高考數(shù)學(理)一輪復習課件：二項式定理

第三節(jié)二項式定理1.能用計數(shù)原理證明二項式定理；2.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.1.二項展開式的通項公式的應用，利用通項公式求特定的項或特定項的系數(shù)，或已知某項，求指數(shù)n等是考查重點；2.賦值法、化歸思想是解決二項展開式問題的基本思想和方法，也是高考考查的熱點；3.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識點交匯則以解答題為主.1.二項式定理二項式定理二項展開式的通項二項式系數(shù)(a+b)n=__________________________________________(n∈N*)Tk+1=__________,二項展開式中各項的系數(shù)為_________________________________(k=0,1,2,…,n)它表示第______項【即時應用】(1)(a+b)n展開式中，二項式系數(shù)(k=0,1,2,…,n)與展開式中項的系數(shù)______(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)=______.(3)的展開式中，x3的系數(shù)等于______.【解析】(1)二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念,二項式系數(shù)是指它只與各項的項數(shù)有關，而與a,b無關；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的部分，它不僅與各項的二項式系數(shù)有關，而且也與a,b所代表的項有密切關系.(2)原式=(1-2)11=-1.(3)的通項為Tr＋1＝令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，故x3的系數(shù)為(－1)2＝15.答案：(1)不一定(2)-1(3)152.二項式系數(shù)的性質(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即_________.(2)增減性：①二項式系數(shù)當k＜_____時，二項式系數(shù)是遞增的；②當k＞______時，二項式系數(shù)是遞減的.3)最大值:①當n是偶數(shù)時，中間的一項___取得最大值；②當n是奇數(shù)時，中間兩項_____和_____相等，且同時取得最大值.【即時應用】(1)二項式(1-x)4n+1的展開式中，系數(shù)最大的項為第______項.(2)若展開式中第6項的系數(shù)最大，則不含x的項等于______.【解析】(1)因為4n+1為奇數(shù)，所以展開式有4n+2項，則T2n+1=(-x)2n,T2n+2=(-x)2n+1，系數(shù)分別為所以系數(shù)最大的項為第2n+1項.(2)由已知，得第6項應為中間項，則n=10.令30-5r=0，得r=6.∴T6+1==210.答案：(1)2n+1(2)2103.各個二項式系數(shù)的和(1)(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于___，即_____________________；(2)二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即=______________=_____.2n2n-1【即時應用】(1)若(x－)n的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項的系數(shù)之和為______.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0-a1+a2-a3+a4等于______.(3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0+a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于______．【解析】(1)依題意，得＝15，即＝15，n(n－1)＝30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展開式中所有項的系數(shù)之和為(1－)6＝(2)由題意，可知令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝［3－(－1)］4＝256.(3)分別令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案:(1)(2)256(3)-256

求二項展開式中特定的項或特定項的系數(shù)【方法點睛】1.理解二項式定理應注意的問題(1)Tr+1通項公式表示的是第“r+1”項，而不是第“r”項；(2)通項公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開式中第r+1項的二項式系數(shù)與第r+1項的系數(shù)在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細心,以防出錯.2.求特定項的步驟(1)根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n為正整數(shù)，r為非負整數(shù)，且r≤n)；(2)根據(jù)所求項的指數(shù)特征求所要求解的項.【例1】(1)(2012?寧波模擬)在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有______項.(2)(2012?煙臺模擬)(x+-1)5展開式中的常數(shù)項為______.(3)在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項是第幾項？【解題指南】(1)先明確系數(shù)為有理數(shù)的項的特征，然后由二項展開式的通項找出符合條件的項的個數(shù).(2)可將括號內的三項分成兩組看成兩項，再利用二項式定理求解，也可直接展開所給式子進行求解.(3)設第r+1項系數(shù)的絕對值最大，據(jù)此可構造含有r的不等式組，求出r的范圍后，再求項數(shù).【規(guī)范解答】(1)∵要求系數(shù)為有理數(shù)的項，則r必須能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，當且僅當r=0,4,8,12,16,20時所對應的項系數(shù)為有理數(shù).答案:6(2)方法一：∵(x+-1)5=［(x+)-1］5,∴它的展開式的通項為：Tr+1=(0≤r≤5).當r=5時，Tr+1=×1×(-1)5=-1，當0≤r＜5時，(x+)5-r的通項公式為

