第5章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)V3

第5章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)5.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器5.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器5.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

5.1基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：圖5.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求圖5.2低通濾波器的技術(shù)要求

5.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有Ap,Ωp,As和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，Ap是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，As是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：

圖5.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系圖5.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫s的函數(shù)：

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。Ha(s)的表示式為

低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟：

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,Ap,Ωs和As，求出濾波器的階數(shù)N。

(2)求出歸一化極點(diǎn)sk，得到歸一化傳輸函數(shù)H?a(s?)。

(3)將s?替換為s/Ωc代入H?a(s?)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。

例5.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。(2)求Ωc=1的歸一化極點(diǎn)將sk代入歸一化傳輸函數(shù)即得H?a(s)(3)將H?a(s)

去歸一化，求3dB截止頻率Ωc。s—>s/Ωc，代入H?a(s)，得到：

式中：

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23613.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)（1）低通到低通的頻率變換截止頻率Ωc的低通G(p)到截止頻率Ω?c的低通H(s)的頻率變換公式（2）低通到高通的頻率變換低通到高通的頻率變換公式(5.3.2)(5.3.1)如果已知低通G(jλ)，求高通H(jη):圖5.3.1低通與高通濾波器的幅度特性模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按(5.3.1)將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。(4)求模擬高通的H(s)將G(p)按照(5.3.2)轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得(5.3.3)注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有截止頻率Ω?c的高通濾波器轉(zhuǎn)換公式：例5.3.1設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。

解①高通技術(shù)要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：圖5.3.2帶通與低通濾波器的幅度特性

表5.3.1η與λ的對應(yīng)關(guān)系（3）低通到帶通的頻率變換(5.3.4)由η與λ的對應(yīng)關(guān)系，得到：由上表λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有上式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。右邊推導(dǎo)為已知低通G(jλ)，求帶通H(jη)的轉(zhuǎn)換公式。(5.3.5)(5.3.6)模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl，下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

，通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu–Ωl，以及與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率。(2)確定歸一化低通技術(shù)要求，即：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求；通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。(4)由(5.3.6)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有低通到帶通濾波器的轉(zhuǎn)換公式：

例5.3.2設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術(shù)要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;

根據(jù)(5.3.4)計(jì)算得：η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有

取N=3，得(4)求模擬帶通H(s)：（4）低通到帶阻的頻率變換圖5.3.3低通與帶阻濾波器的幅頻特性

表5.3.2η與λ的對應(yīng)關(guān)系Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=Ωu-Ωl。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為ηu=Ωu/Bηl=Ωl/Bηs1=Ωs1/Bηs2=Ωs2/Bη20=ηuηl

(5.3.7)根據(jù)η與λ的對應(yīng)關(guān)系，可得到：由上表λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有上式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。利用該式將帶阻的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。右邊推導(dǎo)為已知低通G(jλ)，求帶阻H(jη)的轉(zhuǎn)換公式。(5.3.8)(5.3.9)模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu，阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2，阻帶中心頻率Ω02=ΩuΩl，阻帶寬度B=Ωu-Ωl，以及以上對應(yīng)的歸一化邊界頻率。(2)確定歸一化低通技術(shù)要求，即：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求；通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。(4)由(5.3.9)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。注：已知模擬低通濾波器Ｇ(s)截止頻率Ωc，則有低通到帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換公式：

例5.3.3設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解：(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=Ωu-Ωl=2π×200;

根據(jù)(5.3.7)計(jì)算得：ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):(4)帶阻濾波器的H(s)為5.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(5.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(5.3.2)

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)等間隔采樣，間隔為T，得到：(5.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(5.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號用

表示，

對進(jìn)行拉氏變換，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(5.3.5)

上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系，可用下式表示：(5.3.6)已知模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足：將s=σ+jΩ=0+jΩ=jΩ代入上式，得由(5.3.5)式和(5.3.8)式得到:(5.3.7)(5.3.8)(5.3.9)

上式表明：將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(5.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(5.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(5.3.6)式:

最后得到：

于是有：σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1為整數(shù)注意z=esT為周期函數(shù)，可寫成：(5.3.10)圖5.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(5.3.9)式，將關(guān)系式s=jΩ、ω=ΩT代入得到：圖5.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，(5.3.1)中將一對復(fù)共軛極點(diǎn)放在一起，即可構(gòu)成一個(gè)二階基本節(jié)。極點(diǎn)(5.3.11)形式A對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)：(5.3.12)模擬濾波器的二階基本節(jié)形式A：極點(diǎn)(5.3.13)形式B對應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)：(5.3.14)模擬濾波器的二階基本節(jié)形式B：

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為：則H(z)的極點(diǎn)為：按照(5.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到：T=1sT=0.1s

也可以直接按照(5.3.13),(5.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(5.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則再按照(5.3.14)式，H(z)為圖5.3.3例5.3.1的幅度特性

5.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：(5.4.1)(5.4.2)再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(5.4.3)(5.4.4)

上式中T仍是采樣間隔，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有此為雙線性變換。圖5.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系

令s=jΩ,z=ejω，并代入(5.4.3)式中，有(5.4.5)圖5.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系圖5.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射

表5.4.1系數(shù)關(guān)系表

例5.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖5.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解：首先按照圖5.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

（1）利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

圖5.4.4RC低通濾波器電路

（2）利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖5.4.5(a),(b)所示。圖5.4.5H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)H1(z)H2(z)圖5.4.6數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟：

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數(shù)字低通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例5.4.2設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。

解：(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)：ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通技術(shù)指標(biāo)：

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器：先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(5.2.17)式得Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表5.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為：

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式即得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s),④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并根據(jù)(5.3.11)、(5.3.12)或(5.3.13)、(5.3.14)式得到：圖5.4.7用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為：

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為③設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(5.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，且Ωc已經(jīng)超過通帶指標(biāo)。根據(jù)N=6，查表5.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)，與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)：④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：圖5.4.8用雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性

5.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

具體設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定所需類型數(shù)字