金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第五章之三

金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第五章之三

投資組合理論1通過(guò)證券市場(chǎng)投資配置資源的兩部分工作：（１）證券與市場(chǎng)的分析，對(duì)投資者可能選擇的所有投資工具的風(fēng)險(xiǎn)及預(yù)期收益的特性進(jìn)行評(píng)估．（２）對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行最優(yōu)的資產(chǎn)組合的構(gòu)建，涉及在可行的資產(chǎn)組合中決定最佳風(fēng)險(xiǎn)－收益機(jī)會(huì)，從可行的資產(chǎn)組合中選擇最好的資產(chǎn)組合．2圍繞風(fēng)險(xiǎn)的三個(gè)議題基本原則，即投資者規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)并對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資要求有相應(yīng)的回報(bào)，回報(bào)采取的是風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的形式，即預(yù)期收益率高于可供選擇的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資所能提供的收益率．概括并確定投資者個(gè)人在資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)與預(yù)期收益之間的權(quán)衡．我們引入效用函數(shù)，假定投資者能夠根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)與收益情況為所有的資產(chǎn)組合標(biāo)定一個(gè)福利或效用的數(shù)值．我們無(wú)法脫離資產(chǎn)組合而對(duì)其中某一部分資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行單獨(dú)的評(píng)估．測(cè)度單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)的正確方法是評(píng)價(jià)它對(duì)整個(gè)投資組合變動(dòng)的影響．因?yàn)橐恍┛雌饋?lái)有風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)也許正是資產(chǎn)組合的穩(wěn)定器．3處理不確定性的三種數(shù)學(xué)方法預(yù)期效用函數(shù)分析基于偏好假定，非常完美但要刻畫一個(gè)人在所有不同狀態(tài)下的效用幾乎不可能均值—方差分析：投資組合理論盡管不能完全刻畫個(gè)體的偏好（某些條件下可以）避免討論具體的效用函數(shù)，靈活方便，可以檢驗(yàn)套利分析：APT基于均值—方差分析和市場(chǎng)均衡理論，做了更多假定簡(jiǎn)化計(jì)算，使用方便，可以檢驗(yàn)方法論的里程碑4馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》瑞典皇家科學(xué)院決定將1990年諾貝爾獎(jiǎng)授予紐約大學(xué)哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的先驅(qū)工作—資產(chǎn)組合選擇理論。一、現(xiàn)代投資組合理論的起源5發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳述的可操作的選擇資產(chǎn)組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.這個(gè)理論演變成進(jìn)一步研究金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)；這一理論通常被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)端。馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無(wú)套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學(xué)理論的重大突破。

