第7章力法-李廉錕(第4版)

第七章力法§7-2超靜定次數(shù)的確定§7-3力法的基本概念§7-4力法的典型方程§7-6對(duì)稱性的利用§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算§7-8最后內(nèi)力圖的校核§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱§7-12兩鉸拱及系桿拱§7-5

力法的計(jì)算步驟和示例§7-1概述§7-13超靜定結(jié)構(gòu)的特性超靜定結(jié)構(gòu)：具有多余約束的結(jié)構(gòu)。幾何特征：具有多余約束的幾何不變體系。

靜力特征：反力和內(nèi)力不能僅由平衡條件全部解出。一、超靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征和幾何特征§7-1概述§7-1概述圖a所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。其幾何構(gòu)造特征是具有一個(gè)多余聯(lián)系。多余未知力：多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力。如圖b中的X1?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯(lián)系。

圖a所示桁架僅由平衡條件無法確定桿件內(nèi)力。其幾何構(gòu)造特征是具有兩個(gè)多余聯(lián)系?？蓪筛睏U作為多余聯(lián)系如圖b。思考：多余約束是多余的嗎？從幾何角度與結(jié)構(gòu)的受力特性和使用要求兩方面討論。

超靜定結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)為:1.內(nèi)力分布均勻2.抵抗破壞的能力強(qiáng)§7-1概述二、超靜定結(jié)構(gòu)的類型超靜定梁超靜定剛架超靜定拱兩鉸拱

無鉸拱§7-1概述超靜定桁架超靜定組合結(jié)構(gòu)§7-1概述遵循同時(shí)考慮“變形、本構(gòu)、平衡”分析超靜定問題的思想，可有不同的出發(fā)點(diǎn)：

以力作為基本未知量，在自動(dòng)滿足平衡條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，這時(shí)主要應(yīng)解決變形協(xié)調(diào)問題，這種分析方法稱為力法。三、超靜定結(jié)構(gòu)求解方法概述1.力法----以多余約束力作為基本未知量基本未知量：當(dāng)它確定后，其它力學(xué)量即可完全確定。--關(guān)鍵量

§7-1概述

以位移作為基本未知量，在自動(dòng)滿足變形協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上來分析，當(dāng)然這時(shí)主要需解決平衡問題，這種分析方法稱為位移法。

如果一個(gè)問題中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考慮位移協(xié)調(diào)，位移的部分考慮力的平衡，這樣一種分析方案稱為混合法。2.位移法----以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量3.混合法----以結(jié)點(diǎn)位移和多余約束力作為基本未知量§7-1概述4.力矩分配法----近似計(jì)算方法

位移法的變體，便于手算，不用解方程。5.結(jié)構(gòu)矩陣分析法----有限元法.以上各種方法共同的基本思想:4.

消除差別后，改造后的問題的解即為原問題的解。3.

找出改造后的問題與原問題的差別；2.

將其化成會(huì)求解的問題；

1.

找出未知問題不能求解的原因；適用于電算

§7-1概述§7-1概述求解超靜定結(jié)構(gòu)的條件（1）平衡條件：受力狀態(tài)滿足平衡方程（2）幾何條件：結(jié)構(gòu)的變形和位移符合支承約束條件和各部件之間的變形連續(xù)條件（3）物理?xiàng)l件：變形或位移與力之間的物理關(guān)系超靜定次數(shù)：多余約束（聯(lián)系）或基本未知力的個(gè)數(shù)。一、概念

二、確定方法

1）由計(jì)算自由度確定2）去約束法

將多余約束去掉，使原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)。

？從靜力分析看：超靜定次數(shù)=多余未知力的數(shù)目從幾何構(gòu)造看：超靜定次數(shù)=多余聯(lián)系的數(shù)目§7-2超靜定次數(shù)的確定（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系?！?-2超靜定次數(shù)的確定（2）拆開一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉兩個(gè)聯(lián)系。（3）切開一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，或去掉一個(gè)固定端，相當(dāng)于去掉三個(gè)聯(lián)系。（4）剛結(jié)改為單鉸聯(lián)結(jié)，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。（5）固定端改為滑動(dòng)支座，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。§7-2超靜定次數(shù)的確定（6）固定端改為可動(dòng)鉸支座，

