第1章概率論基本概念nxpowerlite

2023/2/21概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2課程相關(guān)課件

在上有公共郵箱（網(wǎng)盤）密碼:zjugltj123作業(yè)

每周交一次，由助教批閱，作平時(shí)成績（20～30%）答疑

時(shí)間：第三周起的每周六上午8:30～10:50

地點(diǎn)：東2－205（東1B-東2間教師休息室）

助教批作業(yè)時(shí)間也可答疑

聯(lián)系

任課教師：吳國楨，

助教：褚莉莉，3關(guān)鍵詞：隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件頻率和概率條件概率事件的獨(dú)立性第一章概率論的基本概念4§1隨機(jī)試驗(yàn)必然現(xiàn)象：結(jié)果確定隨機(jī)現(xiàn)象：結(jié)果不確定必然現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象——確定——不確定——不確定自然界與社會(huì)生活中的兩類現(xiàn)象例：向上拋出的物體會(huì)掉落到地上明天天氣狀況買了彩票會(huì)中獎(jiǎng)5概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的學(xué)科。

對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特性：可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生

例：拋一枚硬幣，觀察試驗(yàn)結(jié)果；對某路公交車某?？空镜怯浵萝嚾藬?shù)；對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓；對聽課人數(shù)進(jìn)行一次登記；6§2樣本空間·隨機(jī)事件(一)樣本空間定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S={e}，并稱S中的元素e為樣本點(diǎn)，一個(gè)元素的單點(diǎn)集稱為基本事件．S={0,1,2,…}S={正面，反面}S={x|a≤x≤b}某公交站每天10時(shí)候車人數(shù)記錄一批產(chǎn)品的壽命x

例：一枚硬幣拋一次一口袋中有10個(gè)大小相同的球，其編號為1～10，若取一球后，放回，再取一球，則取球情況如何？S={(i,j)|i,j=1,2,…,10}不放回：S={(i,j)|i,j=1,2,…,10,i<>j}7(二)隨機(jī)事件

一般我們稱S的子集A為E的隨機(jī)事件A，當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱事件A發(fā)生。

S={0,1,2,…}；例：觀察89路公交車浙大站候車人數(shù)，如果將S亦視作事件，則每次試驗(yàn)S總是發(fā)生， 故又稱S為必然事件。為方便起見，記Φ為不可能事件，Φ不包含 任何樣本點(diǎn)。

8例：記A={明天天晴}，B={明天無雨}記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車}一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，

B={至少有一次正面}

SAB(三)

事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的關(guān)系（包含、相等）9

事件的關(guān)系SBASABSBA

A與B的和事件，記為

A與B的積事件，記為當(dāng)AB=Φ

時(shí)，稱事件A與B不相容或互斥。10SAB

S11

事件的運(yùn)算12例：設(shè)A={甲來聽課}，B={乙來聽課}

，則：{甲、乙至少有一人來}{甲、乙都來}{甲、乙都不來}{甲、乙至少有一人不來}={甲、乙中最多有一人來}={甲、乙兩人不同時(shí)來}13141516§3

頻率與概率某人共聽了16次“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課，有2次遲到，記

A={聽課遲到}，則 #頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。例：中國國家足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 17**頻率的性質(zhì)：且隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p．

試驗(yàn)序號n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1

例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻率19表2實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德?摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K?皮爾遜1200060190.5016K?皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998羅曼諾夫斯基80640396990.492320

(二)概率

定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p

定義2：將概率視為測度，且滿足：

稱P(A)為事件A的概率，以上為概率的三個(gè)公理。21概率的性質(zhì)：22SBA23SAB24例1：試比較以下事件的概率大小，

A：投1顆骰子4次，至少得一次“6點(diǎn)”

