立體幾何中地向量方法

適用學(xué)科適用區(qū)域知識點教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點教學(xué)難點

實用標(biāo)準(zhǔn)立體幾何中的向量方法高中數(shù)學(xué) 適用年級 高中二年級通用 課時時長（分鐘） 90用空間向量處理平行垂直問題；用空間向量處理夾角問題 .理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法的作用．用向量方法解決立體幾何中的有關(guān)問題用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題文檔實用標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入空間平行垂直問題．兩條直線平行與垂直；２．直線與平面平行與垂直；３．兩個平面平行與垂直；空間夾角問題．兩直線所成角；２．直線和平面所成角；３．二面角的概念；空間距離問題文檔實用標(biāo)準(zhǔn)二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)rr（１）空間向量的直角坐標(biāo)運算律：設(shè)a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則rrrrrab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，rrrrrraba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，aba1b1a2b2a3b30．uuurz1)．（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB(x2x1,y2y1,z2一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)．rrrr222(a1,a2,a3)，則|a|aaa1a2a3（3）模長公式：若a．rrcosrra1b1a2b2a3b3abrabr22|a||b|2222（4）夾角公式：a1a2a3b1b2b3．（5）兩點間的距離公式：若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則22(y1y2)2(z1z2)2．ABAB(x1x2)文檔實用標(biāo)準(zhǔn)三、知識講解考點1 平面法向量的求法r0，在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)n(x,y,z)，它和平面內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，數(shù)量積為建立兩個關(guān)于 x,y,z的方程，再對其中一個變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量．還有幾種求平面法向量的辦法也比較簡便．求法一：先來看一個引理：若平面ABC與空間直角坐標(biāo)系 x軸、y軸、z軸的交點分別為 A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，定義三點分別在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值xA＝a，yB＝b，zC＝c（a,b,c均不為0），則平面ABC的法向量為r1,1,1)(0)．參數(shù)的值可根據(jù)實際需要選?。畁(abc文檔實用標(biāo)準(zhǔn)zCOyBAx證明：→＝→AB(－a,b,0),AC＝(－a,0,c),ruuurruuur∴nAB0,nAC0,r111∴n(,,)是平面ABC的法向量．a(chǎn)bc這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：（1）若平面和某個坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值為 ，法向量對應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為 0．比如若和x軸平行（交點坐標(biāo)值為r1,1)；若平面和x,y），和y軸、z軸交點坐標(biāo)值分別為b、c，則平面法向量為n(0,bc文檔實用標(biāo)準(zhǔn)r1)．軸平行，和z軸交點的坐標(biāo)值為c，則平面法向量為n(0,0,c（2）若平面過坐標(biāo)原點 O，則可適當(dāng)平移平面．求法二：求出平面方程，得到法向量．我們先求過點P0(x0,y0,z0)及以n＝A,B,C為法向量的平面的方程．設(shè)P(x,y,z)是平面上的動點，于是有 P0Pn＝0，即A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0整理得 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0) 0令D Ax0 By0 Cz0，有Ax By Cz D 0這就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程來表示．且 x,y,z的系數(shù)組成該平面的法向量．注意：(1)有了平面的方程 Ax By Cz D 0，就能得到平面的法向量 A,B,C，可用平面內(nèi)不共線的三點求出平面的方程．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)一些特殊情形的平面，方程會更簡捷：通過原點的平面，D0，方程為AxByCz0；平行于x軸的平面，A0，方程為ByCzD0；通過x軸的平面，A0,D0，方程為ByCz0；既平行于x軸又平行于y軸的平面也就是一個平行于xoy坐標(biāo)面的平面，方程為CzD0；,類似地，可討論其它特殊情形．(3)兩平面：A1xB1yC1zD10與A2xB2yC2zD20平行的充要條件是A1:A2B1:B2C1:C2D1:D2求法三：用行列式求得法向量．若n1x1,y1,z1，n2x2,y2,z2是平面內(nèi)兩個不共線向量，ijk計算行列式x1y1z1＝aibjck，x2y2z2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)則平面的法向量為 n a,b,c．