第09講三角形的中位線同步教學講義 人教版數(shù)學八年級下冊

第9講三角形的中位線知識導航1.連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線；2.三角形的中位線性質：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半；3.一個三角形有三條中位線.【板塊一】運用中位線的性質計算與證明方法技巧三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，給出了中位線與第三邊的位置關系和數(shù)量關系，為證明兩線平行，探求兩線段的數(shù)量關系提供了依據(jù).題型一利用中位線的性質計算與證明【例1】如圖，△ABC中，，，AD，AE分別是△ABC的角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于點F，交AB于點G，連接EF，則線段EF的長為_______.【例2】如圖，點E為□ABCD中DC邊的延長線上一點，且，連接AE，分別交BC，BD于點F，G，連接AC交BD于點O，連接OF.(1)求證：△ABF≌△ECF；(2)求證：.針對練習11.如圖，□ABCD的周長為8，對角線AC，BD交于點M，延長AB到點E，使，BN⊥EC于點N，連接MN，求MN的長.2.如圖，O為△ABC兩條中線BF與CD的交點，求證：，.【板塊二】構造中位線的方法與技巧方法技巧構造中位線的方法與技巧有：連中點構造中位線，取中點構造中位線，角平分線與垂線組合構造中位線，倍長線段構造中位線，連接第三邊構造中位線.題型二連中點構造中位線【例1】如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，，點D，C，B在同一條直線上，點F，G，M分別為AD，BE，AB的中點.(1)求的度數(shù)；(2)求的值.題型三取中點構造中位線方法技巧三角形的一條邊上有中點，可以取另一邊的中點，然后連接這兩個中點，構造三角形的中位線.【例2】如圖1，在△ACB中，，，點E在AC上，EF⊥AC交AB于點F，連接BE，D為AF的中點，M為BE的中點.(1)判斷CM與CD之間的數(shù)量關系，并加以證明；(2)將△AEF繞點A旋轉任意一銳角，如圖2，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？請加以證明.題型四角平分線＋垂線→構造中位線方法技巧角平分線＋垂線，通過延長直角邊，可以補全成等腰三角形，形成一邊上有中點的情形，與另外的邊的中點連線可得到中位線.【例3】(2017徐州改)如圖，在△ABC中，點D，點E分別為AB，AC的中點，點F在DE上，且AF⊥BF.(1)求證：；(2)若，，求EF的長.【例4】如圖，BD,CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD于點F，AG⊥CE于點G，連接FG.求證：(1)FG∥BC；(2).【例5】已知點M為△ABC的邊BC的中點，，，BD⊥AD于點D，連接DM.(1)如圖1，若AD為△ABC的角平分線，延長BD交AC于點E.①求證：；②求MD的長；(2)如圖2，若AD為△ABC的外角平分線，則.【例6】如圖，在△ABC中，，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM，BN分別交于P，Q兩點，PM，QN的中點分別為E，F(xiàn).求證：EF∥AB.【例7】如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，，點E在AC上，M為BE的中點.求證：.題型五倍長線段構造中位線【例8】如圖，點P為△ABC的邊BC的中點，分別以AB,AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE，且.求證：.題型六連接第三邊構造中位線方法技巧若圖形中存在共頂點的兩邊上都有中點，可以連接第三邊，構造中位線.【例9】如圖，在□ABCD中，，，，點H，G分別是邊CD，BC上的動點，連接AH，HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF.則EF的最大值與最小值的差為（）A．1B.C.D.【例10】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.【例11】如圖，點B為線段AC上一點，分別以AB，BC為邊AC的同側作等邊△ABD和等邊△BCE，點P，M，N分別為AC，AD，CE的中點.(1)求證：；(2)求的度數(shù).針對練習21.(課本62頁第16題改編)如圖，在△ABC中，M為BC的中點，AD為的平分線，BD⊥AD于點D.(1)求證：；(2)若，，，求AC的長.2.如圖，在△ABC中，BE，CF分別平分，，AG⊥BE，AH⊥CF，G，H為垂足，求證：GH∥BC.3.如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：EG與HF互相平分.4.如圖，BF是△ABC的角平分線，AM⊥BF于點M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于點N.(1)求證：MN∥BC；(2)若，，，求MN的長.【板塊三】中位線與動態(tài)探究題型七中位線與路徑問題方法技巧中位線的動態(tài)圖求值，先分別選取運動點的起點，中間某一特殊點，終止點這些特殊位置對應的點，然后由特殊到一般猜想估計運動點的情形，最后驗證.【例1】如圖，在△ABC中，，，，若點E為BC上一動點，以AE為邊在AE右側作等邊△AEF，連接CF，點G為線段CF的中點，若點E從點B出發(fā)，沿著BC方向運動到點C，則在此過程中，點G運動的路徑長為_________.【例2】如圖，，，點P在線段OA上運動，BP⊥PM，，C為x軸負半軸上一定點，連接CM，N為CM的中點，當點P從點O運動至點A時，點N運動的路徑長為________.針對練習3 .1.如圖，已知AB=10，P是線段AB上的動點，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側作等邊△ACP和等邊△P