1

B2

A1A2B1

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A1A2B1

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a.無交互作用b.有正的交互作用c.有負(fù)的交互作用因子A與B的交互作用示意圖8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計2.表頭設(shè)計從專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)判斷等多種角度分析哪些是需要考慮的交互作用，它們在表頭中應(yīng)盡量占據(jù)單獨(dú)的列，若與其它因素或交互作用同處一列，則會產(chǎn)生混雜，即無法分清楚誰影響了試驗(yàn)指標(biāo)。列號

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(1)

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L8（27）的交互作用表8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計8.3.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析【例8.3】從礦物中提取稀土元素的試驗(yàn)設(shè)計。試驗(yàn)的目的是尋求從某礦提取稀土元素的最優(yōu)工藝方案，考察的指標(biāo)是稀土元素的提取量。根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，影響從礦物中提取稀土元素的因素為酸用量、水用量、反應(yīng)時間和有無添加劑。每個因素皆取二個水平，制定如下表所示的因素水平表。因素水平酸用量（ml）A水用量(ml)B反應(yīng)時間（h）C添加劑D125201有220402無因素水平表8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計解：查正交表L8(27)的交互作用表，得出該試驗(yàn)的表頭設(shè)計如下：因素ABA×BCA×CB×CD列號1234567例8.3的表頭設(shè)計8.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計因素列試驗(yàn)號號酸用量A水用量BA×B反應(yīng)時間CA×CB×C添加劑D試驗(yàn)指標(biāo)1234567提取量111111111.10211122221.3331221122106521212121.03621221210.80722112210.76822121120.56K14.624.263.754.023.593.753.72K23.153.514.023.754.184.024.05極差R1.470.750.270.270.590.270.33因素影響順序12553548.3有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計8.4混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計在實(shí)際生產(chǎn)和科研活動中，有些試驗(yàn)會受到設(shè)備、原材料、生產(chǎn)條件的約束；某些因素的水平選擇受到限制；要求重點(diǎn)考察某些因素應(yīng)多取一些水平。這種性質(zhì)的試驗(yàn)設(shè)計稱為混合型正交試驗(yàn)設(shè)計。解決這類問題的辦法有兩個：直接選用水平數(shù)不等的正交表；采用擬水平的方法。8.4混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計8.4.1直接選用混合水平正交表【例8.4】

鈦合金在冷加工之前，應(yīng)進(jìn)行一次退火熱處理工序來降低硬度，以便于校直和冷拉。為確保冷加工的工藝要求，現(xiàn)通過正交試驗(yàn)設(shè)計尋求退火工藝參數(shù)。這個課題的考察指標(biāo)是欽合金熱處理后的洛氏硬度HRC。因素水平退火溫度（℃）A保溫時間(h)B冷卻介質(zhì)C17301空氣27602水37904820因素水平表解：試驗(yàn)中有1個4水平因素和2個2水平因素，是混合水平試驗(yàn)，應(yīng)選用來安排試驗(yàn)。因素列號試驗(yàn)號退火溫度A保溫時間B冷卻介質(zhì)C空列試驗(yàn)指標(biāo)1234洛氏硬度HRC1111131.62122231.03211231.64222130.55312131.26321231.07412233.08421130.3K162.6127.4124.5K262.1122.8125.7K362.2K463.3k131.331.931.1k231.130.731.4k331.1k431.7極差R0.61.20.3因素影響順序2138.4混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計8.4.2擬水平法對水平數(shù)不同的試驗(yàn)，如無現(xiàn)成的正交表可用時，則可將水平數(shù)較少的因素虛擬一些水平，以便在水平數(shù)較多的正交表中安排試驗(yàn)，稱為擬水平法?！纠?.5】

