統(tǒng)計(jì)4.2-區(qū)間估計(jì)

概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（Ⅱ）2009年4月山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1第四章參數(shù)估計(jì)§4.3區(qū)間估計(jì)2山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第四章參數(shù)估計(jì)§4.3.1置信區(qū)間與置信度§4.3.2單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)及置信區(qū)間§4.3.3單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)及置信區(qū)間§4.3.4大樣本置信區(qū)間§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間§4.3.6兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間如果是未知參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，那么一旦獲得樣本的觀測(cè)值，估計(jì)值就能給人們一個(gè)明確的數(shù)量概念，非常直觀。但其缺陷是不能給出估計(jì)的精確度和誤差的范圍。為了彌補(bǔ)這一不足，人們提出了另一種估計(jì)方法——區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)要求根據(jù)樣本給出未知參數(shù)的一個(gè)范圍，并保證參數(shù)的真值以指定的較大的概率屬于這個(gè)范圍。點(diǎn)估計(jì)的特點(diǎn)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院3第四章參數(shù)估計(jì)§4.3.1置信區(qū)間與置信水平山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院4第四章參數(shù)估計(jì)設(shè)總體X含有一個(gè)待定的未知參數(shù).如果我們從樣本x1,x2,

xn

出發(fā),找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量1=1(x1,x2,

xn)與2=2(x1,x2,

xn),(1<

2),使得區(qū)間[1,2]以1-(0<<1)的概率包含這個(gè)待估參數(shù),即那么稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間[1,2]是的一個(gè)置信度為1-的置信區(qū)間.置信度也稱(chēng)作置信水平.說(shuō)明：第四章參數(shù)估計(jì)5山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院總體的參數(shù)雖然未知，但它是某個(gè)常數(shù)，而樣本是隨機(jī)抽取的，每次取得的樣本值x1,x2,

xn也不盡相同，由此確定的區(qū)間[1,2]是隨機(jī)的，每個(gè)這樣的區(qū)間可能包含也可能不包含的真值。置信度1-是給出區(qū)間[1,2]包含真值的可靠程度，而表示區(qū)間[1,2]不包含真值的可能性大小。例如,=0.05,則置信度為0.95，這時(shí)重復(fù)抽樣100次，則在得到的100個(gè)區(qū)間中包含真值的有95個(gè)左右，不包含真值的僅有5個(gè)左右。通常在生產(chǎn)和科研中往往取95%的置信度，也取99%或90%的置信度。一般來(lái)說(shuō)，在樣本容量一定的情況下，置信度越高，置信區(qū)間就越長(zhǎng)，換句話(huà)說(shuō)，希望置信區(qū)間的可靠性越大，估計(jì)的范圍也就越大，反之亦然。例：第四章參數(shù)估計(jì)6山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院設(shè)總體X~N(

2)

2已知

未知

(X1

Xn)為來(lái)自X的樣本試求的1置信區(qū)間

樞軸量求未知參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟第四章參數(shù)估計(jì)7山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院以下討論單個(gè)正態(tài)總體的兩個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)§4.3.2單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)第四章參數(shù)估計(jì)8山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(1)方差

2已知的情形根據(jù)上例在

2已知的條件下

的1置信區(qū)間為

（1）例：第四章參數(shù)估計(jì)9山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院已知幼兒的身高在正常情況下服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某一幼兒園5歲到6歲的幼兒中隨機(jī)地抽查了9人,其高度分別為115,120,131,115,109,115,115,105,110cm。假設(shè)5至6歲幼兒身高總體的標(biāo)準(zhǔn)差=7,在置信度為95%的條件下,試求出總體均值的置信區(qū)間.解:已知0=7,n=9,=0.05.由樣本算得由正態(tài)分布數(shù)值表知由(1)式知,在置信度為95%下的置信區(qū)間為

§4.3.2單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)第四章參數(shù)估計(jì)10山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(2)方差

2未知的情形在

2未知的情況下

的1置信區(qū)間為

（2）當(dāng)總體方差未知時(shí)，我們需要用樣本方差來(lái)代替，根據(jù)下式即得。

從剛生產(chǎn)出的一大堆鋼珠中隨機(jī)抽取10個(gè),測(cè)量它們的直徑(單位:mm),并求得其樣本均值樣本方差s2=0.252.試求置信度為95%的的置信區(qū)間.(假設(shè)鋼珠直徑XN(,2))解已知n=10,=0.05,由t分布數(shù)值表知t(9,0.05)=2.262.由(2)式知,在置信度為95%下的置信區(qū)間為：

山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院11第四章參數(shù)估計(jì)例

§4.3.3單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)第四章參數(shù)估計(jì)12山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在未知時(shí)

2的1置信區(qū)間為

（3）標(biāo)準(zhǔn)差的1置信區(qū)間為

試求上例中2的置信區(qū)間,置信度為95%.解已知n=10,=0.05,由2分布數(shù)值表知

2(9,0.975)=2.70,2(9,0.025)=19.0,由(3)式知,2

在置信度為95%的置信區(qū)間為：山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13第四章參數(shù)估計(jì)例

§4.3.4大樣本置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)14山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在樣本容量充分大時(shí)，可以用漸進(jìn)分布來(lái)構(gòu)造近似的置信區(qū)間。以下是關(guān)于比例p的置信區(qū)間。設(shè)X1

Xn為來(lái)自?xún)牲c(diǎn)分布b(1,p)的樣本試求p的1置信區(qū)間。由中心極限定理知同前方法，解方程得p的置信區(qū)間為：省略無(wú)窮小量§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)15山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(1)方差已知時(shí)§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)16山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(2)方差未知時(shí)§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)17山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(3)方差已知時(shí)§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)18山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(4)當(dāng)m和n都很大時(shí)的近似置信區(qū)間§4.3.5兩正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)19山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(4)一般情形下的近似置信區(qū)間§4.3.6兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間第四章參數(shù)估計(jì)20山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院參數(shù)估計(jì)圖表（小結(jié)）21山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第四章參數(shù)估計(jì)