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通信原理電子教案廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院2012年9月《通信原理》電子教案授課班級(jí):通信1103班、通信1104班授課教師:廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院梁能第二章隨機(jī)過(guò)程
--本章是本書的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
2.1引言
2.2隨機(jī)過(guò)程的一般表述
2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程
2.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度
2.5高斯過(guò)程
2.6窄帶隨機(jī)過(guò)程
2.7正弦波加窄帶隨機(jī)過(guò)程
2.8隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2.1引言
通信過(guò)程是信號(hào)和噪聲通過(guò)通信系統(tǒng)的過(guò)程,分析與研究通信系統(tǒng),總是離不開對(duì)信號(hào)和噪聲的分析。●
隨機(jī)信號(hào):通信系統(tǒng)中的信號(hào)通??値撤N隨機(jī)性。不可預(yù)測(cè),不能用確定函數(shù)表示的信號(hào)?!耠S機(jī)噪聲:通信系統(tǒng)必然遇到噪聲。不可預(yù)測(cè)(熱噪聲)。簡(jiǎn)稱噪聲。●隨機(jī)過(guò)程:從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看,隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過(guò)程。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的理論可以運(yùn)用到隨機(jī)信號(hào)和噪聲分析中來(lái)。2.2隨機(jī)過(guò)程的一般表述
2.2.1概念及定義
考察:
假設(shè)有無(wú)數(shù)臺(tái)性能相同的接收機(jī),在同樣條件下不加信號(hào)測(cè)試其輸出。
得到一系列噪聲波形ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、...、ξn(t)、...。理想時(shí),波形應(yīng)一致,但實(shí)際不然,找不到兩個(gè)完全相同的波形。討論:●每一條曲線ξi(t)都是一個(gè)隨機(jī)起伏的時(shí)間函數(shù)--隨機(jī)函數(shù)?!駸o(wú)窮多個(gè)隨機(jī)函數(shù)的總體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱作隨機(jī)函數(shù)的總集--隨機(jī)過(guò)程ξ(t)
?!衩恳粭l曲線ξi(t)都是隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)/樣本?!裨谀骋惶囟〞r(shí)刻t1觀察各臺(tái)接收機(jī)的輸出噪聲值ξ(t1)
,發(fā)現(xiàn)他們的值是不同的--是一個(gè)隨機(jī)量(隨機(jī)變量)。概括:
隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的含義/屬性有兩點(diǎn):(1)ξ(t)是t
的函數(shù);(2)ξ(t)在任一時(shí)刻t1上的取值ξ(t1)不是確定的,是一個(gè)隨機(jī)變量。即每個(gè)時(shí)刻上的函數(shù)值是按照一定的概率分布的。概率論:隨機(jī)變量分析--分布函數(shù)和概率密度2.2.2隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特征1.分布函數(shù)和概率密度(1)一維描述
●一維分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)任一時(shí)刻t1
的取值是隨機(jī)變量ξ(t1),則隨機(jī)變量ξ(t1)小于等于某一數(shù)值x1的概率
F1(x1,t1)=P[ξ(t1)
≤x1]
(2.2.1)叫做隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的一維分布函數(shù)。
●一維概率密度函數(shù)
若一維分布函數(shù)對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)存在,則
叫做隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的一維概率密度。
(2)二維描述--隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系
●二維分布函數(shù)
若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)在時(shí)刻
t1
的取值是隨機(jī)變量ξ(t1),而在時(shí)刻t2的取值是隨機(jī)變量ξ(t2),則ξ(t2)與ξ(t2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量[ξ(t1),ξ(t2)],稱
F2(x1,x2;t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1;ξ(t2)≤x2]為隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的二維分布函數(shù)?!穸S概率密度函數(shù)若二維分布函數(shù)對(duì)x1和x2二階偏導(dǎo)數(shù)存在,則叫做隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的二維概率密度?!裢恚梢远x隨機(jī)過(guò)程的多維分布函數(shù)及多維概率密度分別為:統(tǒng)計(jì)獨(dú)立
對(duì)于任何n個(gè)隨機(jī)變量ξ(t1),ξ(t2),...,ξ(tn),如果下式成立
fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)
=f1(x1,t1)f2(x2,t2)...fn(xn,tn)則稱這些變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,否則就是不獨(dú)立的或相關(guān)的。意義:
●可以把隨機(jī)過(guò)程ξ(t)當(dāng)作一個(gè)多元的隨機(jī)變量來(lái)看待,而用這個(gè)多元隨機(jī)變量ξ(t1),ξ(t2),...,ξ(tn)的分布函數(shù)或概率密度來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。