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)考點2 用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角時遇到一個難題：二面角的取值范圍是 [0, ]，而兩個向量的夾角取值范圍也是 [0, ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補(bǔ)角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過的那個角即可，但對二面角卻是個難題 .筆者經(jīng)過思考，總結(jié)出一個簡單可行的方法，供讀者參考 .2uurn2uurn1圖一用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向？uruur對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一） ，兩個平面的法向量 n1,n2則應(yīng)分別垂直于文檔實用標(biāo)準(zhǔn)uruur該平面角的兩邊.易知，當(dāng)n1,n2同為逆時針方向或同為順時針方向時，它們所夾的解即為 .所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個法向量即可 .或者可以通俗地理解，起點在半平面上的法向量，如果指向另一個半平面，則稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外”的方向 .兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個法向量方向一個“向內(nèi)”，而另一個“向外”.zrnO yx圖二對第二個問題，我們需要選取一個參照物.在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個坐標(biāo)軸（如z軸），通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過xOy平面呢，還是自上而下r→z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，穿過xOy平面？若是第一種情形，則n與OZ所夾的角是銳角，只需取法向量的文檔實用標(biāo)準(zhǔn)r→z坐標(biāo)為負(fù)即可．若法向量與xOy平面平行，則可以選取其它如yOz平則n與OZ所夾的角是鈍角，只需取法向量的面、zOx平面觀察．（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角．如果分別在兩個半平面內(nèi)作兩個向量（如圖） ，起點在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾的角，與二面角的大小是相等的．這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小帶來的影響．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)考點3 空間直線與空間平面的向量形式在平面解析幾何中，曲線上的動點可以用坐標(biāo)表示，通過對變量的運算達(dá)到求值、證明的目的．在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點也可以用參數(shù)來表示，通過對參數(shù)的運算，同樣可以達(dá)到求值、證明的目的．1．空間直線：如果l為經(jīng)過已知點 A且方向向量為a的直線，那么點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù) t，滿足uuur r等式AP ta，或?qū)θ我稽c O（通常取坐標(biāo)原點），有uuur uuur rOP OA ta這是空間直線的向量形式．2．空間平面：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對s、t，使uuuruuuruuurMPsMAtMB,或?qū)臻g任一定點O（通常取坐標(biāo)原點），有uuuruuuuruuuruuurOPOMsMAtMB.這是空間平面的向量形式．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文檔實用標(biāo)準(zhǔn)四、例題精析【例題１】如圖，在四棱錐 S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 SD⊥底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。(Ⅰ)求證：EF∥平面SAD；(Ⅱ)設(shè)SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大??；SFD CA BE文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz．設(shè)A(a，0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，aab，uuurb．，，，，，EF，0，2222zSG FHDCyAEBxb，則uuurb．，，AG，0，22uuuruuur平面SAD，EF平面SAD，EFAG，EF∥AG，AG文檔實用標(biāo)準(zhǔn)所以EF∥平面SAD．，，，，，，，，，1F1，，，，，．22ur平面AEFG與x軸、z軸的交點分別為A(1,0,0)、G(0,0,1)，與y軸無交點，則法向量n1(1,0,1)，在CD延長線上取點H，使DH＝AE，則DH∥AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG與x軸、y軸、z軸的交點分別為A(1,0,0)、H(0,－1uur(1,2,1)，設(shè)二面角A－EF－D的大小為,0)、G(0,0,1)，則法向量n22，則uruurn1n23，即二面角－－的大小為3cosuruurarccos．n1n23AEFD3文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例題２】 已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中點.（1）求二面角CAM B的大小；（2）求二面角AMC B的大小.文檔實用標(biāo)準(zhǔn)→【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對二面角 CAM B而言， AD是平面AMB的法向量（向內(nèi)），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿過xOy選取上述法向量，則為“向外”的方向，平面正向所夾的角是鈍角.