相當(dāng)于去掉兩個(gè)聯(lián)系。（7）滑動(dòng)支座改為可動(dòng)鉸支座，

相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系?！?-2超靜定次數(shù)的確定圖a所示結(jié)構(gòu)，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結(jié)處后，得到圖b所示靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖c、d所示靜定結(jié)構(gòu)3）框格法一個(gè)封閉無鉸框格

個(gè)封閉無鉸框格§7-2超靜定次數(shù)的確定若有鉸

—

單鉸數(shù)，則

§7-2超靜定次數(shù)的確定21次超靜定§7-2超靜定次數(shù)的確定16次超靜定9次超靜定1.力法基本思路待解的未知問題

原（一次超靜定）結(jié)構(gòu)1)、去掉多余約束代之以多余未知力，將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化一個(gè)在荷載和未知力共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)(基本體系)?；倔w系力法基本未知量去掉余約束代之以多余未知力，得到基本體系?！?-3力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移協(xié)調(diào)方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原結(jié)構(gòu)的B是剛性支座,該點(diǎn)的豎向位移是零。即原結(jié)構(gòu)在的X1位移為：

位移協(xié)調(diào)條件：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載

q

和多余力X1共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。變形條件

在變形條件成立條件下,基本體系的內(nèi)力和位移與原結(jié)構(gòu)等價(jià).§7-3力法的基本概念超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

基本結(jié)構(gòu)（懸臂梁）

對(duì)靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力、位移計(jì)算，已經(jīng)很掌握。

§7-3力法的基本概念

在荷載作用下B點(diǎn)產(chǎn)生向下的位移為⊿1P,未知力的作用將使B點(diǎn)產(chǎn)生的向上的位移為⊿11。

要使體系的受力情況與原結(jié)構(gòu)一樣,則必須B的位移也與原結(jié)構(gòu)一樣，要求：位移協(xié)調(diào)條件Δ1=Δ11+Δ1P=0

(a)

Δ1P——基本結(jié)構(gòu)由荷載引起的豎向位移

Δ11

——基本結(jié)構(gòu)由未知力引起的豎向位移§7-3力法的基本概念力法基本方程可寫為§7-3力法的基本概念δ11—表示X1=1時(shí)，B點(diǎn)沿X1方向的位移，Δ11=δ11X1。

11+1P=0

繪出基本結(jié)構(gòu)在X1=1、荷載q作用下的彎矩圖，如圖a、b。自乘—

位移系數(shù)互乘—

廣義荷載位移將δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、將求出的多余未知力作用于基本結(jié)構(gòu)，用疊加法即可求出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。§7-3力法的基本概念

2.幾個(gè)概念

力法的基本未知數(shù):超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的未知約束力,即超靜定次數(shù)。

力法的基本結(jié)構(gòu):把原超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束去掉,所得到的靜定結(jié)構(gòu)就稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。

力法的基本體系:在基本結(jié)構(gòu)上加上外荷載及多余約束力，就得到了基本體系。

力法的基本方程:根據(jù)原結(jié)構(gòu)已知變形條件建立的力法方程。對(duì)于線性變形體系，應(yīng)用疊加原理將變形條件寫成顯含多余未知力的展開式，稱為力法的基本方程?！?-3力法的基本概念

選取基本體系的原則：基本體系必須是幾何不變的。通常取靜定的基本體系。在特殊情況下也可以取超靜定的基本體系。思考：力法的基本體系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余約束可得不同的基本體系?！?-3力法的基本概念力法基本思路小結(jié):