●顯然,n越大,對(duì)隨機(jī)過(guò)程的描述越充分。2.數(shù)字特征引言●問(wèn)題:隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)(或概率密度)族能夠完善地刻畫隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。但實(shí)際中:難;不必?!翊胧河秒S機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征來(lái)描繪隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性,更簡(jiǎn)單方便?!穹椒ǎ呵箅S機(jī)過(guò)程數(shù)字特征的方法有“統(tǒng)計(jì)平均”和“時(shí)間平均”兩種。統(tǒng)計(jì)平均:
對(duì)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)某一特定時(shí)刻不同實(shí)現(xiàn)的可能取值ξ(ti)--隨機(jī)變量
,用統(tǒng)計(jì)方法得出的種種平均值叫統(tǒng)計(jì)平均。時(shí)間平均:對(duì)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的某一特定實(shí)現(xiàn)ξi(t)
,用數(shù)學(xué)分析方法對(duì)時(shí)間求平均得出的種種平均值叫時(shí)間平均。(一)統(tǒng)計(jì)平均1.均值隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)刻t的取值所組成隨機(jī)變量ξ(t)的均值稱為隨機(jī)過(guò)程的均值,也稱為統(tǒng)計(jì)平均或數(shù)學(xué)期望。即注:t1→t,x1→x
物理意義:均值代表隨機(jī)過(guò)程的擺動(dòng)中心。2.均方值
隨機(jī)變量ξ(t)的二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的均方值。--相對(duì)于橫軸的振動(dòng)程度
。3.方差
隨機(jī)變量ξ(t)的二階中心矩稱為隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的方差。--相對(duì)于均值的振動(dòng)程度
。4.協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)--隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)刻取值之間的相互關(guān)系
衡量隨機(jī)過(guò)程ξ(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2上獲得的隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)特性時(shí),常用協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)來(lái)表示。(1)相關(guān)函數(shù)
ξ(t1)和ξ(t2)的二階原點(diǎn)混合矩稱為隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的相關(guān)函數(shù)。(2)協(xié)方差函數(shù)(3)協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系稱為隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的協(xié)方差。(3)協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系顯然,有以上兩式可得
B(t1,t2)=R(t1,t2)-E[ξ(t1)]E[ξ(t2)](2.2.7)若E[ξ(t1)]或E[ξ(t2)]為零,則
B(t1,t2)=R(t1,t2)
這里的R(t1,t2)及B(t1,t2)由于是衡量同一過(guò)程的相關(guān)程度,因此又常分別稱為自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)。
(2)協(xié)方差函數(shù)ξ(t1)和ξ(t2)的二階中心混合矩5.互協(xié)方差與互相關(guān)函數(shù)--不同隨機(jī)過(guò)程間的關(guān)系(1)互相關(guān)函數(shù)
設(shè)ξ(t)與η(t)分別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程,則互相關(guān)函數(shù)定義為
Rξη(t1,t2)=E[ξ(t1)η(t2)]
如果兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)為零,即下列條件成立
Rξη(t1,t2)=0
則稱它們是不相關(guān)的---正交的隨機(jī)過(guò)程。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程是不相關(guān)的。(2)互協(xié)方差互協(xié)方差定義為
Bξη(t1,t2)=E{ξ(t1)-a(t1)]E[η(t2)]--a(t2)]}
若
Bξη(t1,t2)=0
則兩個(gè)過(guò)程是不相關(guān)的。(二)時(shí)間平均
--非周期函數(shù)平均值1.平均值(或直流分量)
設(shè)ξi(t)是隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的一個(gè)典型的樣本函數(shù),則樣本函數(shù)的時(shí)間平均為注:結(jié)果與時(shí)間無(wú)關(guān),為常數(shù)。2.均方值(或總平均功率)3.方差(或交流功率)4.自相關(guān)函數(shù)
樣本函數(shù)ξi(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程
2.3.1定義
1.狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程
假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程ξ(t),如果它的任何n維分布或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān),即對(duì)于任意的t和τ,隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的n
維概率密度函數(shù)滿足
fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)
