【三維設(shè)計】高考數(shù)學 第七章第八節(jié)立體幾何中的向量方法課件 理 新人教A

第七章立體幾何第八節(jié)立體幾何中的向量方法(理)抓基礎(chǔ)明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么1.理解直線的方向向量與平面的法向量．2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平

面的垂直、平行關(guān)系．3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題．4.能用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.

怎

么

考利用向量法求空間角的大小是命題的熱點．著重考查學生建立空間坐標系及空間向量坐標運算的能力．題型多為解答題，難度中檔.2．在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點A的平面是

．一、平面的法向量1．所謂平面的法向量，就是指所在的直線與

的向量，顯然一個平面的法向量有

多個，它們是

向量．平面垂直無數(shù)共線唯一的二、利用向量求空間角1．兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cosφ＝|cosθ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．3．求二面角的大小(1)如圖①，AB、CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝

．(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的小大θ＝

．〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)答案：A1．若平面π1，π2垂直，則下面可以是這兩個平面的法向量的是 (

)A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)解析：兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項A中的兩個向量垂直．2．(教材習習題改改編)已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c與a及b都垂直直，則則m，n的值分分別為為()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2答案：：A答案：：A4．在四四棱錐錐P－ABCD中，底底面ABCD為直角角梯形形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6.則直線線PD與BC所成的的角為為________．解析：：以A為坐標標原點點，AD、AB、AP所在的的直線線分別別為x軸、y軸、z軸，建建立如圖圖所示示的空空間直直角坐坐標系系，則則A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)．答案：：60°°1．平面面的法法向量量的求求法設(shè)出平平面的的一個個法向向量n＝(x，y，z)，利用用其與與該平平面內(nèi)內(nèi)的兩兩個不不共線線向量量垂直直，即即數(shù)量量積為為0，列出出方程程組，，兩個個方程程，三三個未未知數(shù)數(shù)，此此時給給其中中一個個變量量恰當當賦值值，求求出該該方程程組的的一個個非零零解，，即得得到這這個法法向量量的坐坐標．．注意意，賦賦值不不同得得到法法向量量的坐坐標也也不同同，法法向量量的坐坐標不不唯一一．2．利用用向量量法求求空間間角利用向向量法法求空空間角角時，，要注注意空空間角角的取取值范范圍與與向量量夾角角取值值范圍圍的區(qū)區(qū)別，，特別別地二二面角角的大大小等等于其其法向向量的的夾角角或其其補角角，到到底等等于哪哪一個個，要要根據(jù)據(jù)題目目的具具體情情況看看二面面角的的大小小是銳銳角還還是鈍鈍角．．[巧練模模擬]—————————(課堂突突破保保分題題，分分分必必保！！)[沖關(guān)錦錦囊]利用直直線的的方向向向量量與平平面的的法向向量，，可以以判定定直線線與直直線、、直線線與平平面、、平面面與平平面的的平行行和垂垂直．．1．設(shè)直直線l1的方向向向量量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向向量量v2＝(a2，b2，c2)．則l1∥l2?v1∥v2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.2．設(shè)設(shè)直直線線l的方方向向向向量量為為v＝(a1，b1，c1)，平平面面α的法法向向量為為n＝(a2，b2，c2)，則則l∥α?v⊥n?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α?v∥n?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．3．設(shè)設(shè)平平面面α的法法向向量量n1＝(a1，b1，c1)，β的法法向向量量為為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2，α⊥β?n1⊥n2.[精析考題題][例2](2011·大綱版全全國高考考)如圖，四四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三三角形．．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成的角角的正弦弦值．2．(2011·湖州第一一次質(zhì)檢檢)如圖，正正方形ADEF和等腰梯梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求證：AC⊥平面ABF；(2)求異面直線BE與AC所成的角的余余弦值．解：(1)證明：因為平平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF所以AC⊥平面ABF.3.(2012·廣州調(diào)研)如圖所示，在在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點M.(1)求證證：：AM⊥PD；(2)求直直線線CD與平平面面ACM所成成解：：(1)證明明：：∵∵PA⊥平平面面ABCD，AB?平平面面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面面PAD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.[沖關(guān)錦錦囊]2．利用用向量量法求求線面面角的的方法法一是分分別求求出斜斜線和和它在在平面面內(nèi)的的射影影直線線的方方向向向量，，轉(zhuǎn)化化為求求兩個個方向向向量二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.解：如圖，，以D為坐標標原點點，線線段DA的長為為單位位長度度，射射線DA為x軸的正半半軸建建立空空間直直角坐坐標系系D－xyz.[巧練模模擬]———————(課堂突突破保保分題題，分分分必必保！！)4.（2012··南通模模擬））一個個幾何何體是是由如圖圖所示示的圓圓柱ADD1A1和三棱錐E－ABC組合而而成，，點A、B、C在圓柱柱上底底面圓圓O的圓周周上，，且BC過圓心心O，EA⊥平面面ABC.(1)求證：：AC⊥BD；(2)求銳二二面角角A－BD－C的大小?。猓?1)證明：：因為為EA⊥平面面ABC，AC?平面面ABC，所以以EA⊥AC，即ED⊥AC.又因為為AC⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面面EBD.因為BD?平面面EBD，所以AC⊥BD.[沖關(guān)錦錦囊]1．利用用空間間向量量求二二面角角可以以有兩兩種方方法：：一是是分別別在二面角角的兩兩個半半平面面內(nèi)找找到一一個與與棱垂垂直且且從垂垂足出出發(fā)的的兩個個向量量，則則這兩兩個向向量的的夾角角的大大小就就是二二面角角的平平面角角的大大小；；二是是通過過平面面的法法向量量來求求：設(shè)設(shè)二面面角的的兩個個半平平面的的法向向量分分別為為n1和n2，則二二面角角的大大小等等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．2．利用用空間間向量量求二二面角角時，，注意意結(jié)合合圖形形