離散傅里葉變換(DFT)武漢理工大學(xué)數(shù)字信號(hào)處理

第4章離散傅里葉變換（DFT）DiscreteFourierTransform引言對(duì)一個(gè)序列長(zhǎng)度未加以任何限制，則一個(gè)序列可分為：（1）無(wú)限長(zhǎng)序列：

n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~

0

（2）有限長(zhǎng)序列：

0≤n≤N-1有限長(zhǎng)序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列。由于計(jì)算機(jī)容量的限制，只能對(duì)過(guò)程進(jìn)行逐段分析。由于有限長(zhǎng)序列，引入DFT(離散付里葉變換)。DFT它是反映了“有限長(zhǎng)”這一特點(diǎn)的一種有用工具。DFT變換除了作為有限長(zhǎng)序列的一種付里葉表示，在理論上重要之外，而且由于存在著計(jì)算機(jī)DFT的有效快速算法--FFT,因而使離散付里葉變換(DFT)得以實(shí)現(xiàn)，它使DFT在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。1.傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換：

建立以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”

以頻率為自變量的“頻譜”函數(shù).“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)還是離散值,就形成各種不同形式的傅里葉變換對(duì)。存在四種不同形式的傅里葉變換對(duì)

四種不同傅里葉變換對(duì)（1）傅里葉變換(FT)：連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換（2）傅里葉級(jí)數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換（3）序列的傅里葉變換(DTFT)：離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換（4）離散傅里葉變換(DFT)：離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換假定數(shù)字頻率為w,模擬頻率為。一、非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)連續(xù)付里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。正變換：逆變換：條件：以下變換對(duì)可以看出（1）時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,（2）時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜.二、周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)非周期離散頻譜密度函數(shù)。

周期為T(mén)p的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)xa(t)可展成傅里葉級(jí)數(shù)X(mΩ),是離散非周期性頻譜,表示為:FS正變換：反變換：條件：通過(guò)以下變換對(duì)可以看出（1）時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)（2）頻域的離散頻譜與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)

(頻域采樣，時(shí)域周期延拓)三、非周期離散信號(hào)的傅里葉變換非周期離散的時(shí)間信號(hào)得到周期性連續(xù)的頻率函數(shù)。正變換：反變換：其中w是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為w=T取樣頻率與取樣周期T的關(guān)系：取樣的數(shù)字頻率為（1）時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓

,（2）時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)

.

四、周期離散信號(hào)的傅里葉變換上面討論的三種傅里葉變換對(duì),都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域(時(shí)域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度,我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換.周期性離散時(shí)間信號(hào)從上可以推斷：（1）周期性時(shí)間信號(hào)可以產(chǎn)生頻譜是離散的（2）離散時(shí)間信號(hào)可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。得出其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的。一個(gè)域的離散必然造成另一個(gè)域的周期延拓。其中正變換：反變換：四種付里葉變換形式的歸納2.離散付里葉級(jí)數(shù)(DFS)周期性序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT).由DFS引出DFT的定義有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換稱(chēng)為離散傅里葉變換，簡(jiǎn)寫(xiě)為DFT。DFT可以按3個(gè)步驟由DFS推導(dǎo)出來(lái)：①將有限長(zhǎng)序列延拓成周期序列；②求周期序列的DFS；③從DFS中取出一個(gè)周期便得到有限長(zhǎng)序列的DFT。DFS定義設(shè)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)為:正變換反變換其中:

