統(tǒng)計物理學基礎(chǔ)2014

20.1

統(tǒng)計規(guī)律與概率理論

20.2

溫度與壓強

20.3

三種統(tǒng)計概率

20.4MB統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用

20.5

能量按自由度均分定理內(nèi)能

20.6

分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律第20章統(tǒng)計物理學基礎(chǔ)2/40一個系統(tǒng)兩個方面兩種途徑兩種方法若干規(guī)律熱系統(tǒng)（氣體系統(tǒng)）系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的過程宏觀微觀熱力學方法統(tǒng)計力學方法宏觀微觀熱力學方法統(tǒng)計力學方法熱學是研究物質(zhì)熱現(xiàn)象規(guī)律的學科

熱學的基本內(nèi)容

20.1統(tǒng)計規(guī)律與概率理論一、介紹大量微觀微粒組成的宏觀體系，熱力學系統(tǒng)。e.g.

氣體1、研究的對象2、研究的目的

阿伏伽德羅常數(shù)

NA=6.023×1023/mol宏觀量:如:氣體的V,P,T...描述系統(tǒng)整體特征的物理量.微觀量:如:粒子的系統(tǒng)中描述單個粒子特征的物理量.宏觀狀態(tài)參量平衡態(tài):

在不受外界影響的條件下，一個系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的狀態(tài)。

系統(tǒng)處于平衡態(tài)時,系統(tǒng)的宏觀量具有穩(wěn)定值,而單個粒子的微觀量在不斷變化。了解氣體的宏觀狀態(tài)參量與分子微觀運動之間的關(guān)系。4/402)物質(zhì)的分子在永不停息地做無序運動3)物質(zhì)的分子間存在相互作用力擴散布朗運動合力斥力引力O氣體系統(tǒng)的特點：實驗發(fā)現(xiàn)，大量分子運動符合統(tǒng)計規(guī)律。3、物質(zhì)的微觀模型1)宏觀物體由大量微?！肿?原子)組成的，非天衣無縫。

e.g.氣體可壓縮；液體混合，體積變小。

大量,雜亂無章,無法建立動力學方程。5/40二、統(tǒng)計方法的一般概念

---大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律.加爾頓板實驗:單個粒子運動----偶然事件(落入那個槽)大量粒子運動----統(tǒng)計規(guī)律(粒子在槽中的分布)1、統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律特點:(2)是與單個粒子遵循的動力學規(guī)律有本質(zhì)區(qū)別的新規(guī)律。(3)與系統(tǒng)所處宏觀條件有關(guān)。(4)存在起伏(漲落)。（漲落是一個學科方向）(1)對大量偶然事件有效,對少量事件不適用。統(tǒng)計物理認為：系統(tǒng)的宏觀量是在測量時間內(nèi),系統(tǒng)所有微觀狀態(tài)中相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計平均值!6/402、概率（幾率）定義實驗總觀測次數(shù)為N,其中出現(xiàn)結(jié)果A

的次數(shù)為NA

事件A出現(xiàn)的概率概率是用來衡量偶然事件出現(xiàn)可能性大小的量。3、概率的基本性質(zhì)(1)W=0為不可能事件;W=1為必然事件.(2)A,B為互斥事件,不可能同時出現(xiàn),則出現(xiàn)A或B的總概率---概率疊加原理（3）歸一化條件:對所有可能發(fā)生的事件的概率之和必為1.或(4)J,K為相容事件(可同時出現(xiàn)），則同時發(fā)生J和K的概率.----概率乘法定理

20.2溫度與壓強一、理想氣體的壓強1、壓強的產(chǎn)生密集雨點對雨傘的沖擊力單個分子碰撞器壁的作用力是不連續(xù)的、偶然的、不均勻的。大量氣體分子對器壁持續(xù)不斷的碰撞產(chǎn)生壓力。氣體分子器壁V--

