第8章 非參數(shù)檢驗

第八章非參數(shù)檢驗第一節(jié)非參數(shù)檢驗概述第二節(jié)符號檢驗與符秩檢驗第三節(jié)秩和檢驗與檢驗第四節(jié)等級相關(guān)檢驗第五節(jié)

Excel在非參數(shù)檢驗中的 應用第一節(jié)非參數(shù)檢驗概述一什么是非參數(shù)檢驗二非參數(shù)檢驗的優(yōu)缺點一、什么是非參數(shù)檢驗所謂非參數(shù)檢驗，又被稱為自由分布檢驗，它是一種不需要事先對總體分布的形狀加以限制而進行的假設(shè)檢驗。應當指出，這里所謂的“非參數(shù)”，只是指在檢驗的過程中，未對檢驗統(tǒng)計量服從的分布及參數(shù)做出限制，并不意味著在檢驗中“不涉及參數(shù)”或“不對參數(shù)進行檢驗”。二、非參數(shù)檢驗的優(yōu)缺點優(yōu)點：首先，檢驗條件比較寬松，適應性強。非參數(shù)檢驗對資料的要求不像參數(shù)檢驗那樣嚴格，它適合于處理諸如非正態(tài)的、方差不等的或分布形狀未知的資料。其次，自由分布檢驗的方法比較靈活，用途廣泛。它不但可以應用于處理測量層次較高的定距、定比數(shù)據(jù)，也適用于處理層次較低的定類、定序數(shù)據(jù)。對于那些不能進行加、減、乘、除運算的定類數(shù)據(jù)與定序數(shù)據(jù)，也可進行檢驗。再次，自由分布檢驗的計算相對簡單。由于自由分布的檢驗方法不用復雜計算，一般使用計數(shù)方法就可以了，它的計數(shù)過程與結(jié)果都比較簡單、直觀與明顯。缺點：它對原始數(shù)據(jù)中包含的信息利用得不夠充分，檢驗的功效相對較弱。

結(jié)論：參數(shù)檢驗與非參數(shù)檢驗是針對不同情況提出的兩種統(tǒng)計方法，它們各有優(yōu)缺點，可互為補充。第二節(jié)符號檢驗與符秩檢驗一單總體問題的符號檢驗二兩總體問題的符號檢驗三威爾科克森配對符號秩檢驗一、單總體問題的符號檢驗單總體符號檢驗適用于檢驗總體中位數(shù)是否在某一指定位置。檢驗時，可根據(jù)樣本中正號的數(shù)目來決定是否拒絕原假設(shè)：假若樣本中正號與負號的數(shù)目大體相等，這時沒有理由拒絕原假設(shè)，也就是說，總體中中位數(shù)等于0的假設(shè)有可能是對的；如果出現(xiàn)了太少的正號，認為樣本可能來自中位數(shù)小于0的總體；如果出現(xiàn)了太多的正號，認為樣本可能來自中位數(shù)大于0的總體。因為近似服從正態(tài)分布，所以通常可以將其標準化為標準正態(tài)變量，作為檢驗統(tǒng)計量。即二、兩總體問題的符號檢驗兩總體符號檢驗適用于檢驗配對樣本情形下，兩總體分布在位置特征上是否有差異。所謂配對樣本，是指對每一個觀測單元（個體）作兩次觀測。假設(shè)某地區(qū)居民在經(jīng)濟改革前的經(jīng)濟狀況記作變量X，改革后的經(jīng)濟狀況記作變量Y。第i戶居民改革前后的經(jīng)濟狀況分別為xi，yi。二者之間的變化記作di=yi

xi。請注意，現(xiàn)在我們不關(guān)心具體數(shù)值，只關(guān)心它的符號。如果改革沒有引起居民經(jīng)濟情況的變化，那么居民經(jīng)濟情況的前后差異就完全是由于各種隨機因素的影響形成的（假定其它重要的影響因素都已控制不變），于是正差值的個數(shù)與負差值的個數(shù)會大體相等。把0差值舍去后，對總體（正差值與負差值組成的總體）作獨立重復貝努里試驗，每次試驗出現(xiàn)正號的概率是