DFS離散付里級(jí)數(shù)的推導(dǎo)意義(1)用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而且上面討論可知：只有第四種形式(DFS)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理有實(shí)用價(jià)值。(2)如果將前三種形式要么在時(shí)域上采樣，要么在頻域上采樣，變成離散函數(shù)，就可以在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用。所以我們要先了解如何從以上三種形式推出DFS.由非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)推出DFSx(t)經(jīng)過(guò)抽樣為x(nT),對(duì)離散的時(shí)間信號(hào)進(jìn)行DTFT得到周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。再經(jīng)過(guò)抽樣，得到周期性離散頻譜密度函數(shù)即為DFS.x(t)t取樣x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采樣X(jué)(ejw)w周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)函數(shù)周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)函數(shù)經(jīng)采樣后，得到周期性的離散時(shí)間函數(shù)(DFS)。x(t)X(ejw)tw采樣x(n)nDFS非周期離散時(shí)間信號(hào)非周期離散時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)序列傅里時(shí)變換(即單位園上的Z變換)DTFT,得到周期連續(xù)譜密度函數(shù)，再經(jīng)采樣為周期離散頻譜密度函數(shù)(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采樣推導(dǎo)DFS正變換由第三種傅里葉級(jí)數(shù)形式為例推導(dǎo)出離散付里葉級(jí)數(shù)變換。非周期信號(hào)x(n),其DTFT(單位園上Z變換)為其為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對(duì)其頻域進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。設(shè)在一周期內(nèi)采樣N個(gè)點(diǎn)，則兩采樣點(diǎn)間距為即得出DFS的正變換：得到各抽樣頻點(diǎn)頻率為：代入DTFT式子中，這時(shí)由于抽樣，信號(hào)變成周期離散信號(hào)，得DFS的反變換解：已知兩邊同乘以,并對(duì)一個(gè)周期求和根據(jù)正交定理用n替換r,可得：即得：設(shè)x(n)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)為:正變換反變換離散付里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)可以由抽樣Z變換來(lái)解析DFS，它的許多性質(zhì)與Z變換性質(zhì)類(lèi)似。它們與Z變換主要區(qū)別為：(1)與兩者具有周期性，與Z變換不同。(2)DFS在時(shí)域和頻域之間具有嚴(yán)格的對(duì)偶關(guān)系。它們主要性質(zhì)分為：線性、序列移位(循環(huán)移位)、調(diào)制性、周期卷積和假設(shè)令和皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS為線性其中a,b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。序列移位(循環(huán)、移位)（1）時(shí)域證明：令

i=n+m,得調(diào)制性（2）頻域證明：

時(shí)域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。時(shí)域卷積

周期卷積和與以前卷積不同，它的卷積過(guò)程限在一個(gè)周期內(nèi)稱(chēng)為周期卷積。頻域相乘等于時(shí)域卷積（指周期卷積）。

頻域：則有：相乘時(shí)域卷積證明：代入：則：頻域卷積時(shí)域：相乘周期卷積頻域：3.離散付里葉變換周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義,因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長(zhǎng)序列,這就得到有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT).時(shí)域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓;頻域周期序列看作是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓要把DFS的定義式兩邊（時(shí)域、頻域）各取主值區(qū)間,就得到關(guān)于有限長(zhǎng)序列的時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì).

這就是數(shù)字信號(hào)處理課程里最重要的變換

-------離散傅里葉變換(DFT).

DFT--有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示一.預(yù)備知識(shí)

1.余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式如果，

m為整數(shù)；則有：此運(yùn)算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱(chēng)作取余數(shù),或說(shuō)作n對(duì)N取模值,或簡(jiǎn)稱(chēng)為取模值,n模N。例如：

(1)(2)先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運(yùn)作;而 視作將周期延拓。2.二.有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列的關(guān)系周期序列是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列的主值序列。三.周期序列與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系同樣，周期序列是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。而有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行。

因此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義?；蛘撸篋FT定義正變換反變換X(k)、x(n)為有限長(zhǎng)序列的離散付里葉變換對(duì)，已知其中一個(gè)序列就能確定另一個(gè)序列。在離散傅里葉變換關(guān)系中,有限長(zhǎng)序列都作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示,都隱含有周期性意義.例DFT涉及的基本概念1.主值(主值區(qū)間、主值序列)2.移位(線性移位、圓周移位)3.卷積(線性卷積、圓周卷積)4.對(duì)稱(chēng)(序列的對(duì)稱(chēng)性、序列的對(duì)稱(chēng)分量)5.相關(guān)(線性相關(guān)、圓周相關(guān))1.主值(主值區(qū)間、主值序列)主值區(qū)間：設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期序列長(zhǎng)度為N,則第一個(gè)周期n=0到n=N-1的區(qū)間稱(chēng)為主值區(qū)間.主值序列:設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期為N,則主值區(qū)間內(nèi)的序列x(n)=,0≤n≤N-1,即為主值序列。返回2.移位線性移位：序列沿坐標(biāo)軸的平移.圓周移位：將有限長(zhǎng)序列x(n)以長(zhǎng)度N為周期,延拓為周期序列,并加以線性移位后,再取它的主值區(qū)間上的序列值,m點(diǎn)圓周移位記作:其中((...))N

