中考復習數學專題：軸對稱之將軍飲馬模型 (人教版)

人教版中考數學復習專題：軸對稱之將軍飲馬模型1．問題提出（1）如圖，點M、N是直線l外兩點，在直線l上找一點K，使得MK+NK最?。畣栴}探究（2）在等邊三角形ABC內有一點P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數的大?。畣栴}解決（3）如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，AB＝30米，BC＝60米，現(xiàn)需要在對角線BD上修一涼亭E，使得到公園出口A、B，C的距離之和最?。畣枺菏欠翊嬖谶@樣的點E？若存在，請畫出點E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，請說明理由．2．（1）如圖①，點A、點B在線段l的同側，請你在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最?。ú恍枰f明理由）．（2）如圖②，菱形ABCD的邊長為6，對角線AC＝6，點E，F(xiàn)在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．3．已知“兩點之間，線段最短”，我們經常利用它來解決兩線段和最小值問題．（1）實踐運用唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題﹣﹣將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由．（2）拓展延伸如圖2，點P，Q是△ABC的邊AB、AC上的兩個定點，請同學們在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡）．4．著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？5．傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：軍官從軍營A出發(fā)先到河邊飲馬，再去同側的B地開會（如圖），應該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個著名的“將軍飲馬”問題嗎？請畫圖說明．6．已知在平面直角坐標系中，點A（1，2），點B（4，1），點C（﹣3，﹣2）．（1）在x軸上找一點D，使AD+BD最小，求點D坐標；（2）在y軸上找一點E，使|AE﹣CE|最大，求點E坐標．7．有人會說：“這也太簡單了！”別著急，請看下面這道題（如圖）有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近．這道題乍一看似乎無從下手．但經過觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點之間，線段最短”來解決問題，具體方法為：做B點與河面的對稱點B′，連接AB′，可得到馬喝水的地方C（如圖）．再連接CB得到這道題的解A→C→B．這就是著名的“將軍飲馬”問題．不信的話你可以在河邊任意取一點C′連接AC′和C′B，比較一下就知道了．8．古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關于直線l的對稱點B′，連結AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連結AC′，BC，B′C′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，∴CB＝，C′B＝，∴AC+CB＝AC+CB′＝．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締栴}實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A，C，B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數學模型．拓展應用：如圖4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，點P是BD上一個動點，點M是BC上一個動點，請在圖5中畫出PC+PM的值最小時P的位置．（可用三角尺）9．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，0），AB＝8，C點到x軸的距離CD為2，且∠ABC＝30°．（1）求點C坐標；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當線段CE+EF+AF有最小值時，請求出這個最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△BGH，使點A與點H重合，點C與點G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B′G′H′，在平移過程中，設直線B′H′與x軸交于點M，是否存在這樣的點M，使得△B′MG′為等腰三角形？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，說明理由．10．已知一次函數y＝4kx+5k+（k≠0）．（1）無論k為何值，函數圖象必過定點，求該點的坐標；（2）如圖1，當k＝﹣時，該直線交x軸，y軸于A，B兩點，直線l2：y＝x+1交AB于點P，點Q是l2上一點，若S△ABQ＝6，求Q點的坐標；（3）如圖2，在第2問的條件下，已知D點在該直線上，橫坐標為1，C點在x軸負半軸，∠ABC＝45°，動點M的坐標為（a，a），求CM+MD的最小值．11．【模型介紹】古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點P，連接PB，則AP+BP的和最?。埬阍谙铝械拈喿x、理解、應用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線l上另取任一點P′，連接AP′，BP′，B′P′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點P，P′在l上，∴PB＝，P′B＝，∴AP+PB＝AP+PB′＝．在△AP′B′中，∵AB′＜AP′+P′B′，∴AP+PB＜AP+P′B′，即AP+BP最?。練w納總結】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點P為AB′與l的交點，即A，P，B′三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側兩定點的距離和的最小值”問題的數學模型．【模型應用】（1）如圖④，正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，F(xiàn)是AC上一動點．求EF+FB的最小值．解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點B與D關于直線AC對稱，連接DE交AC于點F，則EF+FB的最小值就是線段ED的長度，則EF+FB的最小值是．（2）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14cm，底面周長為16cm，在杯內離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短路程為cm．（3）如圖⑥，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△A′B′D′，分別連接A′C，A′D，B′C，則A′C+B′C的最小值為．12．某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中點，P是BC邊上的一動點，則PA+PE的最小值為；（2）代數應用：求代數式+（0≤x≤3）的最小值；（3）幾何拓展：如圖3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一點M、N使CM+MN的值最小，最小值是．13．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A、C、B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數學模型．【簡單應用】（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關于直線AD對稱，連接BM，EM+MC的最小值就是線段的長度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M、N當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展應用】如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據計劃，貨船應先停靠OB岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．14．如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，﹣1）、B（3，2）、C（1，﹣2）．（1）判斷△ABC的形狀，請說明理由．（2）求△ABC的周長和面積．（3）在x軸上有一點P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值為．15．李明酷愛數學，勤于思考，善于反思．在學習八年級下冊數學知識之后，他發(fā)現(xiàn)“二次根式、勾股定理、一次函數、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問題有關聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路徑長”等問題，提供了具體的數學方法．于是他撰寫了一篇數學作文．請你認真閱讀思考，幫助李明完成相關問題．“將軍飲馬”問題的探究與拓展八年級三班李明“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》），這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將軍從A地出發(fā)到河邊l飲馬，然后再到B地軍營視察，怎樣走路徑最短？【數學模型】如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最?。締栴}解決】作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B交l于點P，則點P即為所求．此時，PA+PB的值最小，且PA+PB＝A'P+PB＝A'B．【模型應用】問題1．如圖2，經測量得A，B兩點到河邊l的距離分別為AC＝300米，BD＝900米，且CD＝900米．請計算出“將軍飲馬”問