→所夾的角是銳角.對二面角AMCB而言，平面ACM平面，所以與AZBCM就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時是自上而下穿過xOy平面，與z軸zPMAByDCxur（1）如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AMB的法向量為n1＝(1,0,0),設(shè)uur平面ACM的法向量為n2＝(x,y,z).文檔實用標(biāo)準(zhǔn)由已知C（1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，則M(0,1,1),2→→1).∴AC＝(1,1,0),AM＝(0,1,2uuruuurxy0,n2AC0,取y＝1，則x＝1,z＝2，由uuruuuury1z0.n2AM0.2uur1,2).uur→）.∴n2＝(1,（滿足n2·AZ>0uruur設(shè)二面角CAMB的大小為，則cosn1n21＝uruur,n1n26∴所求二面角的大小為arccos6.6uur（2）選?。?）中平面ACM的法向量n2＝(1,1,2)，設(shè)平面BCM的法向量為uurn3＝(x,y,z).→1,0),→1),BC＝(1,BM＝(0,1,2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)uuruuurxy0,n3BC0,1由uuruuuurn3BM0.yz0.2uuruuruur取z＝－2，則y＝－1,x＝－1，n3＝(－1,－1,－2)，則n2，n3所夾的角大小即為二面角A－MC－B的大小，uuruur設(shè)為，cos＝n2n36，uuruur3n2n36∴所求二面角的大小為－arccos.3文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【例題３】 如圖，已知長方體 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的中點．（1）求二面角E－AC1－B的大小；（2）求二面角C1－AE－B的大?。臋n實用標(biāo)準(zhǔn)→→→→→【解析】在第（1）題中，只需在AC1上找到兩點G、H，使得GB、HE均與AC1垂直，則GB、HE的夾角即uuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuur→為所求二面角的大?。绾未_定G、H的位置呢？可設(shè)GAAC1，GBGAABAC1AB，這樣向量GB就用參→→→H點．第（2）題方法類似．?dāng)?shù)表示出來了，再由GB·AC1＝0求出的值，則向量GB即可確定，同理可定出以B為坐標(biāo)原點，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),B1(0,0,2),C1(1,0,2),→＝(1,→E(0,0,1)．AC1－1,2),AB＝(0,－1,0).uuuruuuur（1）設(shè)GAAC1(,,2)，則zuuuruuuruuur(,1,2),GBGAAB→→＝0＋(＋1)＋4＝0，由GB·AC1H解得：1，x6G→151y∴＝(GB,,).663文檔實用標(biāo)準(zhǔn)→11→→圖六同理可得：＝0．HE＝(,,0)，HE·AC122→ →GB、HE的夾角等于二面角 E－AC1－B的平面角．→→cos<GB,HE>＝uuuruuuruuuruuur1515GBHE6GB2HE,uuuruuuruuuruuur3025GBHE6GB2HE∴二面角E－AC1－B的大小為arccos15.5→在AE上取點M、（2）AE＝(0,－1,1),uuuruuur(0,,)，MAAEuuuruuuruuur(0,1,),則MBMAAB→→＝0得：＋1＋＝0，解得：y由MB·AE1(0,,).2

z，設(shè)NxM＝1→＝，∴MB圖七2文檔實用標(biāo)準(zhǔn)同理可求得：→＝(1,11→→NC1,),NC1·AE＝0.22→→∴MB、NC1的夾角等于二面角C1－AE－B的平面角．uuuruuuur11→→>＝MBNC1443cos<MB,NC1uuuruuuur,MBNC113322∴二面角C1－AE－B的大小為arccos(3).3文檔實用標(biāo)準(zhǔn)五、課堂運用【基礎(chǔ)】１.在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，2)．若S1，S2，S3分別是三棱錐D-ABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A．S1＝S2＝S3．S2＝S1且S2≠S3BC．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】設(shè)頂點D在三個坐標(biāo)平面 xOy、yOz、zOx上的正投影分別為 D1、D2、D3，則AD1＝BD1＝2，AB＝2，111∴S1＝×2×2＝2，S2＝SOCD2＝×2×2＝2，S3＝SOAD3＝×2×2＝2．222∴選D．【答案】D文檔實用標(biāo)準(zhǔn)２.求過點M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的法向量．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】方法一：由給定平面上的三個點的坐標(biāo)，可知平面上的兩個向量M1M21,1,1，M1M32,1,0，設(shè)平面的法向量為nx,y,z，由M1M2n0，得xyz0，M1M3n02xy0令x1，得平面的一個法向量n1,2,1．