第10章組合變形

第十章組合變形§6-4

非對稱截面的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心

一、非對稱截面的平面彎曲MedAyz形心主慣性平面CxzydACyzyzy1y1z1(中性軸)z1是形心軸y1z1(中性軸)y1梁的軸線在形心主慣性平面xy內(nèi)彎曲成一條平面曲線，這是純彎曲中平面彎曲的一般情況?？梢?，Ｍy=0是發(fā)生平面彎曲的條件。對稱截面梁在橫力彎曲時的切應力公式同樣適用于非對稱截面梁在橫向力作用下發(fā)生平面彎曲的切應力計算。橫向力必須作用在與梁的形心主慣性平面平行的某一特定平面時，梁才僅發(fā)生平面彎曲而不發(fā)生扭轉(zhuǎn)。若橫向力作用在與該特定平面平行的其他縱向平面時，梁不僅發(fā)生平面彎曲而且發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。二、開口薄壁截面的彎曲中心產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的原因及彎心位置的確定只有當力F的作用線通過點A時，梁才只產(chǎn)生彎曲，不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。t

1,maxt1tmmt1t

maxmmFHFH

FR

FSCzyy

CAzeFR

FSht

1,maxt1tt1t

maxbdhA點稱為截面的彎曲中心或剪切中心。，它是截面的幾何性質(zhì)，與外力的大小和方向及梁的約束等均無關(guān)。當橫向力F通過彎曲中心A時，梁只產(chǎn)生彎曲，不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。m

mCAzeFR

FSy對于開口薄壁截面梁，由于其抗扭剛度較小，當橫向力不通過彎曲中心A時，將引起很大的扭曲變形，并且當扭轉(zhuǎn)時橫截面不能自由翹曲時，梁中還要產(chǎn)生附加的正應力和切應力，稱為約束扭轉(zhuǎn)。一側(cè)開口的薄壁截面，其彎曲中心必在截面的另一側(cè)?！ぁぁぁぁぁ?1)當截面具有一根對稱軸時，例如，槽形、開口薄壁圓環(huán)、T字形、等邊角形等，其彎曲中心一定位于對稱軸上。(3)由兩個狹長矩形組成的截面，例如，T字形、等邊和不等邊角形等，其彎曲中心位于兩狹長矩形中線的交點處。(2)當截面具有兩根對稱軸時，例如工字形等，其彎曲中心和形心位置重合。Z字形截面為反對稱截面，其彎曲中心也與形心位置重合。思考懸臂梁在自由端受集中力F作用，若采用圖a，b，c所示三種截面，且力F均通截面的形心C。試問這幾種截面梁各產(chǎn)生何種變形？.C(c)C(a)yz(b)C§10-1概述

基本變形：軸向拉伸(或壓縮)、剪切、扭轉(zhuǎn)及彎曲；

組合變形：構(gòu)件同時發(fā)生的兩種或兩種以上的基本變形；組合變形分類：斜彎曲,拉彎(或壓彎)組合,彎扭組合；

工程實例:煙囪，傳動軸，吊車梁的立柱。自重引起軸向壓縮

＋水平方向風力引起彎曲齒輪嚙合力引起彎曲

＋

扭轉(zhuǎn)

偏心荷載引起偏心壓縮

=

軸向壓縮

＋

純彎曲

分析方法：

(1)組合變形是小變形，且材料是在線彈性范圍內(nèi)工作，用疊加法：

將作用于桿件上的荷載簡化成靜力相當荷載，簡化后的每一荷載只產(chǎn)生一種基本變形；分別計算每一種基本變形下桿件的應力和位移，將結(jié)果疊加。(2)組合變形是大變形，應按變形后的形狀分析計算，不能用疊加法。§10-2斜彎曲Czyq檁條平面彎曲的受力特點平面彎曲的變形特點

(1)各橫截面繞z軸作相對轉(zhuǎn)動；

(2)撓曲線位于橫向外力所在的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)橫向外力所在的縱向平面就是梁的縱向?qū)ΨQ平面。梁的縱向?qū)ΨQ平面q橫向外力所在的縱向平面zyC斜彎曲的受力特點橫向外力所在的縱向平面不是梁的縱向?qū)ΨQ平面斜彎曲的變形特點

(1)各橫截面均分別繞y軸和z軸作相對轉(zhuǎn)動；

(2)撓曲線不再位于橫向外力所在的縱向平面內(nèi)。橫向外力所在的縱向平面梁的縱向?qū)ΨQ平面CzyFzFyFzy?C（y，z）lxl－xyzxF斜彎曲的應力和位移計算(1)外力的分解—在xy平面內(nèi)的平面彎曲，z軸為中性軸—在xz平面內(nèi)的平面彎曲，y軸為中性軸xyzxMzMyMyMzyF(2)彎矩計算Mz?C(y,z)(3)應力計算zyMyMz以上各式中的彎矩和坐標均取絕對值yzxMzMyx＋＝zyFy單獨作用：s'Fz單獨作用：s''Fy