主要貢獻(xiàn)6西方投資管理經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展階段：投機(jī)階段、職業(yè)化階段和科學(xué)化階段。1952年，HarryMarkowitz發(fā)表的“投資組合選擇”作為投資學(xué)或金融經(jīng)濟(jì)學(xué)產(chǎn)生的標(biāo)志。1963年，WillianSharpe提出了單指數(shù)模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分別獨(dú)立地提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一個(gè)完整的期權(quán)定價(jià)模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定價(jià)理論(APT)。證券投資理論的發(fā)展7投資組合理論的基本思想投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的tradeoff問(wèn)題，此外投資組合通過(guò)分散化的投資來(lái)對(duì)沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”8實(shí)現(xiàn)方法收益——證券組合的期望報(bào)酬風(fēng)險(xiǎn)——證券組合的方差風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃9二、投資組合的收益與不確定性首先，投資組合的兩個(gè)相關(guān)特征是：（1）它的期望回報(bào)率（均值）（2）可能的回報(bào)率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望回報(bào)最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報(bào)率水平上使風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合。10再次，通過(guò)對(duì)某種資產(chǎn)的期望回報(bào)率、回報(bào)率的方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報(bào)率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當(dāng)分析，辨識(shí)出有效投資組合在理論上是可行的。最后，通過(guò)求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計(jì)算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者的投資中所占份額，以便實(shí)現(xiàn)投資組合的有效性——即對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。注：二次效應(yīng)函數(shù)：投資者的效用函數(shù)是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。11（一）假定條件122.收益率131415假設(shè)投資者投資的時(shí)間為一期，投資的初始財(cái)富W0為17200元，投資者選擇A、B、C三種股票進(jìn)行投資。投資者估計(jì)它們的期望回報(bào)率分別為16.2%、24.6%和22.8%。這等價(jià)于，投資者估計(jì)三種股票的期末價(jià)格分別為46.48元[因?yàn)椋?6.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因?yàn)椋?3.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因?yàn)椋?6.14-62）/62=22.8%]。證券組合期望回報(bào)率有幾種計(jì)算方式，每種方式得到相同的結(jié)果。16（1）證券和證券組合的值證券名稱在證券組合中的股數(shù)每股的初始市場(chǎng)價(jià)格總投資在證券組合的初始市場(chǎng)價(jià)值中的份額A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605證券組合的初始市場(chǎng)價(jià)值W0=17200元總的份額=1.000017（2）利用期末價(jià)格計(jì)算證券組合的期望回報(bào)率證券名稱在證券組合中的股數(shù)每股的期末預(yù)期價(jià)值總的期末預(yù)期價(jià)值A(chǔ)10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元證券組合的期末預(yù)期價(jià)值=20984元證券組合的期望回報(bào)率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%18（3）利用證券的期望回報(bào)率計(jì)算證券組合的期望回報(bào)率證券名稱在證券組合初始價(jià)值中的份額證券的期望回報(bào)率在證券組合的期望回報(bào)率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%證券組合的期望回報(bào)率==22.00%19（二）期望效用分析與均值－方差分析的關(guān)系一般來(lái)說(shuō)，資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差并不能完全包含個(gè)體做選擇時(shí)所需要的全部信息但在一定條件下，個(gè)體的期望效用函數(shù)能夠僅僅表示為資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差的函數(shù)，從而投資者可以只把均值和方差作為選擇的目標(biāo)條件為：預(yù)期效用函數(shù)為二次效用函數(shù)或者資產(chǎn)回報(bào)服從正態(tài)分布2021

假設(shè)個(gè)體的初始財(cái)富為W0，個(gè)體通過(guò)投資各種金融資產(chǎn)來(lái)最大化他的期末財(cái)富帶來(lái)的期望效用。設(shè)個(gè)體的Von-Neumann-Morgenstern效用函數(shù)為u，在期末財(cái)富的期望值這一點(diǎn)，對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行Taylor展開：22馮·紐曼--摩根斯坦效用函數(shù)（vonNeumann-Morgensternutilityfunction）也稱VNM效用函數(shù)VNM效用函數(shù)理論是20世紀(jì)50年代,馮·紐曼和摩根斯坦(VonNeumannandMorgenstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對(duì)理性人(rationalactor)選擇進(jìn)行分析的框架。

2324假設(shè)上述Taylor展開式收斂且期望運(yùn)算和求和運(yùn)算可以交換順序，則個(gè)體的期望效用函數(shù)可以表示成：上式說(shuō)明個(gè)體偏好不僅依賴于財(cái)富的均值與方差，還依賴于財(cái)富的高階矩。但是，如果財(cái)富的高階矩為0或者財(cái)富的高階矩可用財(cái)富的期望和方差來(lái)表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。25定理1:如果u是一個(gè)解析函數(shù)，則（a）對(duì)任意分布的期末財(cái)富，存在函數(shù)使得當(dāng)且僅當(dāng)這里，為常數(shù)

下面的定理證明了：當(dāng)預(yù)期效用函數(shù)為二次函數(shù)或者資產(chǎn)回報(bào)服從正態(tài)分布時(shí)，均值—方差與預(yù)期效用函數(shù)等價(jià)，可以完全刻畫投資者的偏好特征。（b）對(duì)任意偏好函數(shù)u，如果期末財(cái)富服從正態(tài)分布，則存在函數(shù)，使得26二次效用函數(shù)的假設(shè)和正態(tài)分布的假設(shè)不符合實(shí)際的消費(fèi)者投資情況