=0.5。相反，如果改革引起了居民經(jīng)濟情況的明顯好轉(zhuǎn)，則正差值的個數(shù)會比負差值的個數(shù)多。對正差值與負差值組成的總體作獨立重復貝努里試驗，每次試驗出現(xiàn)正號的概率是

>0.5。檢驗所針對的原假設(shè)是：

H0:改革沒有引起居民經(jīng)濟情況的變化（總體X與Y沒有差別），或等價地：H0:=0.5。建立原假設(shè)為真前提下的下列檢驗統(tǒng)計量：三、威爾科克森配對符號秩檢驗以上所介紹的兩總體情形下符號檢驗方法，僅僅用配對觀測之間差別的符號進行檢驗，而不注重差別的大小，因此對資料的利用不夠充分。當配對觀測之間的差別可以從數(shù)量上來測定時，威爾科克森（Wilcoxon）配對符號秩檢驗比符號檢驗更有效。具體做法是：首先，將樣本配對觀測之間的差di=yi

xi按其絕對值|di

|大小遞增排列，并從1至n給以秩次。如果出現(xiàn)0差值項，就略去該項，對這樣的項不給秩次，并相應地減少樣本量n；如果出現(xiàn)差值相同的項，則用這些項所在位置的秩次的簡單算術(shù)平均數(shù)來代替原來的秩次。其次，對每個秩次按照di的正負號賦以正負號。再次，分別對正號秩與負號秩計算秩和，所得之秩和不帶正負號，記作∑秩(+)與∑秩()

。為檢驗兩總體平均水平是否有差異，可建立原假設(shè)H0:∑秩(+)與∑秩()

這一假設(shè)表明，在差數(shù)總體D中，正差和負差不僅個數(shù)相同，而且在均值0的兩側(cè)對稱分布。也就是表明，總體X與Y沒有差異。兩個秩中較小的一個，通常稱作威爾科克森T統(tǒng)計量，將其作為檢驗統(tǒng)計量。在原假設(shè)成立的前提下，威爾科克森T統(tǒng)計量的數(shù)學期望和方差分別是：當n≥25時（n是正負號的總數(shù)，不包括0差值項數(shù)），威爾科克森T統(tǒng)計量近似服從正態(tài)分布。這時，可構(gòu)造Z統(tǒng)計量若n不夠大，T的臨界值可由附表6來確定。該表所給出的是，對一定的n和，滿足關(guān)系式P(T

T)

的值。在單尾檢驗時若T

T

，在雙尾檢驗時若TT/2

，就拒絕原假設(shè)。第三節(jié)秩和檢驗與2檢驗二皮爾遜統(tǒng)計量一秩和檢驗三分布擬合檢驗一、秩和檢驗秩和檢驗可用于檢驗兩個獨立樣本是否來自具有相同位置特征的總體。這里要求兩個總體具有相同的分布形狀（不論是何種分布形狀）。設(shè)從兩個總體中分別抽取容量為n1和n2的獨立隨機樣本。把樣本容量較小的總體叫做總體1，如果兩樣本容量相等，就任意把其中的一個叫做總體1。即，n1≤n2。設(shè)

1和

2分別是總體1和總體2的中位數(shù)。將兩個樣本混合起來，共有n=n1+n2個觀察值。把它們按遞增順序排列起來，依次賦以1，2，…，n的秩次。如果混合樣本中有若干個相同的數(shù)值，則將它們所在位置的秩簡單算術(shù)平均，用所得的均值作為這些數(shù)值的秩。用W表示來自總體1的n1個觀察值在混合樣本序中秩次之和。W的最小可能值是1+2+…+n1=

[n1(n1+1)]/2；最大可能值是(n2+1)+(n2+2)+…+(n2+n1)=n1n2+[n1(n1+1)]/2。如果總體1的分布位于總體2的右邊(1>2)，W將接近它的最大可能值；如果總體1的分布位于總體2的左邊(1<2)，W將接近它的最小可能值；如果二總體分布位置相同(1=2)，W將等于中間值，即，(最大可能值+最小可能值)/2。秩和檢驗的原假設(shè)是：H0:1=2