方法二：設(shè)過點M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程為AxByCzD0，AD2ACD032代入點的坐標(biāo)，得ABD0，解之B2D，即DDzD0，xDyBCD03333CD3所以平面的方程為x2yz30，所以平面的一個法向量n1,2,1．方法三：由給定平面上的三個點的坐標(biāo)，可知平面上的兩個向量M1M21,1,1，M1M32,1,0，ijk因為這兩個向量不平行，計算111i2jk．故所求平面的一個法向量n1,2,1．210文檔實用標(biāo)準(zhǔn)３．已知正方體AC1的棱長為a，E是CC1的中點，O是對角線BD1的中點，（1）求證：OE是異面直線CC1和BD1的公垂線； （2）求異面直線CC1和BD1的距離．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】（1）解法一：延長EO交A1A于F，則F為A1A的中點，∴EF//AC，D1 C1A1B1EOD CA B∵CC1AC，∴C1CEF，連結(jié)D1E,BE，則D1EBE，又O是BD1的中點，∴OEBD1，∴OE是異面直線CC1和BD1的公垂線．解法二：以D為原點，分別以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，于是有D1000000aaa0a，(,,a),C(,a,),C1(,a,a),B(a,a,),O(,,2),E(,a,)222文檔實用標(biāo)準(zhǔn)BD1(a,a,a)，1(0,0,a)，EO(a,a,0)，CC22BD1EO0，CC1EO0，所以O(shè)E是異面直線CC1和BD1的公垂線．（2）由（1）知，OE為異面直線CC1和BD1的距離．所以O(shè)EEOa2a22a．442文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【鞏固】１．已知正方體ABCD1111的棱長為a，求B1C與BD間的距離．ABCDD1 C1A1 B1D COA B文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】解法一：（轉(zhuǎn)化為B1C到過BD且與B1C平行的平面的距離）連結(jié)A1D，則A1D//B1C，∴B1C//平面A1DB，連AC1，可證得AC1BD，AC1AD，∴AC1平面A1DB，∴平面AC1平面A1DB，且兩平面的交線為A1O，過C作CEAO1，垂足為E，則CE即為B1C與平面A1DB的距離，也即B1C與BD間的距離，在A1OC中，1OCA1A1CEAO1，∴CE3a．故B1C與BD間的距離3a．2233解法二：以D為原點，分別以DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)，B1(a,a,a),A1(a,0,a),D(0,0,0)，由（解法一）求點C到平面A1DB的距離CE，設(shè)E(x,y,z)，∵E在平面A1DB上，uuuuruuuuruuura,y,za)(a,0,a)(0,a,a)，∴A1EA1DA1B，即(x文檔實用標(biāo)準(zhǔn)xaauuuruuuuruuuruuur(x,y2,z)(a,0,a)0∴ya，∵CEA1D,CEBD，∴(x,y2,z)(a,a,0)，zaaa0uuur1a,1a,1a)，∴CE3a．解得：2，∴CE(33333解法三：直接求B1C與BD間的距離．設(shè)B1C與BD的公垂線為OO1，且O1B1C,OBD，uuuruuur設(shè)O(x,y,z)，設(shè)DOBD，xa則(x,y,z)(a,a,0)，∴ya，∴a,a,0)，O(z0同理O1(a,a,a)，uuuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuur∴OO1(()a,aa,a)，∴OO1BD,OO1B1C，∴OO1BD0,OO1B1C0，2,uuuur1a,uuuur3a．解得：1，OO1(1a,1a)，|OO1|333333文檔實用標(biāo)準(zhǔn)２．如圖所示，三棱柱 ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC12.(1)證明：AC1⊥A1B;(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為 3，求二面角A1-AB-C的大?。臋n實用標(biāo)準(zhǔn)文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】方法一：(1)證明：因為A1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C．連接A1C，因為側(cè)面AA1C1C為菱形，故AC1⊥A1C．由三垂線定理得 AC1⊥A1B．(2)BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1，E為垂足，則A1E⊥平面BCC1B1.又直線AA1∥平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E＝ 3.因為A1C為∠ACC1的平分線，所以 A1D＝A1E＝ 3．作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連接A1F．由三垂線定理得 A1F⊥AB，故∠A1FD為二面角A1-AB-C的平面角．由AD＝AA21－A1D2＝1，得D為AC中點，5A1D1DF＝，tan∠A1FD＝＝15，所以cos∠A1FD＝．5DF4文檔實用標(biāo)準(zhǔn)1所以二面角A1-AB-C的大小為arccos ．4方法二：以C為坐標(biāo)原點，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C-xyz.