因?yàn)槎魏瘮?shù)具有遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和滿足性兩個(gè)性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點(diǎn)以上，財(cái)富的增加使效用減少，遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多的財(cái)富和將風(fēng)險(xiǎn)視為正常商品的投資者不符。此外，正態(tài)分布的中心軸對(duì)稱與一般股票的有限責(zé)任不一致。注：均值-方差模型不是一個(gè)資產(chǎn)選擇的一般性模型。它在金融理論中之所以扮演重要的角色，是因?yàn)樗哂袛?shù)理分析的簡(jiǎn)易性和豐富的實(shí)證檢驗(yàn)。27重要的性質(zhì)定理2當(dāng)資產(chǎn)的回報(bào)率r服從以為均值、以為標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn)之間的替代率是正的，無(wú)差異曲線是凸的，并且越是位于西北方向的無(wú)差異曲線，其效用越高。28(三）投資組合收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量設(shè)一項(xiàng)投資組合含有n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，令：:風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的隨機(jī)收益率；：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的期望收益率，；：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i和j的收益間的協(xié)方差；則有即：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i和j的收益間的相關(guān)系數(shù)；

的方差29從“歷史”樣本估計(jì)收益和風(fēng)險(xiǎn)：投資組合收益的期望值；：投資組合收益的方差。：投資組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i所占的百分比；：投資組合的隨機(jī)收益率；3031

組合的方差將平方項(xiàng)展開得到3233根據(jù)概率論，對(duì)于任意的兩個(gè)隨機(jī)變量，總有下列等式成立組合的風(fēng)險(xiǎn)變小34例題例1：假設(shè)兩個(gè)資產(chǎn)收益率的均值為0.12，0.15，其標(biāo)準(zhǔn)差為0.20和0.18，占組合的投資比例分別是0.25和0.75，兩個(gè)資產(chǎn)協(xié)方差為0.01，則組合收益的期望值和方差為35

例2：假設(shè)某組合包含n種股票。投資者等額地將資金分配在上面，即每種股票占總投資的1/n，每種股票的收益也是占總收益的1/n。設(shè)若投資一種股票，其期望收益為r，方差為σ2，且這些股票之間兩兩不相關(guān)，求組合的收益與方差。36相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)量度是相關(guān)系數(shù)。事實(shí)上，兩個(gè)隨機(jī)變量間的協(xié)方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差的積。證券A與B的相關(guān)系數(shù)為37測(cè)量?jī)煞N股票收益共同變動(dòng)的趨勢(shì):Corr(RA,RB)或A,B-1.0+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0完全負(fù)相關(guān)會(huì)使風(fēng)險(xiǎn)消失完全正相關(guān)不會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險(xiǎn)，但不是全部38若n=2時(shí)，若再假定其中一項(xiàng)如第２項(xiàng)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則有39從上式解得如果現(xiàn)在市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是6％，資產(chǎn)1的預(yù)期收益率是14％，標(biāo)準(zhǔn)差是20％?，F(xiàn)在我們希望組合的預(yù)期收益率是11％，則組合的構(gòu)成和風(fēng)險(xiǎn)將是多少？40例子

