第三講：風(fēng)險(xiǎn)厭惡

風(fēng)險(xiǎn)厭惡

熊和平

2012年秋季一、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡有多種定義方法，這里利用效用函數(shù)定義——給定財(cái)富水平和效用函數(shù)，定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡。如下述定義：定義：如果投資者不喜歡任何零均值（即公平博弈）彩票，則稱其為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。效用函數(shù)的凸凹性與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度緊密相連定義:凹性Afunctionf:R→Risconcaveiff:px+(1-p)yf(EX)Ef(X)xy凹函數(shù)的定義定義：稱函數(shù)

f:R→R為凹函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與凸凹性有關(guān)，如果效用函數(shù)為凹的則風(fēng)險(xiǎn)厭惡；反之凸效用函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)喜好；直線為風(fēng)險(xiǎn)中性。定理：如果凸的連續(xù)偏好表示為上述的期望效用函數(shù)，那么相應(yīng)的效用函數(shù)是凹的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義基于公平博弈的定義：定義：記為一個(gè)不確定的支付。如果，則稱為一個(gè)公平博弈。風(fēng)險(xiǎn)厭惡：稱效用函數(shù)的參與者是（嚴(yán)格）風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，如果定理：當(dāng)且僅當(dāng)u(.)是（嚴(yán)格）凹函數(shù)時(shí)，參與者是（嚴(yán)格）風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。Anagentisrisk-averseifhedislikesallzero-meanriskatallwealthlevels(Gollier2001)

zero-meanrisk=fairgamble基于效用函數(shù)的定義：風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的定義：若對于風(fēng)險(xiǎn)投資投資者滿足：風(fēng)險(xiǎn)厭惡風(fēng)險(xiǎn)偏愛風(fēng)險(xiǎn)中性RiskaversionAnagentisrisk-averseifandonlyifhisutilityfunctionisconcave,i.e.,iffu′′isnegative.Example:u(w)=ln(w).Jenseninequality例子：

100元（概率為3/4）

L-40元（概率為1/4）

E(L)=100×3/4+(-40)×1/4=65元選L而不是65元E(u(L))>u(E(L))

選65而不是LE(u(L))<u(E(L))

對兩者的態(tài)度相同

E(u(L))=u(E(L))二、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量通常我們假設(shè)所有經(jīng)濟(jì)人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，接下來我們希望知道如何量化風(fēng)險(xiǎn)厭惡，從而能夠比較不同參與者或同一參與者在不同情況時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的圖象：

u(.)

風(fēng)險(xiǎn)厭惡

風(fēng)險(xiǎn)中性

風(fēng)險(xiǎn)偏愛

W風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量：圖形分析v(x0)v(x1)v-1(E{v(x)})E{v(x)}E{x}x0x1xv(x)風(fēng)險(xiǎn)厭惡及其度量：

兩種風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量方法;

Markowtz度量—風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

確定性等價(jià)（certaintyequivalent)

風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（riskpremium)

具體地：Arrow-Pratt度量：Arrow-Pratt度量：風(fēng)險(xiǎn)容忍系數(shù)（absoluterisktolerance)兩種方法的比較：例子（Copeland）：某人具有對數(shù)效用函數(shù)，初始財(cái)富為$20,000面臨兩種風(fēng)險(xiǎn)決策：（1）

50%$10A50%-$10(2)80%-$1,000B20%-$10,000Arrow-Pratt度量Markowtz度量

請問你有何結(jié)論？回到王江教材絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡：

確定性等價(jià)：一個(gè)參與者與一個(gè)公平博弈所要求的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，定義為：

在小風(fēng)險(xiǎn)博弈下泰勒展開得到絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡：

相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡：考慮如下以總財(cái)富為基數(shù)的博弈和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)：這里，博弈的盈虧為，與總財(cái)富成比例展開得風(fēng)險(xiǎn)厭惡的例子線性或風(fēng)險(xiǎn)中性效用：負(fù)指數(shù)效用函數(shù)：平方效用函數(shù)：冪指數(shù)效用函數(shù)：風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較：定義：稱u1

比

u2

更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)若在任何財(cái)富水平下前者不喜歡（dislikes）所有后者覺得無差異的彩票:

foranyX,w0:Eu2(w0+X)=u2(w0)

Eu1(w0+X)≤

u1(w0).NSC:三、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較Moreriskaversion主要結(jié)論定理：下面的命題是等價(jià)的：1、2、是凹的；3、使得4、對所有的w和公平博弈成立遞減的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡【Decreasingabsoluteriskaversion(DARA)】Itiswidelyacceptedthatpisadecreasingfunctionofw0.ThisistrueifandonlyifA(w0)isdecreasinginw0.DARAisequivalentto:其他概念絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增（IARA）相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減(DRRA)相對風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增(IRRA)四、典型的效用函數(shù)(靜態(tài))CARA:u(z)=-exp(-Az);A(z)=ACRRA:u(z)=z1-g/1-g;A(z)=g/zLN:u(z)=ln(z)A(z)=1/zQuad:u(z)=cz-0.5z2;A(z)=(c-z)-1TheyallbelongtotheHARAfamily:二次效用函數(shù)：CARA或指數(shù)效用函數(shù)：CRRA效用函數(shù)：HARA（hyperbolicabsoluteriskaversion)效用函數(shù)：

CRRACARA度量你的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度假定你當(dāng)前財(cái)富為100，面臨50%-50%機(jī)會獲得或失去財(cái)富的

a%.你愿意支付多少來消除該風(fēng)險(xiǎn)?假定CRRA+estimategfromaboveeq.

EstimationofrelativeRA典型的效用函數(shù)(動態(tài))最簡單情形：跨時(shí)可加

或跨時(shí)依賴：habitformation(見Chan&Kogan，2002）spiritofofcapitalism(Bakshi&Chen1996）遞歸效用[Epstein和Zin（1989、1991）]參考文獻(xiàn)：Machina,M.1987.Choiceunderuncertainty:problemssolvedandunsolved.JournalofEconomicPerspectives1:281-296ChrisStarmer.2000.Developmentsinnon-expectedutilitytheory: