2022-2023學年上海市寶山區(qū)市級名校高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.322.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位3.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實數(shù)的最小值為()A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓與的圖象交于兩點,且在軸上,則下列說法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱5.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.7.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.28.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.9.已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A,B兩點,焦點F(0,-c),其中c為半焦距,若△ABF是直角三角形,則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.11.復數(shù)的共軛復數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.設(shè),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.14.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.16.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,則實數(shù)的取值范圍有___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,解關(guān)于的不等式;(2)若對任意,都存在,使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點在曲線上,點在曲線上,求的最小值及此時點的坐標.19.(12分)如圖,底面ABCD是邊長為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.20.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大?。唬?)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.21.(12分)如圖,四邊形中,,,,沿對角線將翻折成,使得.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.2、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值.【詳解】因為不等式有正整數(shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當時,,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當時,,故,解得.故選:A.【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點的橫坐標為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當時,,即函數(shù)的一個對稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱.故選B.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程,解方程求得的值.【詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

通過取特殊值逐項排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為,當時,,排除B和C;當時,,排除A.故選:D.【點睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項是基本手段,屬中檔題.9、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A,B兩點,利用平面向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的關(guān)系式,解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程,解方程可得或,不妨設(shè)A(0,a),B(-b,0),由題意可知,·=0,因為,,由平面向量垂直的坐標表示可得,,因為,所以a2-c2=ac,兩邊同時除以可得,,解得e=或(舍去),所以該橢圓的離心率為.故選:A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示;考查運算求解能力和知識遷移能力;利用平面向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.10、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.11、A【解析】

試題分析:由題意可得:.共軛復數(shù)為,故選A.考點:1.復數(shù)的除法運算;2.以及復平面上的點與復數(shù)的關(guān)系12、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點:復合函數(shù)求值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得,結(jié)合雙曲線的定義可知,結(jié)合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系,分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題,一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì),可大大減少計算量.14、【解析】

如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,計算得到,得到答案.【詳解】如圖所示,將三棱錐補成長方體,球為長方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學生的計算能力和空間想象能力,將三棱錐補成長方體是解題的關(guān)鍵.15、2【解析】

根據(jù)為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎(chǔ)題.16、或【解析】

函數(shù)的零點方程的根,求出方程的兩根為,,從而可得或,即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根,所以,解得:,,因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點,所以或,即或.【點睛】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,在求含絕對值方程時,要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負進行討論.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)分類討論去絕對值號,然后解不等式即可.(2)因為對任意,都存在,使得不等式成立,等價于,根據(jù)絕對值不等式易求,根據(jù)二次函數(shù)易求,然后解不等式即可.【詳解】解:(1)當時,,則當時,由得,,解得;當時,恒成立;當時,由得,,解得.所以的解集為(2)對任意,都存在,得成立,等價于.因為,所以,且|,①當時,①式等號成立,即.又因為,②當時,②式等號成立,即.所以,即即的取值范圍為:.【點睛】知識:考查含兩個絕對值號的不等式的解法;恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題;能力:分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力;中檔題.18、(1);(2)最小值為,此時【解析】

(1)消去曲線參數(shù)方程的參數(shù),求得曲線的普通方程.利用極坐標和直角坐標相互轉(zhuǎn)化公式,求得曲線的直角坐標方程.(2)設(shè)出的坐標,結(jié)合點到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法,求得的最小值及此時點的坐標.【詳解】(1)消去得,曲線的普通方程是:;把,代入得,曲線的直角坐標方程是(2)設(shè),的最小值就是點到直線的最小距離.設(shè)在時,,是最小值,此時,所以,所求最小值為,此時【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程,考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O(shè)為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設(shè)平面BEF的法向量為,,,設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..【點睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算,考查學生的計算能力,解決此類問題最關(guān)鍵是準確寫出點的坐標,是一道中檔題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標原點,分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標,求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??;

(2)設(shè)棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標,然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點的坐標.試題解析:解(1)如圖,以為原點建立空間直角坐標系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點,設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點,其坐標為.點睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標,求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.21、(1)見證明;(2)【解析】

(1)取的中點,連.可證得,,于是可得平面,進而可得結(jié)論成立.(2)運用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中點,連結(jié),∵,∴,又,∴.又由題意得為等邊三角形,∴,∵,∴平面.作,則有平面,∴就是直線與平面所成的角.設(shè),則,在等邊中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.解法2:由題意可得,建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設(shè),則在直角三角形中,可得,作于,則有平面幾何知識可得,∴.又可得,.∴,.設(shè)平面的一個法向量為,由,得,令,則得.又,設(shè)直線與平面所成的角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】利用向量法求解直線和平面所成角時,關(guān)鍵點是恰當建立空間直角坐標系,確定斜線的方向向量和平面的法向量.解題時通過

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