第8講力平衡微分方程

材料成形原理C

PrincipleofMaterialFormingC第八講LessonEight李振紅LiZhenhongPhone-Mail：hflzh@南京工程學(xué)院材料工程系DepartmentofMaterialScienceandEngneeringNanjingInstituteofTechnology

2/1/20231為了進(jìn)行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計(jì)算，需要建立變形力學(xué)的有關(guān)方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件方程）；幾何方程（包括應(yīng)變與位移關(guān)系方程和變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程（包括塑性條件方程和應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系方程）等。力平衡微分方程有3個(gè)；幾何方程有6個(gè)；物理方程有6個(gè)；塑性條件方程有1個(gè)一般塑性加工力學(xué)問題需要建立這16個(gè)方程。本章著重講解這些方程的導(dǎo)出及其相關(guān)的物理含義。2/1/20232第五章變形力學(xué)方程主要內(nèi)容MainContent力平衡微分方程屈服條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程等效應(yīng)力、等效應(yīng)變平面變形和軸對(duì)稱變形2/1/202335.1力平衡微分方程一般情況下，變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不同的，不能僅用一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述或表示整個(gè)變形體的受力情況。但是變形體內(nèi)各點(diǎn)間的應(yīng)力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各應(yīng)力分量必須滿足靜力平衡關(guān)系——力平衡微分方程。2/1/202345.1.1直角坐標(biāo)系的力平衡微分方程設(shè)變形體內(nèi)有兩相鄰點(diǎn)a及a1，a點(diǎn)的坐標(biāo)為x、y、z，a1點(diǎn)的坐標(biāo)為x+dx、y+dy、z+dz，通過a及a1點(diǎn)各作互相垂直的三個(gè)坐標(biāo)面，圍成一個(gè)微分六面體。在此微分體上作用著法線應(yīng)力和切應(yīng)力。2/1/20235zxy2/1/20236通過a點(diǎn)的x平面上作用著，而通過a1點(diǎn)的x平面上作用著可簡(jiǎn)化為其它各應(yīng)力分量同理可得。2/1/20237如果不考慮慣性力，按靜力平衡整理得2/1/20238同理，由、有類似的結(jié)果高速塑性加工時(shí)，慣性力不可忽略求和約定得形式2/1/20239力平衡微分方程反映了變形體內(nèi)正應(yīng)力的變化與切應(yīng)力變化的內(nèi)在聯(lián)系和平衡關(guān)系，可用來分析和求解變形區(qū)的應(yīng)力分布。2/1/2023105.1.2柱面坐標(biāo)系的力平衡微分方程rdq2/1/2023115.1.3應(yīng)力邊界條件及摩擦

過變形體外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的關(guān)系如下式所示或該式就是應(yīng)力邊界條件方程2/1/202312應(yīng)力邊界條件的種類自由表面一般情況下，在工件的自由表面上，既沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用。自由表面2/1/202313工件與工具的接觸表面在此邊界上，既有壓縮正應(yīng)力的作用，也有摩擦應(yīng)力的作用。接觸表面2/1/202314變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面在此界面上作用的應(yīng)力，可能來自兩區(qū)本身的相互作用，也可能來自特意加的外力作用。剛塑性交界面2/1/202315金屬塑性加工中的接觸摩擦在金屬塑性加工過程中，由于變形金屬與工具之間存在正壓力及相對(duì)滑動(dòng)（或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)），這就在二者之間產(chǎn)生摩擦力作用。這種接觸摩擦力，不僅是變形力學(xué)計(jì)算的主要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時(shí)甚至是能否成型的關(guān)鍵因素。2/1/202316庫侖摩擦定律或式中——摩擦力——正壓力——摩擦切應(yīng)力（單位摩擦力）——壓縮正應(yīng)力——摩擦系數(shù)2/1/202317由于摩擦系數(shù)受應(yīng)力狀態(tài)的影響，而且很難測(cè)準(zhǔn)。因此，許多研究者建議采用如下的摩擦關(guān)系式中——摩擦切應(yīng)力——接觸層工件的屈服切應(yīng)力——摩擦因子2/1/202318第五章變形力學(xué)方程主要內(nèi)容MainContent力平衡微分方程屈服條件

