新課標(biāo)1、2卷立體幾何高考題含答案(2023-2023)20231118

全國卷高考題（立體幾何）20231118學(xué)號姓名2023新課標(biāo)2卷18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.DDDD1C1A1EFABCB1如圖，長方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過點(diǎn)，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．2023新課標(biāo)2卷18．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，理18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝.(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．2023新課標(biāo)1卷18．(2023課標(biāo)全國Ⅰ，理18)(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB12023新課標(biāo)1卷19.(本小題滿分12分)如圖三棱錐中，側(cè)面為菱形，.（I）證明：；（Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值.2023新課標(biāo)1卷（18）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值2023新課標(biāo)2卷如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．2023新課標(biāo)1卷如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明；平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．答案：2023新課標(biāo)2卷（18）解：（I）連接BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO。因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB。EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC.（Ⅱ）因?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直。如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則。設(shè)為平面ACE的法向量，則即，可取。又為平面DAE的法向量，由題設(shè)，即，解得。因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐的高為.三菱錐的體積.2023新課標(biāo)2卷（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為，則，，因?yàn)闉檎叫?，所以．于是，所以．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則即所以可取．又，故．所以直線與平面所成角的正弦值為．考點(diǎn)：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角．2023新課標(biāo)2卷解：(1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.設(shè)CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n＝(1，－1，－1)．同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，則可取m＝(2,1，－2)．從而cos〈n，m〉＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值為.2023新課標(biāo)1卷(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C又A1C平面OA1C，故AB⊥A1(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．則＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C則即可取n＝(，1，－1)．故cos〈n，〉＝＝.所以A1C與平面BB1C12023新課標(biāo)1卷(Ⅰ)連結(jié)，交于O，連結(jié)AO．因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且O為與的中點(diǎn)．又，所以平面，故又

，故（Ⅱ）因?yàn)榍襉為的中點(diǎn)，所以AO=CO

又因?yàn)锳B=BC，所以故OA⊥OB，從而OA，OB，兩兩互相垂直．

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，OB為單位長，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-．

因?yàn)?，所以為等邊三角形．又AB=BC，則，，，，設(shè)是平面的法向量，則，即所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.2023新課標(biāo)1卷∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分（Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.……12分考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力2023新課標(biāo)2卷⑴證明：∵，∴，∴．∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴面．⑵建立如圖坐標(biāo)系．，，，，，，，設(shè)面法向量，由得，取，∴．同理可得面的法向量，∴，∴．2023新課標(biāo)1