和Fz共同作用：sBD中性軸EF中性軸方程：中性軸上的點(y0

，

z0)滿足中性軸斜率：中性軸與y軸的夾角a滿足zy中性軸a?(y0，

z0)

——過橫截面形心

??(1)IyIz，tana

－cot(或tana·tan－1)，中性軸與總彎矩矢量不重合(或中性軸與總彎矩M的作用平面不垂直)，從而中性軸與外力F的作用線不垂直；(2)Iy=Iz，tana

=－cot(或tana

·tan=－1)

，中性軸與總彎矩矢量重合(或中性軸與總彎矩M的作用平面垂直)，從而中性軸與外力F的作用線垂直。zyF中性軸aM??zy中性軸??MF(4)強度計算危險截面：固定端截面危險點：危險截面角點處強度條件zy中性軸a??zy中性軸a?切點?切點(yt

,zt)zyzy中性軸中性軸????(5)位移計算yzxlzywzFzFy中性軸awbwyzywz中性軸awbwy即中性軸與總位移矢量(或撓曲平面)垂直。(1)Iy

Iz，tanb

tan

，總位移矢量與總彎矩矢量(或撓曲平面與總彎矩作用平面)不垂直，從而總位移矢量與外力F的作用線(或撓曲平面與外力F所在縱向平面)不重合，是為斜彎曲；(2)Iy=Iz，tanb

=

tan

，總位移矢量與總彎矩矢量(或撓曲平面與總彎矩作用平面)垂直，從而總位移矢量與外力F的作用線(或撓曲平面與外力F所在縱向平面)重合，是為平面彎曲。zyF中性軸awaMzy中性軸zy中性軸????MFMFww??zy中性軸a??MwaF例

20a號工字鋼懸臂梁承受均布荷載q和集中力F=qa/2

如圖。已知鋼的許用彎曲正應力[]=160MPa,a=1m。試求梁的許可荷載集度[q]。

yqzaa40°FOCBAFyzqaaABCDFzyx解

作計算簡圖,將自由端截面B上的集中力沿兩主軸分解為0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM圖(Nm)0.617aADCBMz圖0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)FyzqaaABCDFzyx

在xoz主軸平面內(nèi)的彎矩圖(y軸為中性軸)在xoy主軸平面內(nèi)的彎矩圖(z軸為中性軸)危險截面：由彎矩圖，可確定A，D兩截面為危險截面。

A，D截面在xoz，xoy平面的彎曲截面系數(shù)，可查表得

按疊加法，在xoz主軸平面內(nèi)、xoy主軸平面內(nèi)的彎曲正應力，在x方向疊加

可見，梁的危險點在截面A的棱角處。危險點處是單軸應力狀態(tài)，強度條件為

軸向拉伸(壓縮)和彎曲偏心拉伸(壓縮)

對于EI較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，由軸向力引起的附加彎矩可以略去不計，拉(壓)彎時偏于安全?？煞謩e計算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應力，按疊加原理求其代數(shù)和，即得在拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下桿橫截面上的正應力。

§10-3拉伸(壓縮)與彎曲一、軸向拉伸(壓縮)和彎曲的組合變形lyzxFqqFxwCw(x)x<F單獨作用：s'q單獨作用：s''>z<中性軸+=例一折桿由兩根無縫鋼管焊接而成，已知兩鋼管的外徑均為140mm，壁厚均為10mm。試求折桿危險截面上的最大拉應力和最大壓應力。

解求支反力,由平衡方程

作折桿的受力圖,折桿及受力對稱，只需分析一半即桿AC。

將FA分解,得桿的軸力FN，彎矩M(x)AxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAF'FAABCa1.6m1.6m1.2m10kN

最大彎矩在C處的m-m橫截面，m-m截面為危險截面

按疊加原理，最大拉應力t和最大壓應力c分別在桿下邊緣的f

點和上邊緣的g點處，其值分別為根據(jù)已知的截面尺寸

代入應力表達式得二、偏心拉伸(壓縮)

如鉆床的立柱、廠房中支承吊車梁的柱子。F1F2當直桿受到與桿的軸線平行但不重合的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。

EI較大時，撓度遠小于拉力或壓力的偏心距，可按桿的原始形狀，用疊加法計算內(nèi)力。OD2D1

APyzyOzhbD1D2

PWzPyzyOD2D1

PyPWz中性軸yzOD1

st,maxsD2c,maxzy?(yP,zp)?ay?az中性軸?切點（yt

,zt）?切點§10-4彎曲與扭轉(zhuǎn)拉彎扭組合變形例

圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪

C上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪

D

上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64kN。齒輪

C

的節(jié)圓直徑dC=400mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應力[]=100MPa，試按第四強度理論求軸的直徑。

解將每個齒輪上的切向外力向該軸的截面形心簡化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m

作出軸在xy，xz兩縱對稱平面內(nèi)的兩個彎矩圖以及扭矩圖。

對于圓截面桿，通過圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，可將My，Mz按矢量和求得總彎矩。