假設(shè)我們要構(gòu)造一個(gè)能源投資的Ace組合,我們選擇了雪佛龍德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴羅德(Ballard)燃料電池公司.由于燃料電池提供了替代汽油的清潔能源,所以,這兩家公司的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)方向相反.我們?cè)O(shè),對(duì)兩家公司各投資50%.雪佛龍德士古公司股票的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)分別是：，巴羅德公司股票的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)分別是：41求解Ace組合的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)：即42將分解如下：第一部分是只與單個(gè)方差項(xiàng)相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，稱為非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)；第二部分是由各項(xiàng)資產(chǎn)收益間的相關(guān)性所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，稱為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（或市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)）。（四）風(fēng)險(xiǎn)的分散化43由上可知，證券組合的方差不僅取決于單個(gè)證券的方差，而且還取決于各種證券間的協(xié)方差。隨著組合種證券數(shù)目的增加，在決定組和方差時(shí)，協(xié)方差的作用越來(lái)越大，而方差的作用越來(lái)越小。例如，在一個(gè)由30種證券組成的組合中，有30個(gè)方差和870個(gè)協(xié)方差。若一個(gè)組合進(jìn)一步擴(kuò)大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差的決定性因素。風(fēng)險(xiǎn)的分散化原理被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)中唯一“免費(fèi)的午餐”。將多項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合到一起，可以對(duì)沖掉部分風(fēng)險(xiǎn)而不降低平均的預(yù)期收益率，這是馬科維茨的主要貢獻(xiàn)。44證券組合消除的是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開發(fā)失敗，等等。可稱為可分散風(fēng)險(xiǎn)、特有風(fēng)險(xiǎn)、特定資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)主要通過(guò)分散化減少，因此由許多種資產(chǎn)構(gòu)成的組合將幾乎不存在非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是指整個(gè)市場(chǎng)承受到的風(fēng)險(xiǎn)，如經(jīng)濟(jì)的景氣情況、市場(chǎng)總體利率水平的變化等因?yàn)檎麄€(gè)市場(chǎng)環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)?？煞Q為不可分散風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)影響所有的資產(chǎn)，不能通過(guò)分散化來(lái)去除。451005001530非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)模1005001530總風(fēng)險(xiǎn)規(guī)模1005001530系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)模46組合的風(fēng)險(xiǎn)–標(biāo)準(zhǔn)差組合中的股票數(shù)量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)特定公司風(fēng)險(xiǎn)總風(fēng)險(xiǎn)可分散風(fēng)險(xiǎn)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不可分散風(fēng)險(xiǎn)47結(jié)論只要資產(chǎn)不是完全正相關(guān)，投資組合的分散化便可以在不減少平均收益的前提下降低組合的風(fēng)險(xiǎn)；在分散化良好的投資組合里，非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)由于逐漸趨于零而可以被排除掉；由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)不隨分散化而消失，必須對(duì)其進(jìn)行處置和管理。48三、證券投資組合的可行集、有效集（一）可行集（二）有效集（三）有效前沿均值與方差的關(guān)系49（一）可行集N個(gè)證券可以形成無(wú)窮多個(gè)組合，由N種證券所形成的所有預(yù)期收益率和方差的組合的集合就是可行集。它包括了現(xiàn)實(shí)生活中所有可能的組合，也就是說(shuō)，所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。50兩種資產(chǎn)組合的結(jié)合線證券A，B在今后一段時(shí)間內(nèi)（例如，一年）的收益率分別為rA，rB，其投資比例分別為xA，xB，且xA+xB=1，由它們形成一個(gè)證券組合P，則P的收益率為：rP=xA

·rA+xB·

rB51證券A：收益率高，風(fēng)險(xiǎn)高證券B：收益率低，風(fēng)險(xiǎn)低即：E(rA)>

E(rB),σA>σB52無(wú)論投資組合權(quán)重如何變化，組合收益的方差都隨著組合內(nèi)資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)的減少而直線下降53選擇不同的組合權(quán)重，相關(guān)系數(shù)對(duì)組合收益率方差的影響將隨著組合權(quán)重偏向低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而減少，反之增加。圖5-6、5-7表明，雖然我們無(wú)法決定資產(chǎn)A或B的收益及其風(fēng)險(xiǎn)，但可以通過(guò)選擇具有特定相關(guān)關(guān)系的的資產(chǎn)來(lái)構(gòu)造組合并通過(guò)調(diào)整分配給各資產(chǎn)的投資比重來(lái)調(diào)整組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)。這意味著：人們無(wú)需開發(fā)新的金融資產(chǎn)就可以創(chuàng)造新的投資品種。54兩個(gè)證券組合的可行集舉例證券預(yù)期收益標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)5%20%B15%40%組合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.0055相關(guān)系數(shù)分別為1，-1，0時(shí)，組合的期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？組合ABCDEFG預(yù)期收益56.78.31011.713.315標(biāo)準(zhǔn)差下限=－1上限=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.005657情形1：A、B完全正相關(guān)E(rp)=w1

