第五節(jié)各種積分之間的聯(lián)系

第五節(jié)各種積分之間的聯(lián)系一、格林公式二、高斯公式三、斯托克斯公式一、格林公式設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD格林公式

定理1(1)邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.證明(1)yxoabDcdABCE同理可證yxoabDcdABCE兩式相加得證明(2)DGDFCEAB證明(3)由(2)知解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的條件)xyoL1.簡化曲線積分簡單應(yīng)用AB2.簡化二重積分xyo3.計(jì)算平面面積解二、高斯公式證明根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法同理------------------高斯公式和并以上三式得：Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式的另一種形式：解解空間曲面在面上的投影域?yàn)榍娌皇欠忾]曲面,為利用高斯公式根據(jù)對(duì)稱性可知故所求積分為例10.設(shè)為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、斯托克斯(Stokes)公式

定理.設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一證:情形1

與平行z軸的直線只交于一點(diǎn),

設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).則有簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束則(利用格林公式)定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束情形2曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過作輔助線面把分成與z軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束例11.利用斯托克斯公式計(jì)算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)解:記三角形域?yàn)?取上側(cè),則邊界,方向如圖所示.利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例12.

為柱面與平面y=z的交線,從z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解:設(shè)為平面z