第3章恒定電場2013

第三章恒定電場基本概念：

?電介質(zhì)中的靜電場?通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場與電流場?通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周圍電介質(zhì)中的靜態(tài)電場恒定電流恒定電源恒定電場恒定電荷首先介紹維持恒定電場的電源及其局外場強；

然后重點討論電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電流場的基本方程微分形式E=0和J=0；引入恒定電場電位及其拉普拉斯方程2=0；通過靜電比擬的方法介紹鏡像法、部分電導(dǎo)和接地電阻。電流是積分量3.1.2電流密度電流密度是一個矢量，在各向同性線性導(dǎo)電媒質(zhì)中，它與電場強度方向一致。I是通量,并不反映電流在每一點的流動情況3.1.1電流強度3.1導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流單位時間內(nèi)通過某一橫截面的電量，簡稱為電流。分布的體電荷以速度v作勻速運動形成1）電流面密度亦稱體電流密度同軸電纜的外導(dǎo)體可視為電流線密度分布高頻電流的集膚效應(yīng)可用電流線密度表示媒質(zhì)表面產(chǎn)生磁化電流可用電流線密度表示工程意義：分布的面電荷在曲面上以速度v運動形成的電流電流是積分量e是垂直于dl，且通過dl與曲面相切的單位矢量n2）電流線密度分布的線電荷沿導(dǎo)線以速度

v運動形成的電流

3）線電流恒定電流場與恒定電場相互依存，電流J與電場E方向一致歐姆定律的微分形式，電路理論中的U=RI由它積分而得4）元電流的概念：元電流是指沿電流方向上一個微元段上的電流1）在各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中，電位移矢量D

線與電流密度J線方向是否一致？2）電流線密度是否成立？

3.1.3歐姆定律的微分形式電場是維持恒定電流的必要條件，可以證明式中：為電導(dǎo)率，單位：西門子/米（S/m)3.1.4焦爾定律的微分形式導(dǎo)電媒質(zhì)中有電流時，必伴隨功率損耗?？梢宰C明:電路中的焦耳定律，可由它積分而得（W）——焦耳定律的積分形式（W/m3

）——焦耳定律的微分形式功率體密度恒定電流的形成3.2電源電勢與局外場強

要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。3.2.1電源電動勢電源內(nèi)部局外場強電源電動勢電源電動勢與有無外電路無關(guān)，是表示電源本身的特征量局外場

Ee

是非保守場考慮局外場強Ee3.2.2電場強度電源電動勢與局外場強在電源極板和導(dǎo)體表面聚集的電荷產(chǎn)生庫侖場強E3.3.1恒定電場的基本方程

3.3恒定電場的基本方程分界面上的銜接條件邊值問題

1.J的散度電荷守恒定律在恒定電場中恒定電場是一個無源場，電流線是連續(xù)的。由高斯散度定理，得故2.E的旋度恒定電場是無源、無旋場。所取積分路徑不經(jīng)過電源恒定電場是無旋場故3.恒定電場（電源外）的基本方程由斯托克斯定理，得折射定律說明：在兩種媒質(zhì)分界面兩側(cè)，電場強度的切向分量是連續(xù)的電流密度的法向分量是連續(xù)的3.3.2分界面的銜接條件分界面上的銜接條件Jc1nJc2nJc1Jc212分界面上的自由面電荷兩種非理想介質(zhì)（導(dǎo)電媒質(zhì)）的分界面上，其介電性質(zhì)σ=D2n-D1n導(dǎo)電性質(zhì)由于由J1n=J2n=2E2n，可得因此即解：

,所以2)由于J1n=J1cos1=1cos45=0.707（A/m2），

所以

1)由于例3-1銅和鋁的電導(dǎo)率分別為1=5.8107S/m和2=3.82107S/m，介電常數(shù)102，銅中J1=1A/m穿過分界面時與法線的夾角1=45求：1）鋁中的J2離開分界面時2=？

2）分界面上的自由電荷密度。1

2J22=？1=45J1兩種特殊情況分界面上的電場分布。由折射定理，得則表明，只要，電流線垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。a)

設(shè)媒質(zhì)1是良導(dǎo)體1=5107s/m

媒質(zhì)2是不良導(dǎo)體2=10-2s/m例3-2

已知鐵1=5×106西門子/米，土壤2=102西門子/米，求：當鐵中電流J1與表面法線的夾角1=895950時，土壤中電流J2與分界面法線夾角。

解:

根據(jù)電流折射定律只要

190，tan1∞，則

tan20，20。因此，可以認為當電流由良導(dǎo)體進入不良導(dǎo)體時與分界面垂直。

當1=895950時，2=8鐵棒土壤土壤表明2導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定面電荷分布b）假設(shè)媒質(zhì)1是導(dǎo)體10