。下面建立檢驗統(tǒng)計量。（1）如果n1和n2都超過10

這時，在原假設(shè)成立的前提下，W近似服從正態(tài)分布。數(shù)學期望和方差分別是 于是，可以將W化成標準正態(tài)變量（2）如果n1和n2都未超過10這時，在原假設(shè)成立的前提下，W的分布中的臨界值可由附表7確定。表中列出了樣本量為n1、n2時，P(W≤W1)=0.05、P(W≥W2)=0.05以及P(W≤W1)=0.025、P(W≥W2)=0.025的臨界值W1、W2。當W≤W1和W≥W2時，拒絕原假設(shè)（W為樣本值）。二、皮爾遜統(tǒng)計量統(tǒng)計檢驗中有時會遇到這樣一類問題：要檢驗實際頻數(shù)與理論頻數(shù)是否較為接近。為解決這類檢驗問題，統(tǒng)計學家卡爾·皮爾遜（K.Pearson）提出如下檢驗統(tǒng)計量并證明它近似服從自由度為

=組格數(shù)估計參數(shù)個數(shù)

1的2分布。式中，n是樣本量，理論頻數(shù)是由樣本量乘以由理論分布確定的組格概率計算的。求和項數(shù)為組格數(shù)目。皮爾遜2統(tǒng)計量的直觀意義十分顯然：(n)2是各組格的實際觀測頻數(shù)與理論期望頻數(shù)的相對平方偏差的總和，若(n)2值充分大，則應認為樣本提供了理論分布與統(tǒng)計分布不同的顯著證據(jù)，即假設(shè)的總體分布與總體的實際分布不符，從而應否定所假定的理論分布。所以，應當2在分布密度曲線圖的右尾部建立拒絕域。應用皮爾遜2統(tǒng)計量時要注意下列問題：1.當n充分大時，(n)2近似服從2分布，因此，皮爾遜(n)2統(tǒng)計量要在大樣本的情形下應用。2.各組格的理論頻數(shù)不應太小。一般，每一組格的理論頻數(shù)都不應小于4，否則應將小于4的組并入其他組。但是，具體應用時這一限制可以放寬：（1）若自由度不小于60，則可以不加限制；（2）若自由度不小于6，則個別理論頻數(shù)不得小于0.5即可；（3）若自由度等于2，則各理論頻數(shù)不應小于2；（4）若自由度等于1，則各理論頻數(shù)不應小于4。三、分布擬合檢驗在理論研究和實際應用中，常常根據(jù)所作隨機試驗的特點，認定無限總體的分布符合某種概率分布模型，這時，說該無限總體具有已知的分布。但是，有許多時候，無法根據(jù)所作隨機試驗認定無限總體符合何種概率分布模型。這時，便需要根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)提供的信息，為總體選配一個合適的概率分布模型。一般作法是：首先，對樣本數(shù)據(jù)作分組整理，計算各組的頻率，稱所得到的分布列為經(jīng)驗分布；其次，根據(jù)有關(guān)理論和實際知識以及經(jīng)驗分布的特點，猜測無限總體的分布符合某種概率模型，稱所選擇的概率模型為理論分布；然后，用顯著性檢驗的方法，將經(jīng)驗分布與理論分布作比較，檢驗觀察到的差異能否顯著地表明兩種分布的真實差異存在，如果表明真實差異存在的證據(jù)不足，則可以期望所選理論分布能較好地描述所研究的無限總體的分布規(guī)律。

這類顯著性檢驗稱作分布擬合檢驗。分布擬合檢驗 的方法很多，我們只介紹分布擬合的皮爾遜2檢驗。例8-1某鐘表廠對所生產(chǎn)的鐘作質(zhì)量檢查。從生產(chǎn)過程中簡單隨機不放回地抽取350只作測試，測得每只鐘的24小時走時誤差（快或慢，不計正負號）記錄下來。要求根據(jù)這350個數(shù)據(jù)檢驗該種鐘生產(chǎn)過程所發(fā)生的產(chǎn)品走時誤差是否服從正態(tài)分布。檢驗的顯著水平標準

=0.05。解：為檢驗該種鐘生產(chǎn)過程所發(fā)生的產(chǎn)品走時誤差是否服從正態(tài)分布，原假設(shè)和備擇假設(shè)是：H0:該種鐘生產(chǎn)過程所發(fā)生的走時誤差服從正態(tài)分布H1:該種鐘生產(chǎn)過程所發(fā)生的走時誤差不服從正態(tài)分布表8-1鐘表走時誤差的經(jīng)驗分布與理論分布的比較組號走時誤差（秒）實際頻數(shù)(只)i

