動點問題探究方法

運動型問題探究動態(tài)幾何問題就是以幾何知識為背景，滲入運動變化觀點的一類問題，它通常分為三種類型：（1）動點問題（常見形式是：點在線段或弧線上運動）（2）動線問題（東城一模23）（3）動形問題。（動形問題通常是圖形的翻轉(zhuǎn)，平移、旋轉(zhuǎn)變換問題）一、動態(tài)幾何的分類

1、動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性。2、動靜變化：“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系。3、以動制動：就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系。二、動點問題的解題策略（一）動點在直線上運動三、動點問題的分類（二）動點在拋物線、弧上運動1、如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)點P從點A沿AB邊向點B運動，速度為1cm/s。若設(shè)運動時間為t(s)，連接PC,當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰三角形？P能力準備：1、將線段的長度用時間t和速度v表示出來。AP=t×1,BP=7-t2、弄清點的運動方向，可以用箭頭表明。則PB=BC∴7-t=4∴t=3（一）動點在直線上運動變式：如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4∠A=30°(2)若點P從點A沿AB運動，速度仍是1cm/s當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰三角形？74射線（一）動點在直線上運動1、如圖：已知ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°P74當(dāng)BP=BC時P7430°當(dāng)CB=CP時∟EP當(dāng)PB=PC時74PE74當(dāng)BP=BC時(2)若點P從點A沿射線AB運動，速度仍是1cm/s。當(dāng)t為何值時，△PBC為等腰三角形？探究動點關(guān)鍵：化動為靜，分類討論.∴t=3或11或7+或/3時△PBC為等腰三角形（一）動點在直線上運動（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．MC=NC時，10-2t=t（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．MN=NC時，△NGC∽△DHCNC:DC=NG:DHt:5=(5-t):3GH（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．MN=MC時，△MEC∽△DHCEC:HC=MC:DC（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（10年密云一模）如圖，在梯形中，AD∥BC,AD=3，DC=5，BC=10，梯形的高為4．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．（2）試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．∠C既在△EMC中，又在△DHC中，所以從解直角三角形的角度也可解cos∠C=EC:MC=HC:DC（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（2010年北京中考24題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2/45x/2與x軸的交點分別為原點O和點A(10,0)，點B(2，4)在這條拋物線上。點P在線段OA上，從O點出發(fā)向點運動，過P點作x軸的垂線，與直線OB交于點E。延長PE到點D。使得ED=PE。以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點運動時，C點、D點也隨之運動)

當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；

（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（2010年北京中考24題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2/45x/2與x軸的交點分別為原點O和點A(10,0)，點B(2，4)在這條拋物線上。若P點從O點出發(fā)向A點作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一點Q從A點出發(fā)向O點作勻速運動，速度為每秒2個單位(當(dāng)Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動)。過Q點作x軸的垂線，與直線AB交于點F。延長QF到點M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q點運動時，M點，N點也隨之運動)。若P點運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值。

（一）動點在直線上運動----中考模擬試題（2010年朝陽一模8題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC,∠B=60o,AB=AD=BO=4,OC=8,點P從B點出發(fā)，沿四邊形ABCD的邊BA→AD→DC以每分鐘一個單位長度的速度勻速運動，若運動的時間為t,△POD的面積為S，則S與t的函數(shù)圖象大致為（）（一）動點在直線上運動----中考模擬試題D1、平面直角坐標系中，矩形ABCD，A(3，0)，B(3，4)，動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中M沿OA向終點A運動，N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于P，連結(jié)MP。已知動點運動了x秒。(1)P的坐標為(用含x的代數(shù)式表示)；OMABNyCPx（一）動點在直線上運動----強化練習(xí)(2)請你探索：當(dāng)x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？··ABA’P----最短距離問題（一）動點在直線上運動··ABA’PB’·----最短距離問題（一）動點在直線上運動【2009北京中考】如圖在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ,則△ＰＢＱ周長的最小值是()cm(結(jié)果不取近似值）AD

BQCP----最短距離問題（一）動點在直線上運動【2006北京中考】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；（3）若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設(shè)為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F)，最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

[分析]這是一道由軸對稱的典型例題改編的“臺球兩次碰壁問題”；臺球由點M擊出，經(jīng)過x軸、拋物線的對稱軸兩次碰壁后，恰好經(jīng)過點A，求臺球經(jīng)過的路徑．如圖，設(shè)點M關(guān)于x軸對稱的點為M′，點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點為A′，連結(jié)M′A′，則M′A′的長為ME＋EF＋FA的最小值．----最短距離問題（一）動點在直線上運動【2006北京中考】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．（3）若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設(shè)為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設(shè)為點F)，最后運動到點A．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

【2010年豐臺一模】已知二次函數(shù)．（3）將直線y=x向下平移2個單位長度后與交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．----最短距離問題（一）動點在直線上運動（2009中考25）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個點的坐標分別為A（-6,0），B（6,0）延長AC到點D,使CD=,過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E.（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點（出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。----最短距離問題（一）動點在直線上運動【2009中考25】（）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個點的坐標分別為A（-6,0），B（6,0）延長AC到點D,使CD=，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E.（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。【2010崇文一模】已知拋物線經(jīng)過點A（1，3）和點B（2，1）（2）點C、D分別是軸和軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；（3）過點B作軸的垂線，垂足為E點．點P從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達F點,再沿FE到達E點，若P點在對稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的倍,試確定點F的位置,使得點P按照上述要求到達E點所用的時間最短．----最短距離問題（一）動點在直線上運動----總結(jié)提升（1）等腰三角形的問題要分類討論（2）可通過相似列出方程，將求時間的問題轉(zhuǎn)化為求線段的問題。所以，相似是解決動點問題的一種重要方法。（3）在直角三角形中可以從相似和解直兩個不同角度解題。（一）動點在直線上運動（10年通州一模）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，（點A在點B左側(cè)）.與y軸交于點C，頂點為D，直線CD與x軸交于點E.（3）在點B、點F之間的拋物線上有一點P，使△PBF的面積最大，求此時P點坐標及△PBF的最大面積.（二）動點在曲線上運動【大興一模】如圖2，點A、B、C、D為圓O的四等分點，動點P從圓心O出發(fā)，沿O-C-D-O的路線作勻速運動.設(shè)運動時間為秒,∠APB的度數(shù)為y度，則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎǘ﹦狱c在曲線上運動C【昌平一模】如圖，在半徑為1的⊙O中，直徑把⊙O分成上、下兩個半圓，點是上半圓上一個動點（C與點A、B不重合）