表示N點(diǎn)周期延拓.(1)有限長(zhǎng)序列圓周移位的實(shí)現(xiàn)步驟

從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出，當(dāng)主值序列左移m個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)m個(gè)樣本，而且好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來(lái)。因此取名“循環(huán)移位”。顯然，循環(huán)移位不同于線性移位循環(huán)移位等同于圓周位移

由于我們?nèi)≈髦敌蛄?，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來(lái)。如果把

排列一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于

在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱(chēng)作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6(2)例子121310.5(1)周期延拓：N=5時(shí)nx(n)2131x(n)0.521310.51120.5n(2)周期延拓：N=6時(shí)，補(bǔ)零加長(zhǎng)2131x(n)0.521310.51123n321310.5nx(n)(3)M=1時(shí)，左移(取主值)131x(n)0.52(4)M=-2時(shí)，右移(取主值)2131nx(n)0.5n返回

3.卷積卷積在此我們主要介紹：(1)線性卷積(2)圓周卷積(3)圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比(1)線性卷積線性卷積定義：有限長(zhǎng)序列

x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),

0≤n≤N2-1則線性卷積為

注意:線性卷積結(jié)果長(zhǎng)度變?yōu)镹1+N2-1.(2)圓周卷積令則圓周卷積結(jié)果長(zhǎng)度不變,為N.圓周卷積的實(shí)現(xiàn)步驟例線性卷積與圓周卷積步驟比較231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3得到線性卷積結(jié)果的示意圖14265ny(n)2014830

54321

12315129631086425432151426201483N=7231x(n)54n0N1=5213h(n)n0N2=3（1）圓周卷積：(N=7)補(bǔ)零加長(zhǎng)

231x(k)540N=7k213h(k)k0N2=3231h(k)0k(2)圓周卷積需進(jìn)行周期延拓，而線卷積無(wú)需周期延拓：圓卷積的反折(并取主值區(qū)間）：231231231h(-k)k0(3)平移0231h(1-k)k（4）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26231x(k)540N=7kx(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231h(-k)k(5)相加得到圓周卷積的示意圖14265ny(n)2014830可見(jiàn),線性卷積與圓周卷積相同(當(dāng)N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7時(shí))用圖表求解圓卷積

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7點(diǎn)的圓卷積。解：（1）將x(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)為x(k)={5,4,3,2,1,0,0},（2）將h(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)至N=7，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2}（4）作圖表結(jié)果同上。若圓周卷積取長(zhǎng)度為N=5,則求圓周卷積231x(k)540N=5k231h(-k)k0求得圓周卷積x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圓卷積與線卷積不同.171326y(n)n02014用圖表求解圓卷積

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=5點(diǎn)的圓卷積。解：（1）x(n)無(wú)需補(bǔ)零加長(zhǎng)x(k)={5,4,3,2,1},（2）將h(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)至N=5，并周期延拓，（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,3,2}（4）作圖表1713262014y(n)n0(3)圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比