根據(jù)結(jié)構(gòu)組成分析，正確判斷多余約束個(gè)數(shù)——超靜定次數(shù)。

解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法典型方程。

從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。§7-3力法的基本概念將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學(xué)研究的基本方法之一?！?-3力法的基本概念圖a是三次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉固定支座A，得如圖b所示的基本結(jié)構(gòu)?！?-4力法的典型方程位移條件：A處不能有任何位移。1=0，2=0，3=0和F分別作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)A點(diǎn)沿X1方向的位移分別為A點(diǎn)沿X2方向的位移分別為A點(diǎn)沿X3方向的位移分別為位移條件可寫為§7-4力法的典型方程

n次超靜定結(jié)構(gòu)，有n個(gè)多余未知力，有n個(gè)已知位移條件，可建立n個(gè)方程。當(dāng)n個(gè)已知位移條件都為0時(shí)，方程為力法典型方程主系數(shù)，恒大于0。副系數(shù)，自由項(xiàng)柔度系數(shù)柔度方程圖a所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座B，得基本體系如圖b§7-5力法的計(jì)算步驟和示例基本體系由B點(diǎn)的位移條件，建立力法典型方程為求系數(shù)和自由項(xiàng)§7-5力法的計(jì)算步驟和示例代入典型方程解得疊加法作彎矩圖

在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿的剛度相對(duì)值有關(guān)，與其剛度絕對(duì)值無關(guān)。同一材料組成的結(jié)構(gòu)，內(nèi)力與材料性質(zhì)無關(guān)。例:用力法計(jì)算圖示剛架，并作M圖。解：１)確定力法基本未知量和基本體系基本體系

力法方程：

d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0２)作M1、M2、MP圖§7-5力法的計(jì)算步驟和示例基本體系MP§7-5力法的計(jì)算步驟和示例３）計(jì)算系數(shù)、自由項(xiàng)

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0說明:力法計(jì)算剛架時(shí)，力法方程中系數(shù)和自由項(xiàng)只考慮彎曲變形的影響：

dii=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）疊加作M圖

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右側(cè)受拉）§7-5力法的計(jì)算步驟和示例力法的計(jì)算步驟（1）確定超靜定次數(shù)，去掉多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力代替相應(yīng)多余聯(lián)系。（2）根據(jù)多余聯(lián)系處的位移條件，建立力法的典型方程。（3）作基本結(jié)構(gòu)各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖，計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡條件或疊加法求得最后內(nèi)力?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-1試分析圖a所示兩端固定梁。EI=常數(shù)。解：取簡(jiǎn)支梁為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖b所示?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例基本體系典型方程為各彎矩圖如圖c、d、e、f。因故可得

兩端固定的梁在垂直于梁軸線的荷載作用下，不產(chǎn)生水平反力。典型方程變?yōu)椤?-5力法的計(jì)算步驟和示例求各系數(shù)和自由項(xiàng)（只考慮彎矩影響）代入典型方程解得最后彎矩圖如下圖§7-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-2試用力法計(jì)算圖a所示超靜定桁架的內(nèi)力。設(shè)各桿EA相同。解：這是一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷上弦桿用X1

代替，基本體系如圖b所示?；倔w系位移條件：桿件切口兩側(cè)軸向相對(duì)位移為0。典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例各桿最后內(nèi)力按疊加法計(jì)算如圖。也可將上弦桿去掉用X1代替，基本體系如圖a所示。典型方程為典型方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在F和X1共同作用下，結(jié)點(diǎn)3、4

所產(chǎn)生的水平相對(duì)線位移等于原結(jié)構(gòu)的相對(duì)線位移。注意：系數(shù)δ11中不包含34桿件。§7-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-3

圖a為一加勁梁，橫梁I=1×10-4m4，鏈桿A=1×10-3m2，

E=常數(shù)。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈桿截面A時(shí)的內(nèi)力變化。解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，切斷豎向鏈桿用X1代替，基本體系如圖b所示?；倔w系位移條件：切口處相對(duì)軸向位移為0。典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d。梁只計(jì)彎矩影響?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例由位移計(jì)算公式解得最后內(nèi)力梁的彎矩、各桿軸力如圖e。與沒有鏈桿時(shí)比較最大彎矩值減少了80.7%

§7-5力法的計(jì)算步驟和示例由位移計(jì)算公式A減小時(shí)：δ11增大，X1絕對(duì)值減小，梁的正彎矩值增大負(fù)彎矩值減小。A→0時(shí)：梁的彎矩圖與簡(jiǎn)支梁彎矩圖相同。A增大時(shí)：梁的正彎矩值減小負(fù)彎矩值增大。A→∞時(shí)：梁的中點(diǎn)相當(dāng)于有一剛性支座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù)梁的彎矩圖相同。如圖f。§7-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-4