媒質(zhì)2是理想介質(zhì)2=0J112=0J2=0表明1導(dǎo)體內(nèi)電流與表面相切，導(dǎo)體表面是一條電流線介質(zhì)中導(dǎo)體中對于理想導(dǎo)體1

導(dǎo)體內(nèi)部電場為零電流分布在導(dǎo)體表面導(dǎo)體不損耗能量導(dǎo)體周圍介質(zhì)中的電場載流導(dǎo)體表面的電場表明3電場切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。

分界面銜接條件得拉普拉斯方程3.3.3恒定電場的邊值問題常數(shù)很多恒定電場問題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問題）。恒定電場中是否存在泊松方程？例3-3同軸電纜因絕緣不良有泄漏電流求非理想介質(zhì)中的電位函數(shù)、泄漏電流密度J和單位長度的泄漏電流I。U聯(lián)立求解解：不定積分求解得設(shè)外導(dǎo)體r=R2處=0，內(nèi)導(dǎo)體r=R1處=U3.3.4理想介質(zhì)中的恒定電場恒定電場基本方程的微分形式以及拉普拉斯方程與靜電場的無電荷區(qū)相同。D=0E=02=0邊值問題為求解拉普拉斯方程的問題。與靜電場情況不同，一般載流導(dǎo)體不是等位體，導(dǎo)體表面也不是等位面，電位沿電流方向變化。分界面銜接條件E2t=E1t=J1t/1

E2n=D2n/2=/2雙線傳輸線周圍的E線在實際工程中，由于1很大,E1t很小。挨導(dǎo)體表面的E2t，比E2n小得多，往往可以忽略不計。因此，導(dǎo)體表面的邊界條件可認為與靜電場相同，其解答也與相應(yīng)的靜電場問題相同。理想介質(zhì)中有電場，載流導(dǎo)體表面的電場強度不垂直于導(dǎo)線表面。3.4靜電比擬比較電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場

無電荷區(qū)域中的靜電場

兩類場性質(zhì)的基本方程有相似的形式，兩類場的基本物理量也有對應(yīng)關(guān)系。因此，在一定條件下，可以把一種場的計算或?qū)嶒灲Y(jié)果，推廣應(yīng)用與另一種場，這種方法稱為靜電比擬。表1兩種場所滿足的基本方程和重要關(guān)系式

恒定電場（電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中）靜電場

(=0區(qū)域)

3.4.1導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬

兩種場各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過對一個場的求解或?qū)嶒炑芯?，利用對?yīng)量關(guān)系便可得到另一個場的解。表2兩種場對應(yīng)物理量靜電場(=0區(qū)域）恒定電場（電源外導(dǎo)電媒質(zhì)中）EEDJIq3.4.2靜電比擬的條件兩種場的電極形狀、尺寸與相對位置相同（相擬）相應(yīng)電極的電壓相同這兩種場在分界面處折射情況仍然一樣，相擬關(guān)系仍成立。對于具有兩種分片均勻媒質(zhì)的場，若分界面具有相似的幾何形狀，且滿足1.

靜電場便于計算——用靜電比擬方法計算恒定電場3.4.3靜電比擬的應(yīng)用靜電場恒定電場

例如，內(nèi)外半徑分別為R1和R2的同軸電纜，外加電壓U。若內(nèi)外導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，則是靜電場問題；若內(nèi)外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，則是恒定電場問題。若兩者形狀一樣，邊界條件相同，則兩種場具有許多相同之處：兩種場的E線有相同的場圖

兩種場的等位面分布一致

靜電場的D線與恒定電場的J線分布一致

單位長度電容與單位長度電導(dǎo)有對應(yīng)關(guān)系

恒定電場便于實驗

——一些靜電場問題可用恒定電流場實驗?zāi)M固體模擬

(媒質(zhì)為固體，如平行板靜電場造型）實驗?zāi)M方法液體模擬

(媒質(zhì)為液體，如電解槽模擬）靜電場——電極表面近似為等位面工程上的實驗?zāi)M裝置恒定電流場——電極表面近似為等位面

（條件：電極

媒質(zhì)）在兩種場的模擬實驗中，工程上往往采用近擬的邊界條件處理方法工程近似3.5.1電導(dǎo)的計算1.直接用電流場計算當恒定電場與靜電場邊界條件相同時，可用靜電比擬方法，由電容計算電導(dǎo)。3.5電導(dǎo)與接地電阻

2.靜電比擬法設(shè)設(shè)即例3-4扇形導(dǎo)電片電導(dǎo)率為，弧面半徑分別為R1和R2

，兩端平面夾角為

，厚度為h,，求：沿圓弧方向的電導(dǎo)。

U解：導(dǎo)電片內(nèi)滿足2=0，電位只與有關(guān)，簡化為

設(shè)=0處=0，則C2=0；因=處=U，則C1=U/通過不定積分求解，得通解

R2R1

J3.5.2多電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)