圓周卷積在信號(hào)處理中的應(yīng)用重疊相加法重疊保留法返回4.對(duì)稱(chēng)分為：(1)序列的對(duì)稱(chēng)性(2)序列的對(duì)稱(chēng)分量(1)序列的對(duì)稱(chēng)性(a)奇對(duì)稱(chēng)(序列)和偶對(duì)稱(chēng)(序列)(b)圓周奇對(duì)稱(chēng)(序列)和圓周偶對(duì)稱(chēng)(序列)(c)共軛對(duì)稱(chēng)(序列)和共軛反對(duì)稱(chēng)(序列)(d)圓周共軛對(duì)稱(chēng)(序列)和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)(序列)返回(a)奇對(duì)稱(chēng)(序列)和偶對(duì)稱(chēng)(序列)稱(chēng)x(n)與-x(-n)互為奇對(duì)稱(chēng)。滿足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)稱(chēng)為奇對(duì)稱(chēng)序列。稱(chēng)x(n)與x(-n)互為偶對(duì)稱(chēng)

;

滿足xe(n)=xe(-n)

的序列xe(n)稱(chēng)為偶對(duì)稱(chēng)序列例子0xe(n)n0x(n)n0y(n)=x(-n)nx(n)與y(n)互為偶對(duì)稱(chēng)為偶對(duì)稱(chēng)序列0x(n)n0x(-n)n互為奇對(duì)稱(chēng)0xo(n)n為奇對(duì)稱(chēng)序列(b)圓周奇對(duì)稱(chēng)和圓周偶對(duì)稱(chēng)序列

長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)與y(n)=-x((-n)NRN(n)互為圓周奇對(duì)稱(chēng).長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n),若滿足x(n)=-x((-n))NRN(n),則x(n)是圓周奇對(duì)稱(chēng)序列.長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)與y(n)=x((-n)NRN(n)互為圓周偶對(duì)稱(chēng).長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列xe(n),,若滿足x(n)=x((-n))NRN(n)則是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列.

圓周偶對(duì)稱(chēng)(序列)周期延拓圓周奇對(duì)稱(chēng)(序列)周期延拓(c)共軛對(duì)稱(chēng)(序列)和共軛反對(duì)稱(chēng)(序列)

序列x(n)與y(n)=x*(-n)互為共軛對(duì)稱(chēng).

共軛對(duì)稱(chēng)序列是滿足xe(n)=x*e(-n)的序列xe(n),對(duì)于實(shí)序列來(lái)說(shuō),變成xe(n)=xe(-n),即為偶對(duì)稱(chēng)序列.序列x(n)與y(n)=-x*(-n)互為共軛反對(duì)稱(chēng).

共軛反對(duì)稱(chēng)序列是滿足xo(n)=-x*o(-n)的序列,

對(duì)于實(shí)序列來(lái)說(shuō),即為xo(n)=-xo(-n)奇對(duì)稱(chēng)序列.(d)圓周共軛對(duì)稱(chēng)(序列)和圓周共軛

反對(duì)稱(chēng)(序列)

N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)與x*((-n)NRN(n)互為圓周共軛對(duì)稱(chēng).圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列是滿足

xep(n)=xep*((-n)NRN(n)

即xep(n)的模是

圓周偶對(duì)稱(chēng),輻角是圓周奇對(duì)稱(chēng)(或說(shuō)實(shí)部圓周偶對(duì)稱(chēng),虛部圓周奇對(duì)稱(chēng)).

即把xep(n)看成分布在N等分的圓上,在n=0的左半圓與右半圓上,序列是共軛對(duì)稱(chēng)的。圓周共軛對(duì)稱(chēng)(序列)的例子虛部實(shí)部實(shí)部圓周偶對(duì)稱(chēng),虛部圓周奇對(duì)稱(chēng)圓周共軛反對(duì)稱(chēng)(序列)圓周共軛反對(duì)稱(chēng)序列是滿足

xop(n)=-xop*((-n)NRN(n)

的序列.

即xop(n)的模是圓周奇對(duì)稱(chēng),輻角是圓周偶對(duì)稱(chēng)(或說(shuō)實(shí)部圓周奇對(duì)稱(chēng),虛部圓周偶對(duì)稱(chēng)).