鋼片在鍍鋅前需進(jìn)行酸洗除銹處理，為了提高除銹效率、縮短酸洗時間，安排酸洗試驗(yàn)，尋求工藝參數(shù)。因素水平洗滌劑ACH4N2S（g/l）BH2SO4（g/l）C槽溫（℃）D1甲12300602乙4200703825080因素水平表8.4混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計解：這是一個3個3水平因素、1個2水平因素的試驗(yàn)，由于無適合的正交表可安排試驗(yàn)。可以根據(jù)試驗(yàn)的需要，選擇重點(diǎn)考慮的水平或據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)估計較好的水平作為因素A的第三水平，本題選因素水平表上第二水平為因素A的虛擬水平，這樣將后面表中L9（34）的第1列改為第1‘列就可安排試驗(yàn)計劃。因素列號試驗(yàn)號洗滌劑ACH4N2SBH2SO4C槽溫D試驗(yàn)指標(biāo)酸洗時間（min）11’2341111114221122234311333104221231452223137622312127321322832213893232144K1865862123K2117799248K3664932k128.719.320.741.0k219.526.330.716.0k322.016.310.7極差R9.27.014.430.3因素影響順序34218.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析在科學(xué)研究與生產(chǎn)實(shí)際中，往往整個試驗(yàn)結(jié)果的好壞不能由一個試驗(yàn)指標(biāo)全面評判。不同指標(biāo)的重要性不同，使得多指標(biāo)正交試驗(yàn)結(jié)果的分析相對來說復(fù)雜一些，但本質(zhì)上并無明顯的區(qū)別，關(guān)鍵在于如何將多指標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單指標(biāo)問題進(jìn)行分析，常用的方法有綜合平衡法和綜合評分法。8.5.1綜合平衡法多指標(biāo)試驗(yàn)結(jié)果直觀分析時，先對每個指標(biāo)分別進(jìn)行單指標(biāo)的直觀分析，得到每個指標(biāo)的影響因素的主次順序和最佳水平組合，然后結(jié)合試圖解決的實(shí)際問題，根據(jù)相關(guān)的專業(yè)知識、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行綜合分析，稱為綜合平衡法。8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析【例8.6】

煙葉的烘干中影響葉絲質(zhì)量的因素主要有烘干機(jī)的熱風(fēng)溫度、滾筒轉(zhuǎn)速、熱風(fēng)風(fēng)門開度以及排潮風(fēng)門開度4個主要工藝參數(shù)，工藝參數(shù)的設(shè)置對烘后葉絲的結(jié)構(gòu)、填充值、香味成分以及感官質(zhì)量均有重要影響，請采用綜合平衡法較好的烘干條件。因素水平熱風(fēng)溫度(℃)A滾筒轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/分)B熱風(fēng)風(fēng)門開度(%)C排潮風(fēng)門開度(%)D1909304021101150603130137080因子水平表8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析解：這是一個4因素3水平的試驗(yàn)，由于不考慮交互作用，可以采用正交表來安排試驗(yàn)，即四個因子依次放在四列上，試驗(yàn)后各指標(biāo)的試驗(yàn)結(jié)果如后表所示。8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析因素列試驗(yàn)號號ABCD整絲率(%)填充值(cm3/g)感官質(zhì)量得分1234y1y2y31111184.774.7173.002122285.674.5475.503133389.394.5672.504212384.724.4474.505223186.454.4072.006231285.774.3973.507313285.414.5174.008321384.854.6272.009332186.524.3671.50評價指標(biāo)ABCD整絲率(%)k186.6184.9785.1385.91k285.6585.6685.6485.62k385.5987.2387.0886.32R1.022.261.950.70優(yōu)水平A1B3C3D3因素主次BCAD填充值(cm3/g)k14.604.554.574.49k24.414.524.454.48k34.504.444.494.54R0.190.120.130.06優(yōu)水平A1B1C1D3因素主次ACBD感官質(zhì)量得分k173.6773.8372.8372.17k273.3373.1773.8374.33k372.5072.5072.8373.00R1.171.331.002.17優(yōu)水平A1B1C2D2因素主次DBAC由于沒有空白列也沒有重復(fù)試驗(yàn)，因此只能采用直觀分析，計算各指標(biāo)中每個因子的極差。在一定范圍內(nèi),對整絲率、填充值、感官質(zhì)量而言,評價指標(biāo)數(shù)值越大越好，所以可以得出因素的主次和優(yōu)水平如表所示。