標準化組限概率理論頻數(shù)（只）甲（1）（2）（3）（4）（5）（6）1-～1019-～-1.620.052618.4100.0189210～2025

-1.62～-1.260.051217.9202.7972320～3031

-1.26～-0.900.080328.1050.2982430～4037

-0.90～-0.530.114039.9000.2108540～5042

-0.53～-0.170.134447.0400.5400650～6046

-0.17～0.190.142849.9800.3169760～70400.19～0.550.133546.7250.9679870～80360.55～0.910.109838.4300.1537980～90300.91～1.270.079427.7900.17581090～100261.27～1.630.050517.6753.921111100～-181.63～-0.051518.0250.0001合計—n=350—13509.4006不難看出，皮爾遜(n)2統(tǒng)計量式（8.10）完全適用于解決我們這里的問題。式中的組格就是表8-1中所分的各個組（共11個組格），各組格的實際頻數(shù)是表8-1的第（2）欄，各組格的理論頻數(shù)是表8-1的第（5）欄，樣本量n是350?，F(xiàn)在來計算皮爾遜(n)2統(tǒng)計量的樣本值。由表8-1第（6）欄知統(tǒng)計量近似服從自由度為1121=8(共11個組格，估計了2個參數(shù)和

2)的2分布，拒絕域放在2密度曲線的右尾部。對于

=0.05的顯著水平標準，查表知臨界值為 由于 可見檢驗統(tǒng)計量的樣本值落在接受域，因此沒有理由拒絕總體為正態(tài)分布的原假設(shè)。第四節(jié)等級相關(guān)檢驗一斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)二斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計檢驗三兩點說明一、斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)第七章所討論的兩變量之間相關(guān)系數(shù)的前提是：兩隨機變量的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布。當隨機變量的分布不能滿足正態(tài)性要求時，或者所要研究的變量不是數(shù)量型變量時，通常的相關(guān)分析方法不宜使用，而需要利用斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)進行考察。設(shè)對簡單隨機樣本的n個單位，就變量X、Y進行觀察。這里，要求X、Y的取值分別都是1，2，…，n這樣n個等級；樣本的n個單位分別不重復地屬于X的各個等級，也分別不重復地屬于Y的各個等級，沒有兩個單位取相同等級的情形。記di為第i個樣本單位屬于X的等級與屬于Y的等級的級差。斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)rs為數(shù)學上可以證明，斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)是第七章介紹的樣本相關(guān)系數(shù)的特例。樣本等級相關(guān)系數(shù)的取值范圍是-1≤rs≤1。當rs=1時，說明樣本等級資料完全正相關(guān)；當rs=-1時，說明樣本等級資料完全負相關(guān)；當rs=0時，說明樣本等級資料不相關(guān)；當0<rs

<1時，rs越接近1，正相關(guān)程度越高；當-1<rs

<0時，rs越接近-1，負相關(guān)程度越高。二、斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的

統(tǒng)計檢驗根據(jù)斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)對X、Y的總體等級相關(guān)關(guān)系進行檢驗。檢驗的原假設(shè)是H0:S=0（或S≤0，或S≥0），備擇假設(shè)是H1:S≠0（或S>0，或S<0）?；驹僭O(shè)H0:S=0的含義是按兩種統(tǒng)計標志X、Y劃分的兩種等級不相關(guān)。