由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AA1C1C內(nèi)．(1)證明：設(shè)A1(a，0，c)．由題設(shè)有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，→，1，0)→，0，0)→→→→→＝(a，－1，則AB＝(－2，AC＝(－2，AA1＝(a－2，0，c)，AC1＝AC＋AA1＝(a－4，0，c)，BA1文檔實用標(biāo)準(zhǔn)c)．→（a－2）2＋c2＝2，即a2－4a＋c2＝0.①由|AA1|＝2，得→→⊥A1B．又AC1·BA1＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1→→→→→(2)設(shè)平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，則m⊥CB，m⊥BB1，即m·CB＝0，m·BB1＝0.因為CB＝(0，1，0)，→→，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0．BB1＝AA1＝(a－2，0令x＝c，則z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，→→→2c故點A到平面BCC1B1|CA·m|＝c．的距離為|CA|·|cos〈m，CA〉|＝＝|m|c2＋（2－a）2又依題設(shè)，A到平面BCC1B1的距離為3，所以c＝3，→，3)．代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，于是AA1＝(－1，0設(shè)平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，→→→→3r＝0，且－2p＋q＝0.則n⊥AA1，n⊥AB，即n·AA1＝0，n·AB＝0，－p＋文檔實用標(biāo)準(zhǔn)令p＝3，則q＝23，r＝1，所以n＝(3，23，1)．又p＝(0，0，1)為平面ABC的法向量，故n·p1cos〈n，p〉＝＝．|n||p|4所以二面角A1-AB-1C的大小為arccos．4文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【拔高】１．如圖，已知ABCD為邊長是4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且 GC＝２，求點B到平面EFG的距離．zＧxＤＣＦＡＥＢy文檔實用標(biāo)準(zhǔn)→→→【解析】分別以CD、CB、CG為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),B(0,4,0).∴→－2,0),→－4,2),EF＝(2,EG＝(－2,設(shè)P是平面EFG上的動點，則存在實數(shù)s,t，使得→→→→CP＝CE＋sEF＋tEG(2,4,0)＋s(2,－2,0)＋t(－2,－4,2)(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),P(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),→BP＝(2s－2t＋2,－2s－4t,2t).當(dāng)且僅當(dāng)BP⊥EF且BP⊥EG時，BP⊥平面EFG，BP即為所求的點B到平面EFG的距離．文檔實用標(biāo)準(zhǔn)→→s=-72(2s-2t+2)–11由→→-2(2s-2t+2)，解得：．–4(-2s-4t)+4t=0t=3BP·EG=011∴→226BP＝(,,),111111∴點B到平面EFG的距離即為→211|BP|＝.11解法二：因為平面EFG的豎截距為2，可設(shè)平面EFG的方程為zAx By 1，將E(2,4,0),F(4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得212A4B1Axyz，解之6，所以平面EFG的方程為14A2B11662B6即xy3z60文檔實用標(biāo)準(zhǔn)點B(0,4,0)0406211．到平面EFG的距離為119＝11文檔實用標(biāo)準(zhǔn)２．如圖，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角 A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離．AA1CD C1BB1文檔實用標(biāo)準(zhǔn)【解析】（Ⅰ）取BC中點O，連結(jié)AO．Q△ABC為正三角形，AO⊥BC．Q在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，AO平面BCC1B1．zAA1FCODC1O1yBB1xuuuruuuuruuur取B1C1中點O1，以O(shè)為原點，OB，OO1，OA的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(10，，0)，文檔實用標(biāo)準(zhǔn)D(11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(12，，0)，uuur，，uuur(2，1，0)，uuur，，．3)，BDBA1(AB1(12123)AB1BD＝－2＋2＋0＝0，AB1BA1＝－1＋4－3＝0，∴AB1BD，AB1BA1，AB1⊥平面A1BD．uuuur（Ⅱ）設(shè)P是直線A1D上的動點，由（Ⅰ）可得DA1(1,1,3)，則存在tR，使得uuuruuuruuuurOPODtDA1(1,1,0)t(1,1,3)(t1,t1,3t)，∴P(t1,tuuur(t1,t1,33t)。1,3t),PAuuuruuuur3．當(dāng)PA⊥DA1時