應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程等效應(yīng)力、等效應(yīng)變平面變形和軸對(duì)稱變形2/1/2023195.2屈服條件影響金屬屈服的主要因素在外力作用下，金屬由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)，主要取決于變形金屬的力學(xué)性能、變形條件和所受的應(yīng)力狀態(tài)。金屬本身的力學(xué)性能是決定金屬屈服的內(nèi)因變形條件和應(yīng)力狀態(tài)是金屬屈服的外因。2/1/202320T2/1/202321由這三種因素合成的作用，金屬屈服的表達(dá)式為在同樣的變形條件下，采用同一種金屬材料，那么屈服就只與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)了式中f又稱為屈服函數(shù)。時(shí)，材料屈服2/1/202322單向拉伸材料屈服時(shí)，有改變應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，2/1/202323在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各應(yīng)力分量同簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下試驗(yàn)確定的或具有什么樣的關(guān)系時(shí)，金屬才能屈服？這個(gè)關(guān)系就是屈服條件（又稱塑性條件、屈服準(zhǔn)則、塑性方程）。2/1/202324實(shí)際金屬材料的屈服條件是相當(dāng)復(fù)雜的。因此對(duì)金屬材料要做如下簡(jiǎn)化：金屬是各向同性的均質(zhì)體；假定金屬具有明顯的屈服極限；無包辛格效應(yīng)；金屬的屈服不受靜水壓力的影響。

2/1/2023255.2.1Tresca最大切應(yīng)力理論

對(duì)同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，只要最大切應(yīng)力達(dá)到某個(gè)臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生屈服2/1/202326由于金屬的屈服是一物理現(xiàn)象，對(duì)于不同的應(yīng)力狀態(tài)，常數(shù)C應(yīng)相同，所以可以由一些簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)確定之。單向拉伸時(shí)，，

即2/1/202327薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)，，屈服時(shí)所以屈服條件為有由于常數(shù)C一定，有2/1/202328最大切應(yīng)力理論的屈服函數(shù)為當(dāng)時(shí)，金屬屈服2/1/2023295.2.2Mises屈服條件對(duì)同一種金屬材料，在同樣變形條件下，無論什么應(yīng)力狀態(tài)，也不管坐標(biāo)軸如何選取，只要偏差應(yīng)力張量第二不變量達(dá)到某個(gè)臨界值，則材料由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變，即發(fā)生屈服。2/1/202330經(jīng)過變換取主坐標(biāo)系時(shí)

其中的常數(shù)由簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)確定2/1/202331單向拉伸時(shí)，，則或薄壁管扭轉(zhuǎn)時(shí)，有屈服時(shí)則2/1/202332因此Mises屈服條件為或

由Mises屈服條件得到與的關(guān)系為

2/1/202333Mises屈服條件的屈服函數(shù)為對(duì)于屈服函數(shù)，此時(shí)材料處于屈服狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，材料處于彈性狀態(tài)，而對(duì)于，破壞了屈服條件。2/1/202334Mises屈服條件的物理解釋由單位體積內(nèi)形狀改變的彈性能達(dá)到一定值時(shí)發(fā)生屈服，即也可以導(dǎo)出Mises屈服條件。故Mises屈服條件也稱為形變能定值定理。

