《充分條件與必要條件》判斷方法

《充分條件與必要條件》判斷方法1.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的）一、范例例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：⑴p：x=y；q：x2=y2.⑵p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個(gè)角相等.分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進(jìn)行判斷.解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分條件，q是p的必要條件.⑵由pq，即三角形的三條邊相等三角形的三個(gè)角相等，知p是q的充分條件，q是p的必要條件；又由qp，即三角形的三個(gè)角相等三角形的三條邊相等，知q也是p的充分條件，p也是q的必要條件.練習(xí)：課本P35練習(xí)：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件；⑵∵qp，∴p是q的必要條件，q是p的充分條件；⑶∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件；又∵qp，∴q也是p的充分條件，p也是q的必要條件.⑷∵pq，∴p是q的充分條件，q是p的必要條件；又∵qp，∴q也是p的充分條件，p也是q的必要條件.以上是直接利用定義由原命題判斷充分條件與必要條件的方法.那么，如果由命題不是很好判斷的話，我們可以換一種方式，根據(jù)互為逆否命題的等價(jià)性，利用它的逆否命題來進(jìn)行判斷.2.利用逆否命題判斷：即“若┐q┐p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.例2(補(bǔ))如圖1，有一個(gè)圓A，在其內(nèi)又含有一個(gè)圓B.請回答：⑴命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件.⑵命題：若“紅點(diǎn)在B內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定在A內(nèi)”中，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的什么條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”又是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的什么條件.解法1(直接判斷)：⑴∵“A為綠色B為綠色”是真的，∴由定義知，“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件.⑵如圖2⑴，∵“紅點(diǎn)在B內(nèi)紅點(diǎn)在A內(nèi)”是真的，∴由定義知，“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件.解法2(利用逆否命題判斷)：⑴它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”.∵“B不為綠色A不為綠色”為真，∴“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件.⑵它的逆否命題是：若“紅點(diǎn)不在A內(nèi)”，則“紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)”.如圖2⑵，∵“紅點(diǎn)不在A內(nèi)紅點(diǎn)一定不在B內(nèi)”為真，∴“紅點(diǎn)在B內(nèi)”是“紅點(diǎn)在A內(nèi)”的充分條件；“紅點(diǎn)在A內(nèi)”是“紅點(diǎn)在B內(nèi)”的必要條件.如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來說明.先說充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的.例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個(gè)充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”.它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式.再說必要性：必要就是必須，必不可少.從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色.但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”.因此，必要條件簡單說就是：有它不一定，沒它可不行.它滿足上述的“若非q則非p”為真（即┐q┐p）的形式.總之，