氣體分子自由活動的空間p

--分子碰撞器壁的集體表現(xiàn)單個分子多個分子平均效果8/402、理想氣體分子模型1）分子作完全無規(guī)則熱運動。2）分子大小可以忽略。3）分子間作用力（除碰撞外）可以忽略。4）分子間，分子與器壁間完全彈性碰橦。結(jié)論：理想氣體的模型是：理想氣體自由地無規(guī)則運動的彈性小球的集合。①在平衡態(tài)下分子按位置的分布是均勻的。②平衡狀態(tài)下分子沿任何方向的運動都不占優(yōu)勢，因而有:③推導(dǎo)未考慮分子間的相互碰撞。（認為分子間碰撞不影響單位時間內(nèi)分子與器壁的碰撞次數(shù)）3、推導(dǎo)壓強公式的統(tǒng)計假設(shè)9/404、壓強公式的推導(dǎo)..N

個分子先考慮一個分子的貢獻每碰撞一次分子受到的沖量墻受到的沖量也是方向⊥向外。經(jīng)過碰一次，1秒鐘碰次墻平均1秒受到的沖量(即沖力)N個分子單位面積上受力由于彈性碰撞，反射角=入射角。v1大小不變10/40討論；1）壓強公式將宏觀量p

和微觀量的統(tǒng)計平均值聯(lián)系在一起2）有一定分布（平衡態(tài)）。3）闡明了p

的微觀本質(zhì)（定性、定量）。4）知道了p

很容易了解溫度T的微觀本質(zhì)。5）理解復(fù)合氣體的壓強。11/40二、溫度的微觀意義依壓強公式及理想氣體狀態(tài)方程玻耳慈曼常數(shù)：兩種壓強公式比較，得到理想氣體溫度公式2.溫度反映分子熱運動的劇烈程度。1.溫度是描述宏觀熱力學系統(tǒng)平衡態(tài)的一個物理量。3.溫度是一個統(tǒng)計概念，是大量分子的集體行為。5.溫度--氣體分子熱運動的方均根速率4.溫度---分子雜亂無章的熱運動的平均平動動能。12/4020.3三種統(tǒng)計規(guī)律一、介紹統(tǒng)計分布規(guī)律大量粒子熱運動遵從統(tǒng)計規(guī)律經(jīng)典粒子（可以分辨、跟蹤）微觀粒子（不可分辨、跟蹤）費密子：電子玻色子：光子目的：尋找并掌握平衡狀態(tài)（概率最大的狀態(tài)）下粒子的分布規(guī)律經(jīng)典粒子M-B分布分子按速度有一定的分布。費密子F-D分布電子按能級有一定的分布。玻色子B-E分布光子按能量hν有一定的分布。

（熱輻射規(guī)律）13/40二、數(shù)學準備1、斯特令公式2、拉格朗日乘子法:在約束條件下求極值的方法若μ個自變量是彼此獨立的，則3、相空間:描述一個粒子運動狀態(tài)x,y,z,px,py,pz

以此六個參量為軸的六維空間，稱為相空間。一點代表粒子的一個狀態(tài)。相空間以dω表示相體積1)粒子位于2）3）粒子在V中粒子位于14/40

假定粒子的一個狀態(tài)在相空間中的相體積為h3因此在中的狀態(tài)數(shù)三、等概率原理宏觀狀態(tài)與微觀狀態(tài)左右宏觀上兩部分各有多少粒子？不區(qū)分究竟是哪個粒子。微觀上具體哪個粒子在左？哪個粒子右？同一宏觀態(tài)兩種微觀態(tài)a,b,c,d四個粒子46411宏觀態(tài)微觀態(tài)等概率原理：處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，各可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。15/40