即把xop(n)看成分布在N等分的圓上,在n=0的左半圓與右半圓上,序列是共軛反對(duì)稱(chēng)的。圓周共軛反對(duì)稱(chēng)(序列)例子實(shí)部虛部實(shí)部圓周奇對(duì)稱(chēng),虛部圓周偶對(duì)稱(chēng)返回(2)序列的對(duì)稱(chēng)分量(a)奇對(duì)稱(chēng)分量和偶對(duì)稱(chēng)分量(b)圓周奇對(duì)稱(chēng)分量和圓周偶對(duì)稱(chēng)分量(c)共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量(d)圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量(a)奇對(duì)稱(chēng)分量和偶對(duì)稱(chēng)分量x(n)為任一序列(實(shí)或純虛序列),x(n)總能表示成一個(gè)奇對(duì)稱(chēng)序列xo(n)和一個(gè)偶對(duì)稱(chēng)序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).其中,xo(n)奇對(duì)稱(chēng)序列稱(chēng)為x(n)的奇對(duì)稱(chēng)分量;xe(n)偶對(duì)稱(chēng)序列稱(chēng)為x(n)的偶對(duì)稱(chēng)分量.看出這樣得到的xo(n)

和xe(n)分別滿足奇對(duì)稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)的條件,且二者之和為x(n)。說(shuō)明若x(n)為有限長(zhǎng)序列且0≤n≤N-1,則xo(n)與xe(n)點(diǎn)數(shù)長(zhǎng)度

均為(2N-1).區(qū)別于奇對(duì)稱(chēng)(序列)和偶對(duì)稱(chēng)(序列).(b)圓周奇對(duì)稱(chēng)分量和圓周偶對(duì)稱(chēng)分量

x(n)是長(zhǎng)度N的有限長(zhǎng)序列,可表示成一個(gè)圓周奇對(duì)稱(chēng)序列xop(n)和一個(gè)圓周偶對(duì)稱(chēng)序列xep(n)之和，即x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)稱(chēng)為x(n)的圓周奇對(duì)稱(chēng)分量;xep(n)稱(chēng)為x(n)的圓周偶對(duì)稱(chēng)分量.

看出滿足圓周奇對(duì)稱(chēng)和圓周偶對(duì)稱(chēng)的條件,且二者之和為x(n).說(shuō)明此時(shí)xo(n)與xe(n)均為有限長(zhǎng)序列0nN-1.區(qū)別于圓周奇對(duì)稱(chēng)(序列)和圓周偶對(duì)稱(chēng)(序列).(c)共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量

x(n)能表示成共軛對(duì)稱(chēng)序列xo(n)和共軛反對(duì)稱(chēng)序列xe(n)之和,即x(n)=xo(n)+xe(n).

其中,xo(n)又稱(chēng)為x(n)的共軛反對(duì)稱(chēng)分量;

xe(n)又稱(chēng)為x(n)的共軛對(duì)稱(chēng)分量.看出xo(n)

和xe(n)分別滿足奇對(duì)稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)的條件,且二者之和為x(n)。

(d)圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量和圓周共軛反對(duì)稱(chēng)

分量

x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列,可表示成一圓周共軛反

對(duì)稱(chēng)序列xop(n)和一圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列xep(n)之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n).其中xop(n)稱(chēng)為x(n)的圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量;

xep(n)稱(chēng)為x(n)的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量看出滿足圓周奇對(duì)稱(chēng)和圓周偶對(duì)稱(chēng)的條件,且二者之和為x(n).返回5.相關(guān)(1)線性相關(guān)(2)圓周相關(guān)(1)線性相關(guān)設(shè)有限長(zhǎng)序列則線性相關(guān)定義為線性相關(guān)結(jié)果長(zhǎng)度變成N1+N2-1(2)圓周相關(guān)設(shè)有限長(zhǎng)序列則x1(n)與x2(n)N點(diǎn)圓周相關(guān)定義為注：圓周相關(guān)結(jié)果長(zhǎng)度不變?yōu)镹。離散付里葉變換的性質(zhì)在由DFS引出DFT的過(guò)程中我們知道，DFT本質(zhì)上是和周期序列的DFS概念緊密相關(guān)的，因而它們?cè)谛再|(zhì)上有著極大的相似，并由DFT隱含周期性（對(duì)應(yīng)于DFS的顯式周期性）所保證。假定x1(n）,x2(n)都是列長(zhǎng)為N的有限序列，它們的離散付里葉變換分別為：

