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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.2.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.23.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.36.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,則實(shí)數(shù)a為()A. B.2 C. D.7.若實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.8.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,則()A. B. C. D.9.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點(diǎn),且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時(shí),輸出的值等于()A.1 B. C. D.11.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.612.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的值域?yàn)開________.14.已知,若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30,則______.15.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為__________.16.邊長(zhǎng)為2的菱形中,與交于點(diǎn)O,E是線段的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)F,若,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(Ⅱ)若存在滿足不等式,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意恒成立.20.(12分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,連接,,為的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.21.(12分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù)),在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的正半軸為極軸,且與平面直角坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中,曲線:.(1)求曲線的普通方程以及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等,求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo).22.(10分)已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作軸于Q,線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn),而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn),則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),;當(dāng)直線經(jīng)過時(shí),,可知當(dāng)時(shí),直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn),即方程,在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想,屬于中檔題.2、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項(xiàng).5、A【解析】
直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由實(shí)部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,,即.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點(diǎn),由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
求得點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.10、C【解析】
根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對(duì)x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn),構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用換元法,得到,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可得到函數(shù)的值域,得到答案.【詳解】由題意,可得,令,,即,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在為增函數(shù),在為減函數(shù),又,,,故函數(shù)的值域?yàn)椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,其中解答中合理利用換元法得到函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與預(yù)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),求得的值.【詳解】展開式通項(xiàng)為:且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大,即:解得:(舍去)或本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.16、【解析】
取基向量,,然后根據(jù)三點(diǎn)共線以及向量加減法運(yùn)算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實(shí)數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分類討論解絕對(duì)值不等式得到答案.(Ⅱ)討論和兩種情況,得到函數(shù)單調(diào)性,得到只需,代入計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),不等式為,變形為或或,解集為或.(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,由此可知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),同樣得到在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,存在滿足不等式,只需,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式,不等式存在性問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)因?yàn)?,可得,即可求得答案;?)要證對(duì)任意恒成立,即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線方程為.(2)要證對(duì)任意恒成立.即證對(duì)任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時(shí),,,令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,即當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)、,四邊形是平行四邊形,由,,得,從而,,求出,由此能證明.(Ⅱ)以為原點(diǎn),、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)、,∵,,∴四邊形是平行四邊形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵為的中點(diǎn),∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以為原點(diǎn),、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,∴,,,設(shè)面的法向量,則,取,得,同理,得平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角,考查基本分析求解能力,屬中檔題.21、(1),;(2),,.【解析】
(1)把曲線的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程;(2)利用圖象求出三個(gè)點(diǎn)的極徑與極角.【詳解】解:(1)由消去參數(shù)得,即曲線的普通方程為,又由得即為,即曲線的平面直角坐標(biāo)方程為(2)∵圓心到曲線:的距離,如圖所示,所以直線與圓的切點(diǎn)以及直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn),即為所求.∵,則,直線的傾斜角為,即點(diǎn)的極角為,所以點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為,所以三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,.【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:①代入消元法;②加減消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,只要將和換成和即可.22、(1)(
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