自動(dòng)控制-04f系統(tǒng)性能的分析

4-4

系統(tǒng)性能的分析在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評(píng)價(jià)取決于系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。運(yùn)用根軌跡法，可以迅速確定系統(tǒng)在某一開(kāi)環(huán)增益或某一參數(shù)值下的閉環(huán)零、極點(diǎn)位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)，可以采用拉氏反變換求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，進(jìn)一步求得系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能最終體現(xiàn)在時(shí)間響應(yīng)上，影響時(shí)間響應(yīng)的因素有兩個(gè)：閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)。在第三章中已經(jīng)得知，時(shí)間響應(yīng)的暫態(tài)分量主要取決于閉環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量主要取決于輸入函數(shù)。1、閉環(huán)零極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)如前所說(shuō)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于閉環(huán)極點(diǎn)，實(shí)際上時(shí)間響應(yīng)的暫態(tài)分量也主要取決于閉環(huán)極點(diǎn)。每一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)si對(duì)應(yīng)時(shí)間響應(yīng)中的一個(gè)因子sit——稱為系統(tǒng)的一個(gè)模態(tài)（Mode），si在S平面上的位置決定了它對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式。圖4-20表示了si分布于S平面上不同位置所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量，其規(guī)律可以總結(jié)為：

1)左右分布決定終值。具體講就是：si位于虛軸左邊時(shí)暫態(tài)分量最終衰減到零，si

位于虛軸右邊時(shí)暫態(tài)分量一定發(fā)散，si正好位于虛軸（除原點(diǎn)）時(shí)暫態(tài)分量為等幅振蕩。

2)虛實(shí)分布決定振型。具體講就是：si位于實(shí)軸上時(shí)暫態(tài)分量為非周期運(yùn)動(dòng)，si位于虛軸上時(shí)暫態(tài)分量為周期運(yùn)動(dòng)。

3)遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是：si位于虛軸左邊時(shí)離虛軸愈遠(yuǎn)過(guò)渡過(guò)程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)主宰系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間最長(zhǎng)，被稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。圖4-20閉環(huán)極點(diǎn)分布與暫態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式σj——閉環(huán)極點(diǎn)位置的共軛———設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)合理配置閉環(huán)極點(diǎn)是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)律，一般首先配置主導(dǎo)極點(diǎn)，然后配置非主導(dǎo)極點(diǎn)，非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸距離的2～5倍，這樣系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)就主要取決于一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)一般安排為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，位于如圖4-21虛軸左邊60°扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：

1）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與一個(gè)二階欠阻尼系統(tǒng)相似，二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是分析得最透徹的，欠阻尼系統(tǒng)則具有較快的反應(yīng)速度。圖4-21

3）離虛軸一定的距離保證了足夠的穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度太小，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的參數(shù)不會(huì)絕對(duì)準(zhǔn)確——也就是說(shuō)實(shí)際的主導(dǎo)極點(diǎn)位置與理論分析的位置有偏差。但也不是越遠(yuǎn)越好，因?yàn)橄到y(tǒng)總存在建模誤差，離虛軸很遠(yuǎn)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)很小的時(shí)間常數(shù)，如果主導(dǎo)極點(diǎn)與建模時(shí)忽略的小時(shí)間常數(shù)相當(dāng)，那么主導(dǎo)極點(diǎn)就不主導(dǎo)，設(shè)計(jì)的根基就動(dòng)搖了。

2）阻尼系數(shù)太大太小都不合適，60°扇形區(qū)意味著阻尼系數(shù)不小于cos60°=0.5，一般認(rèn)為最佳阻尼系數(shù)是0.707。這里提出了一個(gè)重要的設(shè)計(jì)理念：魯棒性設(shè)計(jì)。理論分析與工程實(shí)際總是有差距的，不注意這種差距，有時(shí)會(huì)鬧出笑話。一個(gè)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，需要充分考慮工程實(shí)際中的非理想因素，比如：建模誤差、參數(shù)不準(zhǔn)、外部干擾等。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，總要忽略一些非線性、小時(shí)間常數(shù)等因素，這叫建模誤差；建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的測(cè)量或估計(jì)不可能百分之百的準(zhǔn)確，而且運(yùn)行中系統(tǒng)參數(shù)也會(huì)變化，這說(shuō)明參數(shù)不準(zhǔn)是普遍存在的；來(lái)自外部環(huán)境的干擾更是五花八門(mén)、難以統(tǒng)計(jì)，未建模的干擾會(huì)使運(yùn)動(dòng)偏離理論軌跡。所以，要使理論上設(shè)計(jì)的系統(tǒng)能夠真正用于實(shí)際，必須保證在上述非理想因素下設(shè)計(jì)目標(biāo)仍然能達(dá)到或基本達(dá)到，這樣的控制系統(tǒng)稱為具有魯棒性的系統(tǒng)。