X1(k)=DFT[x1(n)]X2(k)=DFT[x2(n)]（1）線性x1(n),x2(n)的線性組合有：其中a,b為任一常數(shù)，本性質(zhì)可由定義直接證明。證：線性說(shuō)明如果x1(n)和x2(n)長(zhǎng)度皆為N,即0≤n≤N-1范圍有值,則aX1(k)+bX2(k)的長(zhǎng)度也是N;若x1(n)和x2(n)長(zhǎng)度不等,設(shè)x1(n)長(zhǎng)度為N1,x2(n)長(zhǎng)度為N2,則ax1(n)+bx2(n)的長(zhǎng)度應(yīng)為N=max[N1,N2],故DFT必須按長(zhǎng)度N計(jì)算。若N1<N2，則N=N2,那么需將x1(n)補(bǔ)上N2-N1個(gè)零值點(diǎn)后變成長(zhǎng)度為N序列,然后都作N點(diǎn)的DFT.(2)離散傅里葉變換的另一公式(3)反轉(zhuǎn)定理若x(n)的離散傅里葉變換為X(k),

則x(-n)的離散傅里葉變換為X(-k).(4)序列的總和列長(zhǎng)為N的時(shí)間序列x(n)中各取樣值的總和等于其離散傅里葉變換X(k)在k=0時(shí)的值(5)序列的初值若序列的離散傅里葉變換為X(k),則對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列x(n)為頻譜序列各取樣值X(k)的總和除以N，(6)延長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換這意味著，g(n)的頻譜G(k)與x(n)的頻譜X(k)是相對(duì)應(yīng)的，只不過(guò)G(k)的頻譜間隔比X(k)的頻譜間隔降低k/r。即若把序列x(n)填充零值而人為的加長(zhǎng)再進(jìn)行離散傅里葉變換，可以得到頻譜更加細(xì)致。若增加的長(zhǎng)度并非N的整數(shù)倍，得到離散傅里葉變換G(k)的譜線為X(k)多。(7)時(shí)間移位設(shè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)

DFT[x(n)]=X(k)

則DFT[x((n+m))NRN(n)]=WN-mkX(k)說(shuō)明：（1）本性質(zhì)描述了有限長(zhǎng)序列時(shí)域移位后頻域的變化規(guī)律.（2）只有采用圓周移位這一能體現(xiàn)DFT的隱含周期性的移位方式,才能得到本性質(zhì)所描述的結(jié)果.證：時(shí)移--平移(8)頻域移位設(shè)頻域N點(diǎn)，有限長(zhǎng)序列X(k)

則本性質(zhì)與時(shí)域移位性質(zhì)成對(duì)偶關(guān)系.本性質(zhì)又稱(chēng)調(diào)制特性,時(shí)域的調(diào)制等效于頻域移位.注意是圓周移位

.由此性質(zhì)可得出時(shí)域、頻域調(diào)制的兩個(gè)公式。應(yīng)用--時(shí)域調(diào)制公式時(shí)域調(diào)制頻域移位

(9)圓周卷積定理時(shí)域卷積--->頻域相乘頻域卷積--->時(shí)域相乘與其他變換（FT/L/Z)的卷積定理相似的.

但由于DFT隱含的周期性,卷積必須是圓周卷積才有此性質(zhì).注意第二個(gè)關(guān)系中的系數(shù),不要忽略。線卷積和圓卷積步驟比較線卷積：反折、平移、相乘、積分（或相加）圓卷積：周期化、反折、平移、相乘、相加(11)圓周相關(guān)定理設(shè)x1(n)對(duì)x2(n)的互相關(guān)為Rx1x2(n),則有：不要弄錯(cuò)關(guān)系式中x1(n)，x2(n)及X1(k),X2(k)的順序.相關(guān)定理不滿足交換律,這點(diǎn)和卷積定理不同!有限長(zhǎng)序列的相關(guān)運(yùn)算可分為圓相關(guān)（循環(huán)相關(guān))與線相關(guān)兩種形式通?？山柚趫A相關(guān)求線相關(guān)。（復(fù)習(xí))卷積離散線卷積：離散圓卷積：離散線相關(guān)：離散圓相關(guān)：卷積與相關(guān)不同：y是共軛且y中為m-n,卷積與次序無(wú)關(guān)而相關(guān)與次序有關(guān)。