有三個及以上的良導(dǎo)體電極組成的系統(tǒng)，任意兩個電極之間的電流不僅要受到它們自身間電壓的影響，還要受到其他電極間電壓的影響。電壓與電流的關(guān)系，不能再僅用一個電導(dǎo)來表示，需要引入部分電導(dǎo)的概念。線性、各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中有（n+1）個電極，它們的電流分別為I0、I1、、Ik、、In，且有關(guān)系I0+I1++Ik++In=0電流與電壓的關(guān)系，用線性方程組表示為

Gkj稱為多電極系統(tǒng)中電極間的部分電導(dǎo)，G10、G20、、Gk0、、Gn0稱為自有部分電導(dǎo)，G12、G23、Gkn、等稱為互有部分電導(dǎo)。部分電導(dǎo)只與電極的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻率有關(guān)，其數(shù)值都是正值，且Gkj=Gjk。在(n+1)個電極組成的多極系統(tǒng)中，共應(yīng)有n(n+1)/2個部分電導(dǎo)。右圖表示三個電極與地之間的6個部分電導(dǎo)。部分電導(dǎo)與靜電場中的部分電容形成相互比擬的關(guān)系。3.5.3接地電阻安全接地與工作接地的概念接地電阻接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此為主）保護接地——為了保護工作人員及電氣設(shè)備的安全而接地；工作接地——以大地為導(dǎo)線或為消除電氣設(shè)備導(dǎo)電部分對地電壓的升高而接地。常把接地體等效為一個半徑為R的導(dǎo)體球電極，并以無限遠處作為零電位點，接地體電位R與接地體電流I的比值，即為接地電阻。1.深埋球形接地器深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區(qū)域的孤立圓球的電流場相似。解法一

直接用電流計算解法二

靜電比擬法深埋球形接地器實際電導(dǎo)即2.直立管形接地器直立管形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法靜電比擬考慮地面的影響應(yīng)用鏡像法處理3.非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器實際電導(dǎo)接地器接地電阻4.淺埋半球形接地器考慮地面的影響可用鏡像法處理淺埋半球形接地器靜電比擬3.4.4跨步電壓

電力系統(tǒng)中的接地體中有大電流通過時，由于存在接地電阻，可能使地面行走的人兩足間的電壓（跨步電壓）很高，超過安全值就會達到致命的危險。假設(shè)半球形接地體的半徑為R，由接地體流入大地的電流為I，則在距球心r遠處的電流密度電場強度BA

j(r)

lr

b

UBA

圖3-15

R

人的兩腳A、B之間的跨步電壓跨步電壓超過安全值，達到對人體危險。實際上直接危及安全的是通過人體的電流。當通過人體的工頻電流超過8mA時，有可能發(fā)生危險，超過30mA時將危及生命。電位許多山區(qū)或周邊環(huán)境比較惡劣的變電站所處位置的土壤電阻率比較大;某些建在城市中的變電站接地系統(tǒng)設(shè)計則受到面積限制。如何在這些土壤電阻率高、接地網(wǎng)水平擴張裕度有限的地區(qū),使變電站地網(wǎng)設(shè)計能夠確保設(shè)備及人身安全則是許多人都關(guān)心的問題。為保護人畜安全,可取危險電壓U0=40V電力系統(tǒng)接地體附近要注意危險區(qū)！則，危險區(qū)半徑以淺埋半球接地器為例基本物理量J歐姆定律基本方程電位邊界條件一般解法靜電比擬電導(dǎo)與接地電阻J

的散度E的旋度邊值問題恒定電場的知識結(jié)構(gòu)框圖接地電阻就是電流由接地裝置流入大地再經(jīng)大地流向另一接地體或向遠處擴散所遇到的電阻，它包括接地線和接地體本身的電阻、接地體與大地的電阻之間的接觸電阻以及兩接地體之間大地的電阻或接地體到無限大遠處的大地電阻。

通信局、站接地系統(tǒng)多采用聯(lián)合接地方式，該接地系統(tǒng)主要有接地體、接地匯集線、接地連接線等幾部分組成。接地系統(tǒng)的接地電阻每年應(yīng)定期測量，始終保持接地電阻符合指標要求。接地電阻的規(guī)定在1000v以下中性點直接接地系統(tǒng)中，接地電阻Rd小于或等于4歐，重復(fù)接地電阻小于或等于10歐。電壓1000V以下的中性點不接地系統(tǒng)中，一般規(guī)定接地電阻Rd為4歐。根據(jù)實際安裝經(jīng)驗，在路燈照明系統(tǒng)接地電阻Rd應(yīng)小于或等于4歐。接地電阻的測定

接地電阻的測定有多種方法，如利用接地電阻測量儀，電流—電壓表法等，其基本方法是測出被接地體至“地”電位之間的電壓和流過被測接地體的電流，而后標出電阻值。變壓器接地電阻柜返回富蘭克林的風箏試驗1752年6月的一