B：投2顆骰子24次，至少得一次“雙6點(diǎn)”解：25例2：在所有的兩位數(shù)中任取一數(shù)，求此數(shù)能被2或3整除的概率。262728例5：某團(tuán)體舉行趣味運(yùn)動(dòng)，設(shè)有三個(gè)項(xiàng)目A、B、C，參加A、B、C項(xiàng)目者的比例分別為45%、35%、30%，同時(shí)參加AB、AC、BC、ABC的占總?cè)藬?shù)的10%、8%、5%和3%，求（1）只參加A和B項(xiàng)目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例

（2）只參加A項(xiàng)目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例（3）只參加一個(gè)項(xiàng)目人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例解：設(shè)用A、B、C表示參加相應(yīng)項(xiàng)目的事件以上均可畫圖直接得到。29例6：已知P(A)=P(B)=P(C)=0.4,且A、B、C至少有兩個(gè)發(fā)生的概率為0.3，A、B、C都發(fā)生的概率為0.05，求以下概率（1）A、B、C至少有一個(gè)不發(fā)生（2）A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生（3）A、B、C不發(fā)生。解：(1)(2)P(A、B、C不多于一個(gè)發(fā)生)=1-P(至少有兩個(gè)發(fā)生)=1-0.3=0.7(3)30例7：把1,2,3,…,n共n個(gè)數(shù)寫在n張卡片上，然后把卡片隨機(jī)的排成一列，以A表示“至少有一張卡片上的數(shù)字與它在排列中的順序號一致”，求事件A的概率。

3132§4等可能概型（古典概型）定義：若試驗(yàn)E滿足：樣本空間S中樣本點(diǎn)有限(有限性)出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性)稱這種試驗(yàn)為等可能概型(或古典概型)。33注意判斷等可能概型的兩個(gè)條件E1：拋兩枚硬幣，觀察正反面情況E2：拋兩枚硬幣，觀察正面向上數(shù)S1={正正，正反，反正，反反}S2={0，1，2}可見，兩者樣本空間中樣本點(diǎn)均有限S1中的4個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，易知為1/4S2中的3個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是不同的，其中“1”發(fā)生的概率為2/434例1：一袋中有8個(gè)球，其中3個(gè)為紅球，5個(gè)為白球，求任取一球是紅球（A）的概率。若從袋中不放回取兩球，求兩種顏色的球都被取到（B）的概率。 解：不過,由于S2有較多的元素，不宜一一列出，但是，可用以下兩方法計(jì)算P(B).見P7例1.3.135例2：從一副撲克牌（52張）中任取13張牌，設(shè)A=“13張牌中恰有2張紅桃、3張方塊”B=“13張牌中缺紅桃”C=“13張牌中至少有2張紅桃”D=“13張牌中缺紅桃但不缺方塊”，求以上事件的概率。36例3：將n個(gè)不同的球，隨機(jī)地投入N個(gè)不同的盒中，求（1）第1盒為空（A）的概率（2）第1盒或第2盒為空（B）的概率（3）設(shè)盒子多于球數(shù)，求n個(gè)球落入n個(gè)不同的盒子（C）的概率（也即盒子中最多有一個(gè)球的概率）。37

解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都是在周二、周四的概率為例4：某接待站在某一周曾接待12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的?

人們在長期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”(稱之為實(shí)際推斷原理)。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。38例5:(抽簽問題)一袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，今有a＋b個(gè)人依次不放回地各取一球，求第k個(gè)人取到紅球的概率。k=1,2,…,a+b．

解1： ①②…n①——a①②…n號球?yàn)榧t球，將n個(gè)人也編號為1,2,…,n．----------與k無關(guān)

可設(shè)想將n個(gè)球進(jìn)行編號： 其中

視 的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn)，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率 相等。

可以是①，②…中的任意一球a39解3：將第k次摸到的球號作為一樣本點(diǎn)：此值不僅與k無關(guān)，且與a，b都無關(guān)，若a＝0呢？對嗎？

為什么？原來這不是等可能概型總樣本點(diǎn)數(shù)為，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有個(gè)樣本點(diǎn)使發(fā)生，①，②，…，nS＝{}，①，②，…，a{}{紅色}解2：