(11)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)DFT的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)較為復(fù)雜,歸為以下三類(lèi):1.共軛與圓周共軛對(duì)稱(chēng)在時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系;2.實(shí)(虛)部與圓周共軛對(duì)稱(chēng)(反對(duì)稱(chēng))分量在時(shí)

頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系;3.時(shí)域?yàn)閷?shí)序列時(shí)對(duì)應(yīng)DFT特征;在以上對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的基礎(chǔ)上,可歸納總結(jié)出x(n)與X(k)的奇、偶、虛、實(shí)關(guān)系,利用這些關(guān)系,可減少計(jì)算DFT時(shí)的運(yùn)算量。1.共軛與圓周共軛對(duì)稱(chēng)在時(shí)頻域的對(duì)

應(yīng)關(guān)系

設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列,0≤n≤N-1則有：

關(guān)系1

關(guān)系2

關(guān)系3返回關(guān)系1時(shí)域x(n)取共軛

,對(duì)應(yīng)于頻域X(k)取圓周共軛對(duì)稱(chēng).若x(n)本身是實(shí)序列,對(duì)應(yīng)于頻域X(k)就是圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然.原序列序列共軛頻域圓周共軛原序列為實(shí)序列，其頻域?yàn)閳A周共軛對(duì)稱(chēng)序列證明返回關(guān)系2時(shí)域x(n)取圓周偶對(duì)稱(chēng),對(duì)應(yīng)于頻域X(k)也取圓周偶對(duì)稱(chēng).若x(n)本身是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列,對(duì)應(yīng)頻域X(k)也是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然.證明解釋?zhuān)涸O(shè)有限長(zhǎng)N序列為x(n)=xe(n)+xo(n)已知時(shí)域x(n)取圓周偶對(duì)稱(chēng),則有：對(duì)應(yīng)于頻域X(k)也取圓周偶對(duì)稱(chēng).如果x(n)是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列，即只有xe(n)分量，則X(k)當(dāng)然也是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列。關(guān)系3此關(guān)系與關(guān)系1成對(duì)偶關(guān)系.頻域X(k)取共軛,對(duì)應(yīng)于時(shí)域x(n)取圓周共軛對(duì)稱(chēng).若X(k)是實(shí)序列,則對(duì)應(yīng)時(shí)域x(n)是圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然.原序列序列時(shí)域圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列頻域共軛對(duì)稱(chēng)原序列為實(shí)序列，其頻域?yàn)閳A周共軛對(duì)稱(chēng)序列序列取圓周偶對(duì)稱(chēng)，其頻域?yàn)閳A周偶對(duì)稱(chēng)序列返回2.實(shí)(虛)部與圓周共軛對(duì)稱(chēng)(反對(duì)稱(chēng))分量在

時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列0≤n≤N-1則有

關(guān)系1

關(guān)系2

關(guān)系3返回關(guān)系1時(shí)域x(n)取實(shí)部,對(duì)應(yīng)頻域取X(k)的圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量.若x(n)本身是實(shí)序列,那么由于因而對(duì)應(yīng)頻域X(k)是圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列;反之亦然.返回關(guān)系2時(shí)域x(n)取虛部并加權(quán)j,對(duì)應(yīng)頻域取X(k)的圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量.若x(n)本身是純虛序列,那么X(k)返回關(guān)系3說(shuō)明：（1）對(duì)時(shí)域x(n)取圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量(xep(n)),即對(duì)頻域X(k)取實(shí)部；（2）對(duì)時(shí)域x(n)取圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量(xop(n)),即對(duì)頻域X(k)取虛部加權(quán)j；（3）若X(k)本身是實(shí)序列，則時(shí)域x(n)是圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列；（4）若X(k)本身是純虛序列，則時(shí)域x(n)是圓周共軛反對(duì)稱(chēng)序列；反之亦然。返回3.時(shí)域是實(shí)序列時(shí)對(duì)應(yīng)DFT特征設(shè)x(n)為長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)實(shí)序列,