·E(r1)

+w2

·

E(r2

)w1

+w2

=1E(rp)=w1

·E(r1)

+（1-w1

）E(r2

)由以上兩式所確定的是一條直線，通過(guò)點(diǎn)（σA，EA）和（σB，EB）

允許賣空時(shí)，為了得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，需要賣空高風(fēng)險(xiǎn)證券并投資在低風(fēng)險(xiǎn)證券（圖中虛線部分）58命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得59兩種資產(chǎn)組合（完全正相關(guān)），當(dāng)權(quán)重w1從1減少到0時(shí)可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的可行集（假定不允許買空賣空）。收益Erp風(fēng)險(xiǎn)σp60情形2：A、B完全負(fù)相關(guān)E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時(shí)，σP與E(rp)之間是分段線性關(guān)系61命題2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的可行集是兩條直線，其截距相同，斜率異號(hào)。

證明：6263兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp64情形3：A、B不完全相關(guān)E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時(shí)，確定的是一條通過(guò)A、B的雙曲線結(jié)論：通過(guò)按適當(dāng)比例買入兩種證券，獲得比兩種證券中任何一種證券的風(fēng)險(xiǎn)都小的證券組合。圖中C點(diǎn)為最小方差組合；組合中越靠近A，買入的A越多；而A點(diǎn)的東北部曲線上的點(diǎn)代表的組合由賣空B證券、買入A證券形成。65兩種不完全相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的可行集66情形4：一般情形E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此時(shí)，確定的仍是一條通過(guò)A、B的雙曲線，其彎曲程度取決于相關(guān)系數(shù)的大小在不允許賣空的情況下，相關(guān)系數(shù)越小，證券組合的風(fēng)險(xiǎn)越小。67證券A、B組合在R-平面的映射（組合線）的形狀取決于二證券收益率的相關(guān)程度。如下圖：

R

B

=-1

=-0.5

A

O=0=1=0.568多種證券組合的可行域

（例如，3種證券構(gòu)造的500個(gè)隨機(jī)組合樣本）（1）投資者可以構(gòu)造無(wú)窮多種組合，獲得不同的收益和風(fēng)險(xiǎn)特征；（2）投資者可以獲得的收益和風(fēng)險(xiǎn)被局限在一定的區(qū)域（可行域）內(nèi)，并獲得任意的收益和風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)；（3）投資者的理性選擇必將在可行域的邊界上69可行集具有兩個(gè)重要性質(zhì)：1、只要N>2，可行集對(duì)應(yīng)于均值－標(biāo)準(zhǔn)差平面上的區(qū)域?yàn)槎S的；2、可行集的左邊界向左凸。說(shuō)明：由于一個(gè)證券組合對(duì)應(yīng)于均值—標(biāo)準(zhǔn)差平面的一個(gè)點(diǎn)，所以，我們既可以用各個(gè)證券的權(quán)重來(lái)表示證券組合，也可以用均值—標(biāo)準(zhǔn)差平面上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示它。這也是我們用均值—標(biāo)準(zhǔn)差平面上的一個(gè)集合來(lái)表示可行的證券組合集合的原因。70投資組合的幾何表示和可行集選定了證券的投資比例，就確定了組合。以EP為縱坐標(biāo)、σP為橫坐標(biāo)，在EP-σP坐標(biāo)系中可以確定一個(gè)點(diǎn)。每個(gè)組合對(duì)應(yīng)EP-σP中的一個(gè)點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，EP-σP中的某個(gè)點(diǎn)有可能反映某個(gè)組合。選擇“全部”有可能選擇的投資比例，那么，全部組合在EP-σP中的“點(diǎn)”組成EP-σP中的區(qū)域－－可行集（feasibleset）可行集中的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的組合才是“有可能實(shí)現(xiàn)”的組合?？尚屑獾狞c(diǎn)是不可能實(shí)現(xiàn)的證券組合。可行集＝機(jī)會(huì)集71可行集可能的形狀（1）（4）（3）（2）（2）和（3）是不允許賣空條件下的可行域（1）和（4）是允許賣空條件下的可行域72收益風(fēng)險(xiǎn)ANHBN種證券的可行集73收益rp風(fēng)險(xiǎn)σp不可能的可行集AB74（二）有效集或有效前沿