∵0≤r≤5且r∈Z,∴r只能取1或3,相應的k值分別為2或1，即或所以，其常數(shù)項為

(-1)+(-1)3+(-1)=-51.方法二：由于本題只是5次展開式，也可以直接展開［(x+)-1］5，即［(x+)-1］5=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的對稱性知，只有在x+的偶次冪中，其展開式才會出現(xiàn)常數(shù)項，且是各自的中間項.所以，其常數(shù)項為：答案:-51(3)設第r+1項系數(shù)的絕對值最大，則即：5≤r≤6，故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項.【互動探究】在本例(3)中，條件不變，求系數(shù)最大的項和最小的項？【解析】由本例(3)知，展開式的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大，而第6項的系數(shù)為負，第7項的系數(shù)為正.故系數(shù)最大的項為：系數(shù)最小的項為：【反思?感悟】求二項式n次冪的展開式中的特定項，一般利用結合律，借助于二項式定理的通項求解；當冪指數(shù)比較小時，可以直接寫出展開式的全部或局部.【變式備選】已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中所有的有理項.

二項式系數(shù)和或各項的系數(shù)和【方法點睛】賦值法的應用(1)對形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=【提醒】“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應引起注意.【例2】(2012?梅州模擬)設(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求：(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.【解題指南】(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5為關于x的恒等式，求系數(shù)和的問題可用賦值法解決.【規(guī)范解答】設f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)∵a5=25=32,∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),∴a1+a3+a5==122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=-243.【反思?感悟】1.賦值法是解這類問題的重要方法，運用賦值法求值要抓住代數(shù)式的結構特征，通過特殊值代入構造相應的結構.2.本題是關于二項展開式各項系數(shù)的常見問題，應掌握f(1),f(-1)的意義，借助f(1)求展開式各項的系數(shù)和是常用的方法.【變式訓練】1.已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝______.【解析】易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.答案:42.已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.【解析】由二項式定理，得代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.答案:64【變式備選】設(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0.(1)求a100+a99+a98+…+a1的值；(2)求a100+a98+a96+…+a2+a0的值.【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+…+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+…+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98+…-a1+a0=1,①而a100+a99+a98+…+a1+a0=1,②①+②整理可得a100+a98+a96+…+a2+a0=1.

二項式定理的綜合應用【方法點睛】二項式定理的綜合應用(1)利用二項式定理進行近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1+x)n≈1+nx.(2)利用二項式定理證明整除問題或求余數(shù)問題:在證明整除問題或求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項都有除式的因式，要注意變形的技巧.(3)利用二項式定理證明不等式:由于(a+b)n的展開式共有n+1項，故可以對某些項進行取舍來放縮，從而達到證明不等式的目的.【例3】(1)求證：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)根據(jù)所要求的精確度，求1.025的近似值.(精確到0.01).【解題指南】(1)將6拆成“5+1”，將5拆成“4+1”,進而利用二項式定理求解.(2)把1.025轉化為二項式，適當展開，根據(jù)精確度的要求取必要的幾項即可.【規(guī)范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋＋…＋)＋(4n－1＋＋…＋)］，是20的倍數(shù)，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=∴當精確到0.01時，只要展開式的前三項和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10.【互動探究】將本例(2)中精確到0.01改為精確到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，當精確到0.001時，只要取展開式的前四項和,1+0.10+0.004+0.00008=1.10408.近似值為1.104.【反思?感悟】利用二項式定理證明整除問題時，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī)律，余項是什么，必須清楚.2.求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.因為T3＝(－0.002)2＝15×(－0