=fn(x1,x2,...,xn;t1+τ,t2+τ,...,tn+τ) (2.2.2)則稱ξ(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。顯見,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有如下特點(diǎn):■統(tǒng)計(jì)特性將不隨時(shí)間的推移而不同。它的一維分布與t無(wú)關(guān),二維分布僅與時(shí)間間隔τ有關(guān)?!鰯?shù)字特征變得“平穩(wěn)”、簡(jiǎn)單: 數(shù)學(xué)期望與
t無(wú)關(guān):a(t)=a
;
自相關(guān)函數(shù)只與τ有關(guān):R(t1,t1+τ)=R(τ)。fn(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)
=fn(x1,x2,...,xn;t1+τ,t2+τ,...,tn+τ) 2.廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程
一隨機(jī)過(guò)程ξ(t),如果它滿足:
(1)數(shù)學(xué)期望與t無(wú)關(guān),即:a(t)=a
;
(2)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān),即:
R(t1,t1+τ)=R(τ)。則稱ξ(t)是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。意義:●平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性--十分有趣,非常有用。●通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)與噪聲,大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。
則說(shuō)ξ(t)為具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.。
2.各態(tài)歷經(jīng)的含義
隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)(樣本函數(shù)),都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有的可能狀態(tài)。3.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的特點(diǎn)--好處
任何一個(gè)實(shí)現(xiàn)都能代替整個(gè)隨機(jī)過(guò)程。給實(shí)際測(cè)量、分析計(jì)算帶來(lái)極大方便。2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性1.各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程
假設(shè)ξ(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,如果有下列式子成立2.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)
(1)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性,如數(shù)字特征等,可通過(guò)相關(guān)函數(shù)來(lái)描述;(2)相關(guān)函數(shù)揭示了隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性。1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)
設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,相關(guān)函數(shù)
R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]具有如下性質(zhì):(1)R(0)=E[ξ2(t)]=s---ξ(t)的平均功率。(2)R(τ)=R(-τ) ---R(τ)是偶函數(shù)。(3)
|R(τ)|≤R(0) ---R(τ)的上界。(4) R(∞)=E2[ξ(t)]=a2
---ξ(t)的直流功率。(5) R(0)-R(∞)=σ2
----方差,ξ(t)的交流功率。(3) |R(τ)|≤R(0)---R(τ)
的上界。證:由于E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2≥0
從而
E[ξ(t)±ξ(t+τ)]2
=E[ξ2(t)+ξ2(t+τ)±2ξ(t)ξ(t+τ)] =E[ξ2(t)]+E[ξ2(t+τ)]±2E[ξ(t)ξ(t+τ)];----平穩(wěn)
=2R(0)±2R(τ)≥0
所以,得R(0)≥±R(τ)
即 |R(τ)|≤R(0)(4) R(∞)=E2[ξ(t)]=a2
---ξ(t)的直流功率。證:注:這里利用了當(dāng)τ→∞時(shí)ξ(t)與ξ(t+τ)變得沒(méi)有依賴關(guān)系,即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,且認(rèn)為ξ(t)不含有周期分量。(5) R(0)-R(∞)=σ2
----方差,ξ(t)的交流功率。證:
由D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2
=E[ξ2(t)-2ξ(t)E[ξ(t)]+E2[ξ(t)]} =E[ξ2(t)]-E2[ξ(t)]=R(0)-a2
得σ2=R(0)-R(∞)2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)的關(guān)系
---相關(guān)函數(shù)R(τ)的又一重要性質(zhì)。
設(shè):ξ(t)平穩(wěn),R(τ)絕對(duì)可積則簡(jiǎn)記為:Pξ(ω)←→R(τ)意義:平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉關(guān)系。證:分三步來(lái)考慮:(1)
對(duì)于任一確知能量信號(hào)f(t),根據(jù)瑞利能量定理,有(2)
假設(shè)f(t)為時(shí)間無(wú)限信號(hào)(功率信號(hào)),若用fT(t)代表f(t)在-T/2<t<T/2區(qū)間上的短截函數(shù),即只要T為有限值fT(t)就具有有限的能量,即若 FT(ω)←→fT(t),則根據(jù)瑞利定理:根據(jù)平均功率的定義:當(dāng)T→∞時(shí),︱lFT(ω)l2/T趨于一個(gè)極限,并將其定義為功率譜密度,用符號(hào)Ps(ω)表示,即單位為瓦/赫。因此信號(hào)的平均功率可寫成(3)某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度,不能作為過(guò)程的功率譜密度。應(yīng):過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是每一可能實(shí)
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