2/1/202335屈服條件的幾何解釋方程為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的圓柱面，而則為主坐標(biāo)系下的一與主坐標(biāo)軸成等傾斜的圓柱面。2/1/202336oNrPns1s2s3柱面上一點(diǎn)就表示變形體處于某一應(yīng)力屈服狀態(tài)。2/1/202337P點(diǎn)坐標(biāo)為，而on為一與坐標(biāo)軸成等傾斜的軸線，則在on上的投影2/1/2023382/1/202339把Mises屈服條件代入上式，則即圓柱面的半徑為2/1/202340因?yàn)殪o水壓力對(duì)屈服沒有影響，僅偏差應(yīng)力分量與屈服有關(guān)，所以大小對(duì)屈服沒有影響，僅與屈服有關(guān)?？梢粤睿瑒t完全可以由通過原點(diǎn)且垂直于圓柱軸線的平面表示屈服。該平面稱為平面，該平面與圓柱面的交線稱為屈服曲線。2/1/202341Mises屈服條件在平面上的屈服曲線為圓，Tresca屈服條件在平面上的屈服曲線為該圓的內(nèi)接正六邊形。s1s2s3ABCDO2/1/202342ons1s2s3oNrPns1s2s32/1/202343屈服條件總結(jié)Mises屈服條件在主應(yīng)力坐標(biāo)空間是一個(gè)無限長(zhǎng)的圓柱面，其軸線與坐標(biāo)軸成等傾斜，其半徑。這個(gè)柱面稱為屈服曲面。2/1/202344因?yàn)殪o水壓力對(duì)屈服沒有影響，所以大小對(duì)屈服沒有影響?？梢粤罴吹?，該平面稱為平面，該平面與圓柱面的交線稱為屈服曲線。2/1/202345表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的任一點(diǎn)（），若處在屈服曲面以內(nèi)，則該點(diǎn)處于彈性狀態(tài)；若處在屈服曲面上，則該點(diǎn)處于塑性狀態(tài)。若材料經(jīng)過預(yù)變形，則由于加工硬化，屈服極限增大，屈服曲面半徑增大。屈服時(shí)點(diǎn)依然在曲面上。故實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)不可能落在屈服曲面外。2/1/202346在平面上，Tresca屈服條件為Mises屈服條件的內(nèi)接正六邊形。當(dāng)已知時(shí)，平面上的屈服曲線只有AB段，其余都是虛構(gòu)的。2/1/202347屈服條件的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證PMMsxsxtxytxy泰勒和奎奈實(shí)驗(yàn)結(jié)果1—Tresca；2—MisesP00.10.20.30.40.50.60.20.40.60.81.0鋼銅鋁sx/sstxy/ss122/1/202348第五章變形力學(xué)方程主要內(nèi)容MainContent力平衡微分方程屈服條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程等效應(yīng)力、等效應(yīng)變平面變形和軸對(duì)稱變形2/1/2023495.3應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程或物理方程。2/1/2023505.3.1彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形的特點(diǎn)應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于0.52/1/202351虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量v：泊松比剪切模量2/1/202352由則而即2/1/202353同理所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式克羅內(nèi)克兒記號(hào)2/1/202354彈性變形的比列及差比形式2/1/202355廣義虎克定律的矩陣形式2/1/2023565.3.2塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形的特點(diǎn)體積不變，泊松比v=0.5應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合塑性變化不可逆——無單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系——與加載路徑有關(guān)對(duì)于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高2/1/202357應(yīng)變?cè)隽颗c小變形及大變形的關(guān)系應(yīng)變?cè)隽颗c小變形數(shù)值大小處于同一數(shù)量級(jí)，都屬于無窮小量；大變形是對(duì)應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行積分獲得的2/1/202358塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系增量理論P(yáng)rantl—Reuss理論Levy—Mises理論全量理論Hencky小變形理論

2/1/202359Prantl—Reuss理論基本觀點(diǎn)

應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例2/1/202360數(shù)學(xué)表達(dá)式或2/1/202361對(duì)P—R理論的解釋應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸重合的含義：若在某一方向加載，則在該方向必產(chǎn)生應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽糠峙潢P(guān)系的含義：把塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來是一個(gè)非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)，時(shí)，表示彈性變形，時(shí)，無實(shí)際情況與其對(duì)應(yīng)。2/1/202362Prantl—Reuss方程總的應(yīng)變?cè)隽渴菑椥耘c塑性變形增量之和，即而又2/1/202363該式稱為Prantl—Reuss方程，建立了偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系2/1/202364適用范圍該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級(jí)，而不能忽略彈性變形。2/1/202365Levy—Mises理論基本觀點(diǎn)

應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系在任意加載瞬間，應(yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例塑性2/1/202366數(shù)學(xué)表達(dá)式

或2/1/202367對(duì)L—M理論的說明與Prantl—Reuss理論相比，Levy—Mises理論只適用于大塑性變形問題；又稱為L(zhǎng)evy—Mises流動(dòng)法則；同樣用于應(yīng)變速率