視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn)：解4：

記第k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn)：

S＝{紅色,白色}，

結(jié)論：以上概率與第幾次取球無關(guān)，也與放回、不放回取球無關(guān)，其概率均為原來紅球的比例。40幾何概型*

古典概型是關(guān)于試驗(yàn)的結(jié)果為有限且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同的概率模型。保留古典概型的等可能性,并允許試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為無限個(gè)，如直線上的一線段、平面上的一區(qū)域或一立體空間中的點(diǎn)數(shù)等情形，稱具有這種性質(zhì)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?41定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為42例1：向正方形區(qū)域任意投擲一點(diǎn)，求該點(diǎn)在此正方形內(nèi)切圓內(nèi)的概率。43蒲豐投針試驗(yàn)例2

1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針,試求針與任一平行直線相交的概率.44

由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問題.4546歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長年份試驗(yàn)者§5條件概率引例：一袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，現(xiàn)不放回地取球兩次，設(shè)A={第1次摸到紅球}，B={第2次摸到紅球}。求第1次摸到紅球條件下第2次摸到紅球的概率。解：由前面的知識得A，B發(fā)生的概率為：48BAS當(dāng)首次摸到紅球后，袋中各色球比例發(fā)生了變化，即有a-1個(gè)紅球，b個(gè)白球，此時(shí)摸到紅球的概率應(yīng)不同于P(B)，因?yàn)楫?dāng)A發(fā)生后樣本空間發(fā)生了變化。49

定義：一、條件概率由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有前面所述概率的所有性質(zhì)。例如：50由P(B|A)的意義，其實(shí)可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率。條件概率的計(jì)算有兩種方法樣本空間改變法，直接計(jì)算利用定義公式，P(AB)/P(A)如前例中，51解：設(shè)A=“所取13張牌中至少有一張紅桃”，

Ｂ=“所取13張牌中恰有兩張紅桃”例1：從一副52張的撲克牌中任取13張，若已知這13張牌中至少有一紅桃，問恰有兩張紅桃的概率多少？52

例2：一盒中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，采用不放回抽樣，每次取一個(gè)，取4次，（1）已知前兩次中至少有一次取到紅球，求前兩次中恰有一次取到紅球的概率；（2）已知第4次取到紅球，求第1，2次也取到紅球的概率。解:(1)B表示前兩次中至少有一次取到紅球，

C表示前兩次中恰有一次取到紅球的概率。53

例2：一盒中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，采用不放回抽樣，每次取一個(gè)，取4次，（1）已知前兩次中至少有一次取到紅球，求前兩次中恰有一次取到紅球的概率；（2）已知第4次取到紅球，求第1，2次也取到紅球的概率。Ai表示第i次取到紅球，i=1,2,3,4忽略A3解：(2)5455二、概率的乘法公式 對條件概率公式變換一下就可得到下面的乘法公式（假設(shè)條件概率都有意義）：56例1：設(shè)袋中有r只紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。57例2：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下 的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn)品的報(bào)廢率。

解：設(shè)A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢}

B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試}

已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.258例3：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過的概率為50%；如 果第一次未通過就去參加第二次，這時(shí)能通過的概率為 60%；如果第二次再未通過，則去參加第三次，此時(shí)能通 過的概率為70%。求這人能通過考核的概率。解：設(shè)Ai={第i次通過考核}，i=1,2,3

B={通過考核}，另解：

5960

例4：100個(gè)零件中有10個(gè)次品，現(xiàn)無放回地取出，求： （1）第1次取得正品后，第2次取得正品的概率 （2）第1、2次均取得正品的概率 （3）第3次才取得正品的概率 （4）第2次取得正品的概率61三、全概率公式與貝葉斯公式B1B2BnS62

定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1,B2,…,Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 則稱：

為全概率公式B1B2BnSA定理：接上定理?xiàng)l件，一般取B1,B2,…,Bn為A的前導(dǎo)事件組稱此式為貝葉斯(Bayes)公式。63*

全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè)P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,…,n