平衡狀態(tài)下，多粒子體系的分布規(guī)律。粒子如何按相槽或能級分布的。

1、經(jīng)典的眼光看粒子

1）粒子可以分辨的（可以跟蹤，可以編號）。分辨與不可分辯abcd可分辯16個微觀狀態(tài)不可分辯●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●5個微觀狀態(tài)。2）一個相槽可以容納多個粒子。2、理論依據(jù)

1）等幾率假設(shè)

2）平衡態(tài)是幾率最大的狀態(tài)（最概然分布）四、M-B分布16/40能級上每個狀(量子)態(tài)被占據(jù)的概率討論過程中要用到等概率假設(shè)和約束條件約束條件:

孤立體系各種狀（量子）態(tài)εi可能的（占據(jù)方式）微觀狀態(tài)數(shù)Ω(1)求將N個粒子按分別放到能量為（2）求Ω取最大值的分布,即最概然分布(3)求在最概然分布下,每個能級上的粒子數(shù)求經(jīng)典粒子（例：氣體分子）按能量的最概然分布的思路17/40(3)個粒子分別占用能級的個狀態(tài)的占據(jù)方式為系統(tǒng)總微觀狀態(tài)數(shù)

N個可區(qū)分粒子，分為個粒子的組合方式為(1)

Ni個經(jīng)典粒子分布在能級的個狀態(tài)上的占據(jù)方式為(2)求經(jīng)典粒子（例：氣體分子）按能量的最概然分布的過程18/40(4)為使Ω極大,令利用斯特令公式

因而19/40由宏觀約束條件（5）

由宏觀約束條件確定

由拉格朗日乘子法原理經(jīng)典粒子按能級的最概然分布M-B分布溫度為T的平衡態(tài)理想氣體在能量為i的每個狀態(tài)上分布的平均粒子數(shù)20/40五、F-D和B-E分布

費米子；自旋是1/2的奇數(shù)倍。e，μ子，質(zhì)子，中子等。全同性粒子。每個狀態(tài)只容納一個粒子。

F—D分布；平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)，N個全同粒子特定分布；N1,-------------Nμε1，-----------εμ

g1,--------------gμ

將N分成μ堆；1種方法將N1個粒子放在g1個位置(一個位置最多一個)上；有種方法。得平衡狀態(tài)--------利用21/40B—E分布玻色子；自旋是1/2的偶數(shù)倍，全同性粒子，每一個狀態(tài)可以容納多個粒子。光子，介子。

N

Ｎ１－－－－－Ｎμ

ε１－－－－－εμｇ１－－－－－ｇμ將Ｎ１個粒子放在ｇ１個位置上，每個位置可容納多個粒子。第一個量子態(tài)是固定的。則方法有

·

·

·

·

·

·

·

·平衡狀態(tài)下22/4020.4MB統(tǒng)計在理想氣體中的應(yīng)用一、麥克斯韋分子速度分布律

利用M-B分布可導(dǎo)出在沒有勢場情況下，理想氣體按速度的分布規(guī)律。對理想氣體，在溫度T的平衡態(tài)下:求分子速度在的概率利用M-B分布取為零23/40利用24/40不考慮分子速度的方向，只考慮速度大小,在T的平衡態(tài)下，理想氣體分子速率在υ--υ

+dυ

范圍內(nèi)的概率（麥克斯韋分子速率分布率）為ovyvzvxv二、麥克斯韋分子速率分布律定義速率分布函數(shù)：在速率υ的附近，單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比----概率密度25/401)、特點：兩頭小，中間大，中等速率的分子數(shù)很多2)、滿足歸一化條件26/404)、最概然速率（最可幾速率）---f(υ)--υ曲線極大值所對應(yīng)的速率υ

pυ

p

的物理意義：υ

p

附近概率密度最大（同樣速率間隔dυ,

速率在υ

p–υp+dυ的分子數(shù)最多)由及3)、求平均值平均速率方均根速率27/405)、三種速率平均速率方均根速率最概然速率vvpof(v)用途不同T2υf(υ)T1T2？T1