圖a所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為

EA=∞的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿E為常數(shù)。解：排架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷二力桿用X1代替，基本體系如圖b所示?；倔w系典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。解得彎矩圖如圖e。疊加法作彎矩圖§7-6對(duì)稱性的利用對(duì)稱的意義：（1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對(duì)稱（2）各桿的剛度（EI、EA等）也對(duì)稱

圖a為一對(duì)稱結(jié)構(gòu)，有一個(gè)對(duì)稱軸。將對(duì)稱軸穿過的截面切開，得到一個(gè)對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)如圖b。正對(duì)稱的力：對(duì)稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿對(duì)稱軸對(duì)折后作用點(diǎn)和作用線重合且指向相同。反對(duì)稱的力：對(duì)稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿對(duì)稱軸對(duì)折后作用點(diǎn)和作用線重合且指向相反。X1、X2是正對(duì)稱的，X3是反對(duì)稱的。1、選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)§7-6對(duì)稱性的利用繪出基本結(jié)構(gòu)各單位彎矩圖如圖a、b、c。圖a、b是正對(duì)稱的，圖c是反對(duì)稱的。可得典型方程簡(jiǎn)化為只包含正對(duì)稱的X1、X2

只包含反對(duì)稱的X3§7-6對(duì)稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用正對(duì)稱荷載時(shí)，如圖a。MP圖是正對(duì)稱的，如圖b。

只存在正對(duì)稱的X1、X2，最后彎矩圖是正對(duì)稱的，形狀如圖c。

注意：剪力圖是反對(duì)稱的?！?-6對(duì)稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用反對(duì)稱荷載時(shí)，如圖a。MP圖是反對(duì)稱的，如圖b。

只存在反對(duì)稱的X3，最后彎矩圖是反對(duì)稱的，形狀如圖c。

注意：剪力圖是正對(duì)稱的?！?-6對(duì)稱性的利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是正對(duì)稱的，剪力圖是反對(duì)稱的；反力與位移是正對(duì)稱的。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱的，剪力圖是正對(duì)稱的；反力與位移是反對(duì)稱的。§7-6對(duì)稱性的利用例7-5

試分析圖a所示剛架。設(shè)EI=常數(shù)。解：荷載是反對(duì)稱的，只有反對(duì)稱的多余未知力，

取對(duì)稱的基本體系如圖b?；倔w系作各彎矩圖如圖c、d?！?-6對(duì)稱性的利用由圖乘法代入典型方程疊加法作彎矩圖2、未知力分組及荷載分組§7-6對(duì)稱性的利用圖a所示對(duì)稱剛架作用非對(duì)稱荷載?；倔w系如圖b。基本體系為利用對(duì)稱性，將未知力進(jìn)行分組?；験1為一對(duì)正對(duì)稱的未知力組。Y2為一對(duì)反對(duì)稱的未知力組?！?-6對(duì)稱性的利用將求解未知力X1、X2的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓪?duì)未知力組Y1、Y2。如圖a。作Y1=1、Y2=1的彎矩圖，如圖b、c。圖b為正對(duì)稱的、圖c為反對(duì)稱的。典型方程簡(jiǎn)化為Y1、Y2為廣義力，典型方程的物理意義也轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的廣義位移條件。第一式代表A、B兩點(diǎn)同方向的豎向位移之和為0。第二式代表A、B兩點(diǎn)反方向的豎向位移之和為0?！?-6對(duì)稱性的利用

對(duì)稱結(jié)構(gòu)作用一般非對(duì)稱荷載時(shí)，可以將荷載分解為正、反對(duì)稱兩組，如下圖。正對(duì)稱荷載作用只有正對(duì)稱的多余未知力，反對(duì)稱荷載作用只有反對(duì)稱的多余未知力，兩者疊加即為原結(jié)構(gòu)的解。3、取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算（利用對(duì)稱性）§7-6對(duì)稱性的利用（1）奇數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)

作用正對(duì)稱荷載如圖a，C截面只有豎向位移，有彎矩和剪力，截取一半剛架如圖b。

作用反對(duì)稱荷載如圖c，C截面不能有豎向位移，只有剪力，截取一半剛架如圖d?！?-6對(duì)稱性的利用（2）偶數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)

