倒易點陣介紹

1倒易點陣2倒易點陣倒易點陣概念及定義倒易點陣的物理意義倒易點陣的應(yīng)用3倒易點陣概念倒易點陣是一個假想的點陣.將空間點陣(真點陣或?qū)嶞c陣)經(jīng)過倒易變換,就得到倒易點陣,倒易點陣的外形也是點陣,但其結(jié)點對應(yīng)真點陣的晶面,倒易點陣的空間稱為倒易空間。1860年法國結(jié)晶學(xué)家布拉菲提出并作為空間點陣?yán)碚摰囊徊糠?，但缺乏實際應(yīng)用。1921年德國物理學(xué)家埃瓦爾德把倒易點陣引入衍射領(lǐng)域。此后，倒易點陣成了研究各種衍射問題的重要工具。4倒易點陣定義倒易點陣的定義倒易點陣的性質(zhì)晶帶定理5倒易點陣的定義倒易點陣的基本矢量垂直于正點陣異名矢量構(gòu)成的平面。用a、b、c表示晶體點陣（正點陣）的基本矢量；用a*、b

*

、c

*表示倒易點陣的基本平移矢量，則倒易點陣與正點陣的基本對應(yīng)關(guān)系為：點陣中單胞的體積：V=a·(b×c)=b·(a×c)

=c·(a×b)6倒易點陣基矢與正點陣基矢的關(guān)系（僅當(dāng)正交晶系）7倒易點陣的性質(zhì)1.正倒點陣異名基矢點乘為0;

a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0

同名基矢點乘為1。

a*·a=b*·b=c*·c=1.2.在倒易點陣中，由原點O*指向任意坐標(biāo)為hkl的陣點ghkl(倒易矢量)為：ghkl=ha*+kb*+lc*式中hkl為正點陣中的晶面指數(shù)3.倒易矢量的長度等于正點陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即ghkl=1/dhkl4.對正交點陣，有a*∥a，b*∥b，c*∥c，

a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方點陣中，晶面法線和同指數(shù)的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是與相應(yīng)指數(shù)的晶向[hkl]

平行的。

8ghkl=ha*+kb*+lc*

表明：1.倒易矢量ghkl垂直于正點陣中相應(yīng)的[hkl]晶面，或平行于它的法向Nhkl

2.倒易點陣中的一個點代表的是正點陣中的一組晶面9晶帶定理在正點陣中，同時平行于某一晶向[uvw]的一組晶面構(gòu)成一個晶帶，而這一晶向稱為這一晶帶的晶帶軸。圖示為正空間中晶體的[uvw]晶帶圖中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.晶帶定理：因為各倒易矢量都和其晶帶軸r=[uvw]垂直，固有g(shù)hkl?r=0，即hu+kv+lw=0,這就是晶帶定理。10倒易點陣的物理意義在研究晶體對X射線或?qū)﹄娮邮难苌湫?yīng)時，某晶面{hkl}能否產(chǎn)生衍射的重要條件就是該晶面相對于入射束的取向以及晶面間距d(hkl)滿足：d(hkl)sin=n，即著名的布拉格方程，其中-入射角，-波長。各晶面的散射波干涉加強的條件是，波程差為波長的整數(shù)倍。這是滿足衍射的必要條件，但不是充分條件。11倒易點陣的物理意義為了從幾何學(xué)上形象的確定衍射條件，人們就找到一個新的點陣（倒易點陣），使其與正點陣（實際點陣）相對應(yīng)。對應(yīng)的條件：新點陣中的每一個結(jié)點都對應(yīng)著正點陣的一定晶面，該結(jié)點既反映該晶面的取向也反映該晶面的面間距。具體條件：a.新點陣中原點O到任意結(jié)點P(hkl)（倒易點）的矢量正好沿正點陣中{hkl}面的法線方向。b.新點陣中原點O到任意結(jié)點P(hkl)的距離等于正點陣中{hkl}面的面間距的倒數(shù)。將實際晶體中一切可能的的{hkl}面所對應(yīng)的倒易點都畫出來，由這些倒易點組成的點陣稱為倒易點陣。12倒易點陣的物理意義Ewald圖解是衍射條件的幾何表達(dá)式。

sinθ=λ/2d令d=λ/ghkl

（此時比例系數(shù)用X射線的波長）則sinθ=ghkl/2即某衍射面（hkl）所對應(yīng)的布拉格角的正弦等于其倒易矢量長度的一半。愛瓦爾德球（反射球）(P.P.Ewald)Ewald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hkl)θθθ2θ14以一晶體為中心（O點），以1/λ為半徑，在空間畫一個球，這個球即為愛瓦爾德球Ewald作圖法如圖令電子束沿直徑AO*的方向入射，經(jīng)過晶體O點亦到達(dá)O*點，取O*G的長度為1/dhkl，若直角三角形ΔAO*G中,AO*與AG的夾角為θ，則ΔAO*G滿足布拉格方程，即此時電子束波長λ，晶面間距dhkl

及取向關(guān)系θhkl之間可用直角三角形表示出來：即AO*=2/λ,∠O*AG=θ,O*G=1/d，沿AO*方向入射的電子束照射在O點處的晶體，一部份電子束透射過去，一部份使晶面間距為dhkl

的（hkl）面發(fā)生衍射，在OG方向產(chǎn)生衍射束。若入射波卡量用K表示，衍射波矢量用K表示，含O*G＝G，其方向平行于（hkl）晶面的法線，則有K‘–K=G，即為布拉格方程的矢量形式。15倒易點陣的應(yīng)用倒易點陣使許多晶體幾何學(xué)問題的解決變得簡易。例如單胞體積，晶面間距、晶面夾角的計算以及晶帶定理的推導(dǎo)等等。以下是倒易點陣的應(yīng)用。1°由倒易點陣的基本性質(zhì)可得：a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100（a*=G100=1/d100）在晶體點陣S中，點之間或點陣平面之間的距離用?作單位，因此，a*、b*、c*的單位為?－1。在用圖解法解決實際問題時，用相對標(biāo)度值表示相對大小即可。16倒易點陣的應(yīng)用2°晶面間距公式（hkl）晶面的間距dhkl為:dhkl=1/IGhklI(dhkl)-2=G2hkl=ha*+kb*+lc*217倒易點陣的應(yīng)用18倒易點陣的應(yīng)用3°晶面之間的夾角?，（h1、k1、l1）晶面與（h2、k2、l2）晶面之間的夾角?（也即這兩個晶面的法線之間的夾角?即為Gh1、k1、l1與Gh2、k2、l2晶面之間的夾角），故19倒易點陣的應(yīng)用20倒易點陣的應(yīng)用4°晶帶軸按定義，指數(shù)為（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）兩晶面的晶帶軸即為這兩個晶面的交線方向，若含此交線平行于某一（正）矢量，puvwp=ua+vb+wc所求晶帶軸即求出[uvw]三數(shù)即可。

（h1、k1、l1）和（h2、k2、l2）晶面的法線是平行Gh1k1l1

和Gh2k2l2于是它們的點乘為021倒易點陣的應(yīng)用根據(jù)倒易基矢定義式，顯然有：為了便于記憶，一般寫成如下形式：22倒易點陣的應(yīng)用證明23倒易點陣的應(yīng)用24參考文獻(xiàn)1黃昆原(著)．韓汝琦(改編)．固體物理學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，19882王莉.WANGLi正點陣與倒易點陣中的對應(yīng)關(guān)系[期刊論文]-唐山師范學(xué)院學(xué)報2004(5)3陳難先.