υm2f(υ)m2?m1m128/40速率大于υ1的粒子的速率平均值由例1例2已知：N個粒子的速率分布函數(shù)為求：平均速率解：由29/40外力場中,粒子在的分子數(shù)為對所有速度積分,由速度分布函數(shù)的歸一化條件,得得體積元dxdydz內(nèi)的總分子數(shù):三、重力場中粒子按高度分布30/40用空間粒子數(shù)密度表示:n0為Ep=0處的粒子數(shù)密度重力場中重力場中粒子按高度的分布--恒溫氣壓公式31/40空氣密度氣體壓強可以看作單位面積上空氣柱重量由重力場中粒子按高度的分布另一種推導(dǎo)方法：32/4020.5能量均分定理內(nèi)能一、能量均分定理1、自由度確定一物體的位置所需的獨立坐標的數(shù)目s1)平動自由度t

平動動能為三個獨立的速度分量的平方項之和2)轉(zhuǎn)動自由度r

轉(zhuǎn)動動能為三個獨立的角速度分量的平方項之和剛體的自由運動

(平動)+(轉(zhuǎn)動)動能為六個獨立的平方項之和33/403)振動自由度兩個質(zhì)點間相對位置的變化能量為二個平方項之和若有v個振動自由度，能量為2v個平方項之和v個動能，v個勢能2、分子的自由度單原子分子(He、Ne、Ar等)只有平動自由度能量表達式中有三個獨立平方項雙原子分子(O2、H2、CO等)剛性能量表達式中有五個獨立平方項多原子分子（H2O、CH4）剛性能量表達式中有六個獨立平方項34/40理想分子位于平衡態(tài)3、能量均分定理：平動動能表達式中，每一個平方項的平均值都是在溫度為T的平衡態(tài)下，系統(tǒng)中分子能量表達式中每一個獨立的平方項都具有相同的平均熱運動能量，其大小等于

一個分子的總平均能量35/40內(nèi)能是狀態(tài)量.通常理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)

廣義內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有粒子各種能量的總和.

熱力學內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子熱運動動能和分子間相互作用勢能之和.

理想氣體內(nèi)能：僅為分子熱運動動能之和.只含有一種分子的1mol理想氣體ν

mol理想氣體單原子分子雙原子分子多原子分子平均動能1mol理想氣體的內(nèi)能二、內(nèi)能36/4020.6分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律一、問題的提出前面已講過：分子速率在幾百米/秒的數(shù)量級，但為什么食堂炸油餅時并不能馬上聞到油香味呢？

原來分子速率雖高，但分子在運動中還要和大量的分子碰撞這正于散電影后，路上人很多，你想走快也快不了。碰撞是分子的第二特征。（第一特征是分子作永恒的運動）分了碰撞也是“無規(guī)則”的。相隔多長時間碰撞一次？37/40

分子熱運動碰撞示意圖dddu分子平均碰撞頻率假設(shè)：1)同種分子，分子有效直徑2)彈性碰撞3)一個分子運動，其余不動一個分子在單位時間內(nèi)所受到的平均碰撞次數(shù)稱為平均碰撞頻率，二、分子平均碰撞頻率

由于分子向各個方向運動的概率相同,所有兩分子運動方向的平均夾角將是0°至180°之間的平均值為90°因此所以38/40即每秒內(nèi)一個分子要發(fā)生幾十億次踫撞.例：H2常溫常壓常溫常壓下,數(shù)量級為分子在連續(xù)兩次碰撞間所通過的自由路程的平均值。將p=nkT

代入上式得約為分子直徑10-10米的1000倍三、平均自由程39/40例.

真空管的線度為10-2m，真空度為1.3310-3Pa,設(shè)空氣分子有效直徑為310-10m，求270C時單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)，平均自由程和碰撞頻率。解：例.

在半徑為R的球型容器里貯有分子有效直徑為d的氣體，試求該容