作用正對(duì)稱荷載如圖a，C結(jié)點(diǎn)不能有任何位移，截取一半剛架如圖b。

作用反對(duì)稱荷載如圖c，將中間柱視為兩根剛度為I/2的豎桿組成，在頂點(diǎn)與梁剛結(jié)。如圖e。

由于荷載是反對(duì)稱的，兩柱中間的橫梁C處只有剪力。如圖f。

剪力FSC對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形無影響。簡(jiǎn)化的一半剛架如圖d?！?-6對(duì)稱性的利用解：結(jié)構(gòu)是一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)，有兩個(gè)對(duì)稱軸。

可取1/4結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b?；倔w系如圖c。取極坐標(biāo)系，單位彎矩和荷載彎矩分別為：例7-6

試計(jì)算圖a所示圓環(huán)的內(nèi)力。EI=常數(shù)?！?-6對(duì)稱性的利用各彎矩圖如圖a、b。

位移計(jì)算時(shí)略去軸力、剪力及曲率影響，只計(jì)彎矩一項(xiàng)。則：可得§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)及彎矩圖如圖a。試求CB桿中點(diǎn)K的豎向位移△Ky。虛設(shè)力狀態(tài)及彎矩圖如圖b。

為作出圖b，需要解算一個(gè)2次超靜定結(jié)構(gòu)。比較麻煩！§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算由力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可知：

在荷載及多余未知力共同作用下，基本結(jié)構(gòu)的受力和位移與原結(jié)構(gòu)完全一致。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移可以用求基本結(jié)構(gòu)的位移代替。虛擬狀態(tài)如圖c、d。由圖c由圖d§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移步驟（1）計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，求出實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，虛擬力狀態(tài)。（3）計(jì)算所求位移?！?-8最后內(nèi)力圖的校核平衡條件校核彎矩圖校核：如圖a，取E點(diǎn)為隔離體，如圖b。應(yīng)滿足即剪力圖和軸力圖校核：可取結(jié)點(diǎn)、桿件或結(jié)構(gòu)的一部分為隔離體，考察是否滿足：和§7-8最后內(nèi)力圖的校核位移條件校核

圖a為剛架的最后彎矩圖。檢查A處的水平位移是否為0，虛擬力狀態(tài)并作彎矩圖如圖b。利用圖a與圖b圖乘，得滿足位移條件§7-8最后內(nèi)力圖的校核

對(duì)于具有封閉無鉸框格的剛架如圖a，取圖b所示的虛擬力狀態(tài)，檢查K截面相對(duì)轉(zhuǎn)角是否為0。

上式表明，在任一封閉無鉸的框格上，彎矩圖的面積除以相應(yīng)剛度的代數(shù)和等于0。§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

圖a所示靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁可以自由地變形不受任何阻礙。

圖b所示超靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁的變形受到兩端支座的限制，因而產(chǎn)生支座反力及內(nèi)力。圖c所示剛架，溫度改變?nèi)鐖D。取圖d所示基本體系。

基本結(jié)構(gòu)在外因和多余未知力共同作用下，去掉多余聯(lián)系處的位移與原結(jié)構(gòu)的位移相符?！?-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

式中系數(shù)的計(jì)算與以前相同，與外因無關(guān)。自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移，計(jì)算式為典型方程為最后彎矩為對(duì)于剛架位移計(jì)算公式為對(duì)多余未知力Xi方向的位移校核式為§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-7圖a所示剛架外側(cè)溫度升高25℃，內(nèi)側(cè)溫度升高35℃，試?yán)L制其彎矩圖并計(jì)算橫梁中點(diǎn)的豎向位移。EI=常數(shù)，截面對(duì)稱于形心軸，高度h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為α。解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖b。典型方程為虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖c§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算解典型方程得溫度變化時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與各桿剛度的絕對(duì)值有關(guān)。求橫梁中點(diǎn)豎向位移虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖b。最后彎矩為彎矩圖如圖a?！?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

圖a所示靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)不會(huì)受到任何阻礙。結(jié)構(gòu)只隨之發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生彈性變形和內(nèi)力。