1.有效集的定義可行集中有無(wú)窮多個(gè)組合，但是投資者有必要對(duì)所有這些組合進(jìn)行評(píng)價(jià)嗎？理性的風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的投資選擇：對(duì)于同樣的風(fēng)險(xiǎn)水平，將會(huì)選擇能提供最大預(yù)期收益率的組合；對(duì)于同樣的預(yù)期收益率，將會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合；如果一個(gè)組合比另一個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)低、收益高，更加偏好這個(gè)組合。能滿足這兩個(gè)條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（有效集定理）。75收益風(fēng)險(xiǎn)最小方差組合MVP2.有效集的形狀有效集（有效邊界）是滿足占優(yōu)法則的所有組合的點(diǎn)的集合（軌跡）76占優(yōu)法則：投資者都是不知足的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。補(bǔ)充：77占優(yōu)原則（DominancePrinciple）1234期望回報(bào)方差或者標(biāo)準(zhǔn)差?

2占優(yōu)1;2占優(yōu)于3;4占優(yōu)于3;78有效集曲線的形狀具有如下特點(diǎn)：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風(fēng)險(xiǎn)”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點(diǎn)所代表的兩個(gè)組合再組合起來(lái)得到的新的點(diǎn)（代表一個(gè)新的組合）一定落在原來(lái)兩個(gè)點(diǎn)的連線的左側(cè)，這是因?yàn)樾碌慕M合能進(jìn)一步起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用，所以曲線是向左凸的；（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方。

793.有效集的得出所有可能的點(diǎn)（rp，p）構(gòu)成了（rp，p）平面上可行區(qū)域，對(duì)于給定的rp，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規(guī)劃：80或給定風(fēng)險(xiǎn)水平的條件下，使期望收益達(dá)到最大，即求解81均值-方差模型：有效集的數(shù)學(xué)推導(dǎo)基本假設(shè)：無(wú)摩擦的證券市場(chǎng)中，有N≥3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，資產(chǎn)收益率的期望和方差有限，可以無(wú)限制地賣空，任何資產(chǎn)的收益率不能表示為其它資產(chǎn)收益率的線性組合（相互獨(dú)立）。目標(biāo)：在具有相同期望收益率的資產(chǎn)組合中，具有最小方差的資產(chǎn)組合稱為前沿資產(chǎn)組合。828384Markowitz提出：理性的投資者總是尋求這樣的投資組合,它在給定期望收益水平的條件下，使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，即求解：85對(duì)于上述帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，可以引入拉格朗日乘子λ和γ來(lái)解決這一優(yōu)化問(wèn)題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下上式左右兩邊對(duì)wi求導(dǎo)數(shù)，令其一階條件為0，得到方程組86證券組合p是前沿證券組合，當(dāng)且僅當(dāng)規(guī)劃的求解:拉格朗日方程一階條件87二次規(guī)劃的解884.不具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合前沿（1）一個(gè)證券組合稱為前沿證券組合，如果它在所有具有相同期望回報(bào)的證券組合中具有最小方差，即是如下二次規(guī)劃的解89寫成矩陣形式為其中：90（2）有效邊界的求解91