0≤n≤N-1,DFT[x(n)]=X(k)有以下幾個(gè)特征：（5個(gè)）特征1X(k)=X*((N-k))NRN(k)說(shuō)明：（1）x(n)的DFT[X(k)]是圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列。

（2）是實(shí)（虛）部與圓周共軛對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）

分量在時(shí)域、頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特征2Re[X(k)]=Re[X((N-k))N]RN(k)說(shuō)明：

X(k)的實(shí)部是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列。特征3Im[X(k)]=-Im[X((N-k))N]RN(k)說(shuō)明：

X(k)的虛部是圓周奇對(duì)稱(chēng)序列。特征4|X(k)|=|X((N-k))N|RN(k)說(shuō)明：

X(k)的模是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列。特征5arg[X(k)]=-arg[X((N-k))N]RN(k)說(shuō)明：

X(k)的相角是圓周奇對(duì)稱(chēng)序列。

返回4.序列及其DFT的奇偶虛實(shí)關(guān)系由上對(duì)稱(chēng)性質(zhì)基礎(chǔ)上，可歸納總結(jié)出x(n)與X(k)的奇、偶；虛、實(shí)關(guān)系，利用這些關(guān)系，可以減少計(jì)算DFT的運(yùn)算量。下面總結(jié)歸納出有限長(zhǎng)序列及其DFT的奇、偶；虛、實(shí)關(guān)系。這一關(guān)系清晰地展示了時(shí)域序列的奇、偶；虛、實(shí)特性與頻域序列的奇、偶；虛、實(shí)特性是如何對(duì)應(yīng)的。(1)奇、偶；虛、實(shí)的含義所謂奇,偶,虛,實(shí)的含義如下:奇----指序列是圓周奇對(duì)稱(chēng)序列偶----指序列是圓周偶對(duì)稱(chēng)序列虛----指序列是純虛序列實(shí)----指序列是實(shí)序列(2)奇偶虛實(shí)關(guān)系表(13)DFT形式下的帕塞瓦爾定理（Parseval’sTheorem)說(shuō)明：（1）DFT形式下的帕塞瓦爾定理

(Parseval‘s,Theorem)(2)需令y(n)=x(n),再兩邊取模，便得到明確物理意義的能

量計(jì)算公式。證明DFT性質(zhì)一覽表1DFT性質(zhì)一覽表2抽樣z變換頻率抽樣理論時(shí)域抽樣定理

奈奎斯特抽樣定理：要想抽樣后能夠不失真的還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率。即或抽樣內(nèi)插公式即由信號(hào)的抽樣值xa(mT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號(hào)xa(t).主要內(nèi)容（1）z變換與DFT的關(guān)系（抽樣z變換），并引出抽樣z變換的概念，討論頻域抽樣不失真條件。（2）頻域抽樣理論（頻域抽樣不失真條件）（3)頻域內(nèi)插公式1、z變換與DFT關(guān)系

（1）引入FT引出DFT定義式。DFT看作是序列的傅里葉變換在頻域抽樣后的變換對(duì).序列的傅里葉變換是單位圓上的Z變換.對(duì)DTFT進(jìn)行頻域抽樣時(shí),自然可以看作是對(duì)單位圓上的Z變換進(jìn)行抽樣.(2)推導(dǎo)w是單位圓上各點(diǎn)的數(shù)字角頻率.Z變換的定義式(正變換):取z=ejw

代入,得到單位圓上Z變換為則這正是離散傅里葉變換(DFT)正變換定義式.再抽樣--N等分抽樣間隔w=2kπ/N,即w值為0,2π/N,4π/