計(jì)算方法-45Newton-cotes公式的精度

4.5牛頓-柯特斯公式的精度12023/2/1

4.5.1

截?cái)嗾`差Newton-cotes公式的余項(xiàng)由多項(xiàng)式代替函數(shù)求積公式的余項(xiàng)2023/2/12截?cái)嗾`差的上界估計(jì)引進(jìn)變換，并注意到，有Newton-Cotes求積公式的余項(xiàng)2023/2/13定理3

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式至少有次代數(shù)精度.證明：以辛普森公式為例，來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。仍精確成立。42023/2/152023/2/1通過(guò)計(jì)算得到62023/2/1所以由于72023/2/1于是因此，辛普森公式的代數(shù)精度是3。82023/2/1

4.5.2

Newton-Cotes求積公式的截?cái)嗾`差分析1.梯形公式92023/2/1則即為梯形公式的截?cái)嗾`差估計(jì)102023/2/12.辛普森公式直接用公式求解因?yàn)閠(t-1)(t-2)在區(qū)間[0,2]上不保持常號(hào)，所以中值定理不能使用，因此需要換一種方法求解。112023/2/1由于辛普森公式對(duì)3次代數(shù)多項(xiàng)式精確，故可取插值條件形成f(x)的三次Hermite插值多項(xiàng)式P3(x)，則有122023/2/1即為Simpson公式的截?cái)嗾`差估計(jì)132023/2/13.復(fù)合梯形公式梯形公式的截?cái)嗾`差為對(duì)復(fù)合梯形公式，將上式應(yīng)用于每個(gè)小區(qū)間，得142023/2/1故即為復(fù)合梯形公式的截?cái)嗾`差估計(jì)152023/2/14.復(fù)合辛普森公式辛普森公式的截?cái)嗾`差為對(duì)復(fù)合辛普森公式，將上式應(yīng)用于每個(gè)小區(qū)間，得162023/2/1即為復(fù)合辛普森公式的截?cái)嗾`差估計(jì)172023/2/15.復(fù)合柯特斯公式柯特斯公式用的不多，只給出R[f]的形式（1）柯特斯公式的截?cái)嗾`差（2）復(fù)合柯特斯公式的截?cái)嗾`差n:分割的（大）區(qū)間數(shù)1個(gè)子區(qū)間ab共n個(gè)區(qū)間4n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)4n個(gè)小區(qū)間182023/2/1

4.5.3

事后估計(jì)誤差的近似方法192023/2/1（1）對(duì)復(fù)合辛普森公式，假定[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間2n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)2n個(gè)小區(qū)間ba第1個(gè)子區(qū)間第n個(gè)子區(qū)間（2）假定[a,b]分成2n個(gè)子區(qū)間ba第1個(gè)子區(qū)間第2n個(gè)子區(qū)間共4n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)

4n個(gè)小區(qū)間

4n個(gè)子區(qū)間202023/2/1若成立，則結(jié)束計(jì)算，認(rèn)為S2N為所求值212023/2/1若不成立，可將[a,b]繼續(xù)對(duì)分下去同理對(duì)復(fù)合梯形公式對(duì)復(fù)合柯特斯公式復(fù)合辛普森公式最常用222023