假設(shè)所有資產(chǎn)期望回報(bào)率和方差均有限且期望互不相等，N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)線性獨(dú)立。構(gòu)造Lagrangian乘子函數(shù)，求一階導(dǎo)數(shù)，并令一階導(dǎo)數(shù)等于零，得這里且（*）92由V的正定性知B>0，C>0，D>0，且二次規(guī)劃的一階條件既是必要條件也是充分條件，即一階條件為是以為期望回報(bào)率的邊界證券組合的充要條件。從而，任何邊界證券組合均可表示成（*）式；反過(guò)來(lái)，由（*）式表示的任何證券組合均為邊界證券組合。所有前沿證券組合的集合稱為證券組合前沿。對(duì)應(yīng)不同的收益率，優(yōu)化問(wèn)題可以得到不同的解，進(jìn)而得到不同的邊界證券組合。

“取遍”所有可能的收益率，其“軌跡”就是一條曲線。

由全體“前沿證券組合”構(gòu)成的“集合”稱為證券組合前沿（portfoliofrontier），它是定義有效前沿的基礎(chǔ)。93判斷組合好壞的公認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)——投資者共同偏好第一：以期望衡量收益率，方差衡量風(fēng)險(xiǎn)，僅關(guān)心期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行集內(nèi)部和右下邊緣上的任意組合，均可以在左上邊界上找到一個(gè)比它好的組合。淘汰！最佳組合“必須來(lái)自”左上邊界——有效前沿有效組合——有效前沿對(duì)應(yīng)的組合（3）有效前沿和有效組合94對(duì)于任意兩個(gè)前沿證券組合，其回報(bào)率的協(xié)方差為：從而，對(duì)于任意前沿證券組合，其回報(bào)率和標(biāo)準(zhǔn)差滿足如下方程：

因此證券組合前沿是以為中心，以為漸進(jìn)線的雙曲線（4）證券組合前沿的幾何結(jié)構(gòu)95雙曲線圖形A/CE(r

)0mvp機(jī)會(huì)集雙曲線最小方差證券組合mvp對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為說(shuō)明：1、MVP是一個(gè)特殊點(diǎn)，是一個(gè)全局最小方差點(diǎn)；2、由無(wú)差異曲線形狀可知，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者將只在雙曲線的上半只選擇投資點(diǎn)。965.具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效證券組合前沿（1）當(dāng)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí)，可以得到更簡(jiǎn)單的結(jié)果；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，是指回報(bào)率確定的證券，通常將政府發(fā)行的國(guó)庫(kù)券視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券；買賣債券只不過(guò)是手段，本質(zhì)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的借貸行為；投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)又稱作“無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貸出”（risk-freelending），賣空無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)又稱為“無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借入”（risk-freeborrowing）。假定：無(wú)摩擦的證券市場(chǎng)，N種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券，P為N+1種資產(chǎn)形成的一個(gè)前沿證券組合，WP表示投資在N中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的權(quán)重；97設(shè)是如下規(guī)劃的解：98利用拉格朗日法求解，有以下有關(guān)投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系：如果這里A、B、C是推導(dǎo)馬氏雙曲線的變量即所有N+1種資產(chǎn)的證券組合前沿為過(guò)點(diǎn)（0，rf)，斜率為的半射線組成。99（2）存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸機(jī)會(huì)時(shí)組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)

設(shè)組合P是有一無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一風(fēng)險(xiǎn)組合（由（n-1）種風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成）所構(gòu)成，則：從而1002.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券情況下證券組合前沿的幾何結(jié)構(gòu)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的大小將會(huì)影響證券邊界，具體是直線的“模樣”，分三種情況rf＜A/C、rf＞A/C、rf＝A/C其中A/C表示不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下mvp的期望值存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之后，證券組合前沿由雙曲線向左進(jìn)行了擴(kuò)張?？尚屑怯蓛蓷l射線所“圍成”的區(qū)域。101（1）rf＜A/C0E(r)A/