2/1/2023682/1/202369全量理論全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中比較由影響的是Hencky小變形理論。2/1/202370加載條件簡(jiǎn)單加載在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即。例：已知，，則簡(jiǎn)單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動(dòng)。復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無規(guī)律可循。2/1/202371Hencky小變形理論基本觀點(diǎn)應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系塑性應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸一致。應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變各分量與該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。2/1/202372數(shù)學(xué)表達(dá)式

或2/1/202373總的變形2/1/202374小變形理論用于大變形對(duì)于大塑性變形，僅用于簡(jiǎn)單加載條件，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變主軸在加載過程中不變，并用對(duì)數(shù)變形計(jì)算主應(yīng)變。取主軸時(shí)：

或2/1/202375因此2/1/202376第五章變形力學(xué)方程主要內(nèi)容MainContent力平衡微分方程屈服條件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程等效應(yīng)力、等效應(yīng)變平面變形和軸對(duì)稱變形2/1/2023775.4等效應(yīng)力、等效應(yīng)變把ss看成經(jīng)過某一變形程度下的單向應(yīng)力狀態(tài)的屈服極限,則可稱ss為變形抗力。ABCDes如圖所示，拉伸變形到C點(diǎn)，然后卸載到D點(diǎn)，如果再在同方向上拉伸，便近似認(rèn)為在原來開始卸載時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力附近（即點(diǎn)C處）發(fā)生屈服。這一屈服應(yīng)力比退火狀態(tài)的初始屈服應(yīng)力提高，是由于金屬加工硬化的結(jié)果。所以在單向拉伸的情況下，不論對(duì)初始屈服應(yīng)力還是變形過程中的繼續(xù)屈服極限，統(tǒng)稱為金屬變形抗力。2/1/2023785.4.1等效應(yīng)力ss是單向拉伸的情況下得到的，那么對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，ss與什么對(duì)應(yīng)？

2/1/202379由Mises屈服條件可以改寫為2/1/202380若令則金屬屈服時(shí)有則為等效應(yīng)力，等效于單向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。se2/1/202381對(duì)于單向拉伸時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)同樣，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，時(shí)，金屬處于彈性狀態(tài)時(shí)，金屬進(jìn)入塑性狀態(tài)2/1/202382在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力為當(dāng)材料屈服時(shí)有其中ss，為單向應(yīng)力狀態(tài)下獲得的屈服極限2/1/2023835.4.2等效應(yīng)變?cè)诤?jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下，我們可以得到一條應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線，若知道了變形程度，則其所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，從該曲線上也可以得到。那么可以說，對(duì)同一金屬在同樣的變形溫度—變形速度條件下，等效應(yīng)力取決于變形程度。如果這樣的話，一般應(yīng)力狀態(tài)是否存在這一應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線？2/1/202384金屬的加工硬化程度取決于金屬內(nèi)的變形潛能，一般應(yīng)力狀態(tài)和簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)在加工硬化程度上等效，意味著兩者的變形潛能相同。變形潛能取決于塑性變形功耗。可以認(rèn)為，如果一般應(yīng)力狀態(tài)和簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形功耗相等，則兩者在加工硬化程度上等效。2/1/202385取主軸時(shí)，對(duì)于微小的塑性應(yīng)變?cè)隽浚瑔挝惑w積內(nèi)的塑性變形功為按矢量積有由增量理論，塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與偏差應(yīng)力主軸重合2/1/202386由Mises由屈服條件的幾何解釋，屈服軌跡半徑矢量的模2/1/202387而矢量的模令則找到

2/1/202388此式表示的應(yīng)變?cè)隽烤褪侵鬏S時(shí)的等效應(yīng)變?cè)隽勘壤虞d時(shí)，即為等效應(yīng)變

2/1/202389等式兩邊分別除以變形時(shí)間dt，則得到2/1/2023905.4.3等效應(yīng)變與等效應(yīng)力的關(guān)系由Levy—Mises流動(dòng)法則，代入2/1/202391得到或此式即為等效應(yīng)變?cè)隽颗c等效應(yīng)力的關(guān)系則Levy—Mises流動(dòng)法則可以寫成2/1/202392這樣，由于引入等效應(yīng)變?cè)隽颗c等效應(yīng)力，則本構(gòu)方程中的比例系數(shù)便可以確定，從而也就可以求出應(yīng)變?cè)隽康木唧w數(shù)值。2/1