現(xiàn)在再來(lái)看系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，應(yīng)該說(shuō)閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒(méi)有影響，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)沒(méi)有實(shí)質(zhì)影響，但對(duì)時(shí)間響應(yīng)的具體形狀是有影響的?？紤]下面三個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)：它們有完全相同的閉環(huán)極點(diǎn)，但閉環(huán)零點(diǎn)不同，它們的階躍響應(yīng)分別如圖4-22（a），（b），（c）所示。圖（a）（b）都是最小相位系統(tǒng)，但圖（b）代表的系統(tǒng)多了一個(gè)左半平面的零點(diǎn)，它加快了響應(yīng)速度（有利），也加大了超調(diào)量（不利）；圖（c）代表的是一個(gè)非最小相位系統(tǒng)，右半平面零點(diǎn)導(dǎo)致了特殊的反調(diào)節(jié)現(xiàn)象，這對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是不利的，水輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)就存在這種現(xiàn)象。（a）（b）（c）圖4-22

閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)時(shí)間響應(yīng)的影響

1、開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)離它們較遠(yuǎn)的根軌跡形狀及根軌跡增益K*沒(méi)有影響。原因是從偶極子至根軌跡遠(yuǎn)處某點(diǎn)的向量基本相等，它們的模值條件及相角條件中可以互相抵消。

2、若開(kāi)環(huán)偶極子位于平面原點(diǎn)附近，則由于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn)，故它們對(duì)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置及增益K*均無(wú)影響。但是，開(kāi)環(huán)偶極子將顯著影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，從而在很大程度上影響系統(tǒng)的靜態(tài)性能，其原因如下：

*偶極子的影響

開(kāi)環(huán)偶極子是指一對(duì)距離很近的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，它們之間距離比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)左右。當(dāng)系統(tǒng)增加一對(duì)開(kāi)環(huán)偶極子時(shí)，其效應(yīng)有：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)用時(shí)間常數(shù)表示的通式為

該傳遞函數(shù)若寫(xiě)成零、極點(diǎn)的表達(dá)式，則

式中，為系統(tǒng)的階數(shù)；K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益，又稱開(kāi)環(huán)放大倍數(shù),與系統(tǒng)的誤差系數(shù)Kp、Kv及Ka有著密切的關(guān)系,K*為系統(tǒng)的根軌跡增益，比較上述兩式，不難看出

如果系統(tǒng)在原來(lái)零、極點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加一對(duì)實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)偶極子，則按上式求得增加開(kāi)環(huán)偶極子后系統(tǒng)的傳遞系數(shù)為

式中為偶極子的零、極點(diǎn)；為原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例如選有上式表明，加入偶極子后，系統(tǒng)的傳遞系數(shù)提高了10倍，顯然對(duì)提高靜態(tài)性能大有好處。例

已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

若給此系統(tǒng)增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p=－2，或增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)z=－2。試分別討論對(duì)系統(tǒng)根軌跡和動(dòng)態(tài)性能的影響。

解

依據(jù)根軌跡的法則，制出的根軌跡如圖4-18圖a為原系統(tǒng)的根軌跡圖b為增加極點(diǎn)后的根軌跡圖C為增加零點(diǎn)后的根軌跡。

可見(jiàn)，增加極點(diǎn)后根軌跡及其分離點(diǎn)都向右移；增加零點(diǎn)后使根軌跡及其分離點(diǎn)都向左偏移。

圖4-18增加零點(diǎn)或極點(diǎn)的效應(yīng)增加零點(diǎn)后的軌跡原系統(tǒng)根軌跡增加極點(diǎn)后的軌跡2、系統(tǒng)性能的分析

本節(jié)將重點(diǎn)說(shuō)明閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)分布與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系，即找出誤差系數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系；誤差系數(shù)與開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)的關(guān)系；開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)的關(guān)系；進(jìn)而說(shuō)明穩(wěn)態(tài)性能與閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)的關(guān)系。

設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則誤差系數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系為

而我們已知穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算公式為

0型系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

則

Ⅰ型系統(tǒng)在斜坡函數(shù)作用下，Ⅱ型系統(tǒng)在加速度函數(shù)作用下其穩(wěn)態(tài)誤差

則

由上我們可推導(dǎo)出

例1某單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)求開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)。

解

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)（無(wú)有限零點(diǎn)）

根據(jù)得

則，當(dāng)時(shí)

根據(jù)

可得