在樣本量n較小時（例如，n≤30），H0:S=0成立前提下，檢驗統(tǒng)計量rs的水平單側(cè)臨界值r可由附表8查出，它是滿足下列條件的最小r值：在樣本量n較大時（例如，n>30），H0:S=0成立前提下，rs近似服從正態(tài)分布N(0,1/(n-1))。因此，可以建立下面的檢驗統(tǒng)計量三、兩點說明（一）等級相關(guān)檢驗適用于變量值表現(xiàn)為等級的變量。不過，對于變量值表現(xiàn)為數(shù)值而不是等級的變量，有時也可以把它劃分為若干等級，用等級相關(guān)的方法來研究。 這樣做是出于下面的一些理由：（1）無法假定總體的分布；（2）其中有一個變量是只能用等級來反映的；（3）把測量值劃分為等級更能反映事物的本質(zhì)（例如，把年齡按生命過程階段劃分比用實際年齡更便于研究生命過程的統(tǒng)計規(guī)律）。把測量值轉(zhuǎn)換為等級的方法是：首先，按實際觀察值大小排序，并賦予每個觀察值秩次；其次，把測量值的取值范圍劃分為若干等級區(qū)間。（二）斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)是以變量沒有相同等級為前提的。但有時，觀察結(jié)果出現(xiàn)了相同的等級，這時，須計算這幾個觀察結(jié)果所在位置秩次的簡單算術(shù)平均數(shù)作為它們相應的等級。在這種情形下應用斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)計算公式所得之結(jié)果顯然只是近似的。若相同等級不是太多，可以近似應用上述公式，否則應加以修正。第五節(jié)EXCEL在非參數(shù)檢驗中 的應用一符號檢驗二威爾科克森配對符號秩檢驗三分布擬合的皮爾遜卡方檢驗一、符號檢驗【例8-3】對某總體隨機觀測得到的下列數(shù)據(jù)： 試檢驗該總體中位數(shù)是否為90。（顯著水平0.05）解：提出假設(shè)：H0:=90H1:

90

利用Excel求解步驟如下：（一）輸入數(shù)據(jù)，見圖8-1。A、B列為原始輸入數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)存放在A2:A29單元格區(qū)域，圖中未完全顯示出來，D、E列為計算得出的結(jié)果。67917181822283235364242424848515253555657586372839197

Excel文件（二）計算樣本觀察值大于中位數(shù)的個數(shù)（即正號的個數(shù)）。在E1中輸入公式如下的公式

=COUNTIF(A2:A29,">90")（三）計算樣本容量n(不含0差數(shù))。在E2中輸入公式

=COUNT(A2:A29)-COUNTIF(A2:A29,"=90")（四）計算檢驗統(tǒng)計量Z。在E3中輸入公式

=(E1-0.5*E2)/SQRT(0.25*E2)（五）計算臨界值Zα/2。在E4中輸入公式

=ABS(NORMSINV(B2/2))（六）結(jié)論。由于-4.54<-1.96，檢驗統(tǒng)計量的樣本值落在拒絕域，故否定原假設(shè)?？傮w中位數(shù)不是90。二、威爾科克森配對符號秩檢驗【例8-4】從某專業(yè)學生中簡單隨機抽取20人，先后兩次組織某種測驗。兩次測驗結(jié)果如下： 試用威爾科克森配對符號秩檢驗法檢驗，該專業(yè)學生在兩次測驗的時間上，該項成績水平有無改變。（顯著水平0.05）第一次3271353142101764410264第二次685717524781624311870第一次21484557723587507238第二次40303980796477368938Excel文件解：提出假設(shè)：

H0:∑秩(+)=

∑秩()即，該專業(yè)學生該項成績水平無差異

H1:∑秩(+)

∑秩()操作步驟如下：（一）輸入數(shù)據(jù)，并進行初步計算，見圖8-2。

A、B、C列為輸入的原始數(shù)據(jù)，D、E列為計算所得數(shù)據(jù)。成績差di的計算方法是：在D2中輸入公式“=C2-B2”，然后將該公式復制到D3:D21單元格區(qū)域即可。|di|的計算，在E2中輸入公式“=ABS(D2)”，然后將公式復制到E3:E21區(qū)域。

（二）計算|di|的秩。

1．按|di|大小進行升序排位（由于第20個學生的成績差為0，所以該同學的|di|不參加排位）。在F2中輸入公式“=RANK(E2,E$2:E$20,1)”，將公式復制到F3:F20區(qū)域。

2．求重復數(shù)字的秩次。此處需要考慮重復數(shù)字的排位次序。如本例，有兩個同學的|di|為6，其秩次應是3.5。此時，必須計算一個修正數(shù)。在G2單元格中輸入公式：=(COUNT(F$2:F$20)+1-RANK(F2,F$2:F$20)-RANK(F2,F$2:F$20,1))/2

并將該公式復制到G3:G20區(qū)域。從計算結(jié)果可以看出，如果某個數(shù)字是唯一的，則它的修正數(shù)為0。

3．求