第三章-二維隨機變量及其概率分布

第三章二維隨機變量及其概率分布二維隨機變量及其分布函數(shù)二維離散型隨機變量及其分布律二維連續(xù)型隨機變量二維隨機變量的邊緣分布與條件分布從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量.它是第二章內容的推廣.3.1二維隨機變量及其分布函數(shù)

3.1.1多維隨機變量到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述.在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.飛機的重心在空中的位置是由三個r.v(三個坐標)來確定的等等.一般地,如果向量的值由隨機試叫做維隨機向量或維隨機變量.

以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照.驗結果而定，則稱X的分布函數(shù)一維隨機變量如果對于任意實數(shù)二元函數(shù)稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。定義1設是二維隨機變量,3.1.2二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)將二維隨機變量看成是平面上隨機點的坐標,那么,分布函數(shù)在點處的函數(shù)值就是隨機點落在下面左圖所示的,以點為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內的概率.分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋隨機點落在矩形域內的概率為4.k=1,2,…離散型一維隨機變量XX的分布律k=1,2,…定義2的值是有限對或可列無限多對,是離散型隨機變量.則稱設二維離散型隨機變量可能取的值是記如果二維隨機變量全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律。3.2二維離散型隨機變量也可用表格來表示隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律.二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律具有性質解例1：一口袋中有三個球，它們依次標有數(shù)字1、2、2，無放回取球兩次，以X、Y分別記第一次、第二次取得的球上標有的數(shù)字，寫出(X,Y)的聯(lián)合概率分布。所以(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為：設X及Y

分別是取出的4件產(chǎn)品中一等品及二等品的件數(shù)，則有聯(lián)合概率函數(shù)：2

i+j

4.

解:其中i=

0、1、2、3；j=

0、1、2、3、4；10件產(chǎn)品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。從例2：中任取4件，求其中一等品、二等品件數(shù)的二維概率分布。由此得(X,Y)的二維聯(lián)合概率分布如下：000300200100043210XY

例3設事件A，B滿足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2，P(B|A)=1/2.記X，Y分別為一次試驗中A，B發(fā)生的次數(shù)，求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P{X=0,Y=0}P{X=0,Y=1}

=1/8P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8P{X=1,Y=0}P{X=1,Y=1}=1/8故聯(lián)合分布律為：函數(shù)稱為二維一維連續(xù)型隨機變量XX的概率密度函數(shù)定義3對于二維隨機變量的分布函數(shù)則稱是連續(xù)型的二維隨機變量,（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù),隨機變量3.3二維連續(xù)型隨機變量存在非負的函數(shù)如果任意有使對于或聯(lián)合概率密度.（X,Y）的聯(lián)合概率密度的性質:在f(x,y)的連續(xù)點,常見兩種分布：1.均勻分布：設A是xoy平面上的區(qū)域，其面積為若（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：則稱(X,Y)服從A上的均勻分布。2.二維正態(tài)分布：若(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布。記為二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關于

X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機一、邊緣分布函數(shù)3.4二維隨機變量的邊緣分布與條件分布一般地，對離散型

r.v(X,Y)，則

(X,Y)關于X的邊緣分布律為X和Y的聯(lián)合分布律為二、二維離散型隨機變量的邊緣分布同理，(X,Y)關于Y的邊緣分布律為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律與邊緣分布.例2將兩封信隨機的往編號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四個郵筒內投。解：試驗共有16種可能結果，且R.V.的可能取值為0，1，2，于是可得：

對連續(xù)型

r.v(X,Y)，X和Y的聯(lián)合概率密度為三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布則

(X,Y)關于X的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

同理，

(X,Y)關于Y的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.四、條件分布例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.1、離散型隨機變量的條件分布實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.

定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj

}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律.P{X=xi|Y=yj

}=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質.正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質.例如：i=1,2,…解依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.首次擊中目標時射擊了m次.n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

例1

一射手進行射擊，擊中目標的概率射擊進行到擊中目標兩次為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.{X=m}表(n=2,3,…;m=1,2,…,n-1)由此得X和Y的聯(lián)合分布律為不論m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都應等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為pP{X=m,Y=n}=？為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布律是：(m=1,2,…)Y的邊緣分布律是：(n=2,3,…)于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，2、連續(xù)型隨機變量的條件分布設(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.

設X和Y的聯(lián)合概率密度為關于的邊緣概率密度為,

則稱為在的條件下的條件概率密度.記為稱為在的條件下,的條件分布函數(shù).記為定義2若對于固定的,即類似地,可以定義例2