圖b所示超靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)將受到AC梁的牽制，使各支座產(chǎn)生反力，梁產(chǎn)生內(nèi)力?！?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算

圖a所示剛架，當(dāng)支座B由于某種原因發(fā)生圖示位移。基本體系如圖b。典型方程為

系數(shù)的計(jì)算同前。自由項(xiàng)代表基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移，計(jì)算式為§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖c、d、e。最后彎矩為位移計(jì)算為Xi方向位移條件校核式為或?yàn)橐阎怠?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-8圖a所示兩端固定的等截面梁A段發(fā)生了轉(zhuǎn)角，試分析其內(nèi)力。解：取基本體系如圖b。因X3=0，典型方程為多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖c、d。可得§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算最后彎矩為如圖e校核：檢查B支座轉(zhuǎn)角是否為0。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如圖f。位移計(jì)算為§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-9圖a所示連續(xù)梁EI=常數(shù)，B處為彈性支座，彈簧剛度

k=10EI/l3。試作其彎矩圖并求D點(diǎn)的豎向位移。解：（1）取基本體系一如圖b。典型方程為相應(yīng)彎矩圖如圖c、d?？傻米詈髲澗貫槿鐖De§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算（2）取基本體系二如圖f。典型方程為相應(yīng)彎矩圖如圖g、h?？傻脧澗貓D同e（3）求D點(diǎn)豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖i?！?-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱常用超靜定拱型式超靜定拱：彎矩分布比較均勻，夠造簡(jiǎn)單，工程中應(yīng)用較多。無鉸拱兩鉸拱§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱計(jì)算超靜定拱：需事先確定拱軸線方程和截面變化規(guī)律。常用的拱軸線形式：懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓等。超靜拱合理拱軸線：忽略軸向變形影響時(shí)，與相應(yīng)三鉸拱相同?？紤]軸向變形時(shí)：超靜定拱產(chǎn)生彎矩，但數(shù)值不大，可進(jìn)行修改調(diào)整。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。無鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設(shè)計(jì)成由拱頂向拱址逐漸增大的形式。拱橋設(shè)計(jì)中的經(jīng)驗(yàn)公式（7-8）IC：拱頂截面二次矩，n：拱厚變化系數(shù)。IK：拱址處截面二次矩，：拱址處拱軸切線傾角。n愈小，拱厚變化愈激烈。n的范圍：0.25~1。n=1時(shí)截面面積A近似為當(dāng)拱高f<l/8時(shí)可近似為常數(shù)§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

圖a所示無鉸拱是三次超靜定結(jié)構(gòu)。利用對(duì)稱性取基本體系如圖b。如何做？

將圖a所示無鉸拱沿拱頂截面切開，再切口糧邊沿對(duì)稱軸方向引出兩個(gè)剛度無窮大的剛臂，如圖c。

剛臂本身是不變形的，保證切口兩邊截面無任何相對(duì)位移，此結(jié)構(gòu)與原無鉸拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱

取基本體系如圖d，這是兩個(gè)帶剛臂的懸臂曲梁。

利用對(duì)稱性，適當(dāng)選擇剛臂的長(zhǎng)度，可以使典型方程中全部系數(shù)都為0。符號(hào)規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)：剛臂端點(diǎn)O；坐標(biāo)方向：x軸向右為正，y軸向下為正；彎矩：拱內(nèi)側(cè)受拉為正；剪力：繞隔離體順時(shí)針方向?yàn)檎?；軸力：壓力為正?！?-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱多余未知力分別為1作用時(shí)，如圖a、b、c。§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱令沿拱軸線作寬度為1/EI的圖形（如圖）。ds/EI代表圖中的微面積，ys即為這個(gè)圖形面積的形心坐標(biāo)。圖形的面積與EI有關(guān)—稱為彈性面積圖，其形心稱為彈性形心。彈性中心法：把剛臂端點(diǎn)引到彈性中心上，將X2、X3置于主軸方向上，使全部系數(shù)都等于0。可得剛臂長(zhǎng)度yS為§7-11用彈性中心法計(jì)算無鉸拱典型方程簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立方程

由于拱的曲率對(duì)計(jì)算結(jié)果影響