《充分條件與必要條件》同步練習12

《充分條件與必要條件》同步練習一、選擇題1．(2015·四川文，4)設a，b為正實數(shù)，則“a＞b＞1”是“l(fā)og2a＞log2b＞0”A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]a＞b＞1時，有l(wèi)og2a＞log2b2．“a＝1”是“直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]本題考查兩條直線垂直的充要條件．當a＝1時，直線x－ay＝0化為直線x－y＝0，∴直線x＋y＝0與直線x－y＝0垂直；當直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直時，有1－a＝0，∴a＝1，故選C.3．設x∈R，則“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查充要條件，解一元二次不等式．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，即x<－1或x>eq\f(1,2)，所以x>eq\f(1,2)?2x2＋x－1>0，而2x2＋x－1>0eq\o(?,/)x>eq\f(1,2)，選A.4．(2014·鄭州市質(zhì)檢)設向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，則“a∥b”是“x＝2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]B[解析]a∥b?x2－4＝0?x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分條件．5．(2014·甘肅省三診)設a，b∈R，則(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析](a－b)a2<0?a－b<0?a<b，而a<b，a＝0時(a－b)·a2＝0，∴a<beq\o(?,/)(a－b)a2<0∴選A.6．(2014·豫東、豫北十所名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則p：a1<a2<a3是q：a4<a5的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]由a1<a2<a3可知等比數(shù)列{an}為遞增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5時，不能確定{an}為遞增數(shù)列，也可能是正負交替數(shù)列，例如an＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空題7．命題p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，命題q：x1＋x2＝－5，那么命題p是命題q的________條件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1＋x2＝－5.當x1＝－1，x2＝－4時，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的兩根．8．已知數(shù)列{an}，那么“對任意的n∈N＋，點Pn(n，an)，都在直線y＝2x＋1上”是“{an}為等差數(shù)列”的______條件．[答案]充分不必要[解析]點Pn(n，an)都在直線y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}為等差數(shù)列，但是{an}是等差數(shù)列時卻不一定有an＝2n＋1.三、解答題9．是否存在實數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍．[答案]p≥4[解析]x2－x－2>0的解是x>2或x<－1，由4x＋p<0得x<－eq\f(p,4).要想使x<－eq\f(p,4)時，x>2或x<－1成立，必須有－eq\f(p,4)≤－1，即p≥4，所以當p≥4時，x<－eq\f(p,4)?x<－1?x2－x－2>0.所以p≥4時，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分條件．10．求關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根的充要條件．[答案]a≤1[解析]①a＝0時適合．②當a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號的實根，則a<0；若方程有兩個負的實根，則必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0.))解得0<a≤1.綜上可知，若方程至少有一個負的實根，則a≤1；反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根，因此，關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根的充要條件是a≤1.一、選擇題1．“m＝eq\f(1,2)”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]由于直線方程中含有字母m，需對m進行討論．(m＋2)x＋3my＋1＝0與(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要條件是(m＋2)(m－2)＋3m(m即(m＋2)(4m－2)＝0，所以m＝－2或m＝eq\f(1,2).顯然m＝eq\f(1,2)只是m取值的一種情況．故為充分不必要條件．2．“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]“tanx＝1”的充要條件為“x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”，而“x＝2kx＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“x＝kx＋eq\f(π,4)(k∈Z)”的充分不必要條件，所以“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的充分不必要條件，故選A.3．設α∈R，則“α＝0”是“sinα<cosα”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]由α＝0可以得出sinα＝0，cosα＝1，sinα<cosα，但當sinα<cosα時，α不一定為0，所以α＝0是sinα<cosα的充分不必要條件，選A.4．(2014·江西臨川十中期中)已知平面向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a?(a－mb)·a＝0?|a|2－ma·b＝0?m＝1，故選C.二、填空題5．“a＝eq\f(1,2)”是“y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期為2π”的________條件．[答案]充分不必要[解析]由a＝eq\f(1,2)，得y＝cos2eq\f(1,2)x－sin2eq\f(1,2)x＝cosx，T＝2π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝eq\f(2π,|2a|)＝2π，得a＝±eq\f(1,2).故是充分不必要條件．6．下列說法正確的是________．①x2≠1是x≠1的必要條件；②x>5是x>4的充分不必要條件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；④x2<4是x<2的充分不必要條件．[答案]②④[解析]“若x2≠1，則x≠1”的逆否命題為“若x＝1，則x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要條件，故①不正確．③中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則③不正確．②④正確．三、解答題7．求證：關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個負實根的充要條件是m≥2.[證明](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有實根，設x2＋mx＋1＝0的兩根為x1、x2，由韋達定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同號，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同為負根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的兩個實根x1，x2均為負，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.綜上可知，命題成立．8．求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]必要性：∵關于x的方