2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及標(biāo)準答案

2０11年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試一、填空題（每小題8分,共6４分）1．設(shè)集合,若中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為，則集合.２．函數(shù)的值域為．3.設(shè)為正實數(shù),,,則．4.如果,，那么的取值范圍是.5.現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個運動項目,要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個項目，每個項目都有人參加,每人只參加一個項目,則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為．（用數(shù)字作答)６．在四面體AＢCD中,已知,,,則四面體的外接球的半徑為．7．直線與拋物線交于A,Ｂ兩點,C為拋物線上的一點，,則點的坐標(biāo)為.8．已知C，則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為．二、解答題（本大題共3小題,共56分)9.（16分)設(shè)函數(shù),求,實數(shù)的值.滿足，10．(２0分)已知數(shù)列滿足：R且，N．(１)求數(shù)列（2）若的通項公式;,試比較與的大小.11．(本小題滿分２0分）作斜率為的直線與橢圓:在直線的左上方.交于兩點（如圖所示)，且(1)證明：△（2)若解答的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；,求△的面積．1．.提示：顯然，在的所有三元子集中，每個元素均出現(xiàn)了3次,所以，故，于是集合的四個元素分別為5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合.2..提示:設(shè),且,則.設(shè),則,且,所以.又．3.-1.提示：由,得，即．于是．再由不等式①中等號成立的條件，得.與聯(lián)立解得或故.4．.提示:不等式等價于．又是上的增函數(shù)，所以，故Ｚ).因為，所以的取值范圍是．5.１50０0.提示:由題設(shè)條件可知,滿足條件的方案有兩種情形:(1）有一個項目有3人參加，共有種方案；（２)有兩個項目各有2人參加，共有種方案;所以滿足題設(shè)要求的方案數(shù)為.6．.提示：設(shè)四面體的外接球球心為，則在過△的外心且垂直于平面的垂線上．由題設(shè)知，△是正三角形,則點為△的中心．設(shè)分別為的中點,則在上，且，.因為，設(shè)與平面所成角為,可求得．在△中,.由余弦定理得，故．四邊形的外接圓的直徑.故球的半徑．7．或.提示:設(shè)，由得,則,．又，所以,．因為，即，即，即.，所以,即有顯然,否則,則點在直線上，從而點與點或點重合．所以,解得.故所求點的坐標(biāo)為或．8.1５．提示：C．要使為整數(shù),必有均為整數(shù),從而.當(dāng)2,８,１4,２0,２6,３2,38,44,５0,5６,６２,68,７4,80時，和均為非負整數(shù)，所以為整數(shù)，共有14個．當(dāng)時,C，在C中,中因數(shù)２的個數(shù)為，同理可計算得中因數(shù)2的個數(shù)為８2，中因數(shù)2的個數(shù)為110,所以C中因數(shù)２的個數(shù)為,故是整數(shù).當(dāng)時,C，在Ｃ中，同樣可求得中因數(shù)2的個數(shù)為8８,中因數(shù)2的個數(shù)為１０5,故C中因數(shù)2的個數(shù)為,故不是整數(shù)．因此，整數(shù)項的個數(shù)為.９.因為,所以,所以或，又因為,所以，所以．又由有意義知,從而，于是.所以．從而.又，所以，故.解得或(舍去）.把代入解得．所以,.10.(１)由原式變形得，則.記,則，．又，從而有,故