8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析進(jìn)行綜合平衡時，我們可以依據(jù)三條原則：（1）對于某個因素，可能對某個指標(biāo)是主要因素，但對于另外的指標(biāo)則可能是次要因素，那么在確定該因素的優(yōu)水平時，應(yīng)首先選取作為主要因素時的優(yōu)水平；（2）若某因素對各指標(biāo)的影響程度相差不大，這時可按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則，選取出現(xiàn)次數(shù)最多的優(yōu)水平；（3）當(dāng)因素個水平相差不大時，可依據(jù)降低消耗、提高效率的原則選取合適的水平；（4）若各試驗(yàn)指標(biāo)的重要程度不同，則在確定因素優(yōu)水平時應(yīng)首先滿足相對重要的指標(biāo)。在具體運(yùn)用這幾條原則的時，僅僅根據(jù)其中的一條可能確定不了優(yōu)水平，所以應(yīng)將幾條綜合在一起分析。8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析8.5.2綜合評分法綜合評分法：是將每個水平組合下的多個指標(biāo)按照某種計算公式化為一個綜合指標(biāo)，而后進(jìn)行正交試驗(yàn)的直觀分析的方法。計算公式中各指標(biāo)的權(quán)重，應(yīng)根據(jù)相關(guān)的專業(yè)知識確定，并沒有統(tǒng)一的方法?！纠?.7】以西洋參中人參皂苷Rg1、Re、Rb1的總轉(zhuǎn)移率及浸膏得率為指標(biāo)，多指標(biāo)綜合評分，優(yōu)選西洋參的乙醇提取工藝條件。因素水平乙醇濃度（%）A提取時間（h）B加醇量（倍）C提取次數(shù)D18028227031033604124因子水平表8.5多指標(biāo)正交試驗(yàn)及其結(jié)果的直觀分析因素列號試驗(yàn)號乙醇濃度A提取時間B加醇量C提取次數(shù)D試驗(yàn)結(jié)果綜合評分1234總轉(zhuǎn)移率（%）y1浸膏得率（%）y2y1111180.6441.4053.642122286.1943.3057.743133382.4143.3554.374212385.0445.1555.925223190.225.3560.436231279.1342.2551.947313286.3846.3556.598321379.8642.8552.329332176.7541.7050.06K1165.75166.15157.9164.13K2168.29170.49163.72166.27K3158.97156.37171.39162.61R9.3214.1213.493.66因素主次BCAD優(yōu)方案B2C3A2D28.6正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析8.6.1正交試驗(yàn)設(shè)計引入方差分析的原因正交試驗(yàn)的每個試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果的波動包括：由因素水平變化引起的波動；由試驗(yàn)誤差引起的波動兩部分。1.直觀分析法的優(yōu)點(diǎn)及局限性正交試驗(yàn)直觀分析法簡單明了，計算工作量少，便于普及推廣，但不能把上述兩種波動區(qū)分開，從而導(dǎo)致不能判斷因素水平的變化產(chǎn)生的影響是否顯著大于隨機(jī)因素所導(dǎo)致的試驗(yàn)誤差，因而僅能夠區(qū)分各因素對試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)生的影響的順序，對各因素是否對試驗(yàn)指標(biāo)確實(shí)有顯著影響卻難以給出結(jié)論。8.6正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析2.引入方差分析法的目的方差分析能夠區(qū)分出試驗(yàn)結(jié)果的兩種波動。方差分析的思路是：把觀測數(shù)據(jù)的總的離差平方和(ST)分解為反映必然性的各個因素的離差平方和(SA，SB,...,Sn)與反映偶然性的誤差離差平方和(Se)，并計算比較它們的平均離差平方和，以找出對試驗(yàn)結(jié)果起決定性影響的因素(即顯著性或高度顯著性因素)作為進(jìn)行定量分析判斷的依據(jù)。8.6正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析3.方差分析的類型概括起來有以下幾種：(1)單因素試驗(yàn)的方差分析：只包含一個因素變化的試驗(yàn)分析；(2)多因素試驗(yàn)的方差分析：包含兩個以上因素變化的試驗(yàn)分析；(3)正交試驗(yàn)設(shè)計的方差分析：利用正交表安排多于一個因素變化的試驗(yàn)分析。8