易知：Sp1p2...B2B1Bn...q2q1qnApn64例1：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為0.7， 若甲出差，則乙出差的概率為0.1；若甲不出差， 則乙出差的概率為0.6。(1)求近期乙出差的概率；

(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。

貝葉斯公式全概率公式解：設(shè)A={乙出差}，B

={甲出差}65

66

例3：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5%

的假陽性及5%的假陰性：若設(shè)A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽性}， C={被診斷患有癌癥},

則有： 已知某一群體

P(C)=0.005，問這種方法能否用于普查？若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解：考察P(C|A)的值

若用于普查，100個(gè)陽性人中被診斷患有癌癥的 大約有8.7個(gè)，所以不宜用于普查。67例4：盒中有8只乒乓球，其中3只是新球，第1次比賽時(shí)，從中任取2只，用后放回，第2次比賽時(shí)再從中任取3球，求第2次所取3球中恰有2只新球的概率；若已知第2次所取3球中恰有2只新球，則第1次所取的2球全是舊球的概率是多少？解:設(shè)A=“第2次所取3球中恰有2只新球”Bi=“第1次所取的2球中有i

只新球”,

i=0，1，2顯然B0,B1,B2是S的一個(gè)劃分，是A的前導(dǎo)事件組68例5：一盒中裝有n只球，其中裝有白球只數(shù)是等可能的，已知球的顏色只有白與黑，若有放回地取k次，沒有取到黑球，求盒中只裝有白球的概率。解：一般把試驗(yàn)的最后結(jié)果先用事件表示出來，故設(shè)A=“有放回地取k次，沒有取到黑球”,再考慮引起A發(fā)生的前導(dǎo)事件組，設(shè)Bi=“盒中裝有i只白球”，i=0，1，2，…，n69例6：甲袋中裝有10只球，其中7只紅球，3只白球，而乙袋中原來是空的，現(xiàn)從甲袋中任取三球放入乙袋，求以下概率：（1）從乙袋中任取一球是紅球（2）從乙袋中任取一球后，放回，再取一球是紅球（3）從乙袋中任取一球后，不放回，再取一球是紅球（4）從乙袋中任取一球是紅球，不放回，再取一球是紅球解：(1)(2)(3)都可以用全概率公式求解，但注意本題乙袋原來是空的,就是說乙袋中紅球比例成份同甲袋！所以(1)(2)(3)的答案均為0.7(4)設(shè)Ai=“第i次從乙袋中取得紅球”，i=1,2P(A1)=0.7Bi=“從甲袋中取的3球中有i只紅球”，i=0,1,2,37071例7：有三個(gè)箱子，第1箱裝有5件正品2件次品，第2箱裝有4件正品2件次品，第3箱裝有3件正品2件次品。現(xiàn)從第一箱中隨機(jī)取1件放到第2箱，再從第2箱中隨機(jī)取1件放到第3箱，然后從第3箱中隨機(jī)取1件，求最后取到的是次品的概率。72解：設(shè)A,B,C分別表示從第1，2，3箱取到次品，73問題：直接可以用全概率公式嗎？74§6獨(dú)立性

引例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取

2次,每次取1件，設(shè)Ai={第i次取到正品}，i=1,2不放回抽樣時(shí)，放回抽樣時(shí)，

即放回抽樣時(shí)，A1的發(fā)生對A2的發(fā)生概率不影響 同樣，A2的發(fā)生對A1的發(fā)生概率不影響稱A1與A2是獨(dú)立的75注意：定義：設(shè)A，B為兩隨機(jī)事件， 若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)

即P(A|B)=P(A)時(shí)，稱A，B相互獨(dú)立。

76例1：設(shè)S={e1,e2,e3,e4},P(ei)=0.25,

i=1,2,3,4

A1={e1,e2},A2={e2,e3},A3={e1,e3}

驗(yàn)證A1，A2，A3兩兩獨(dú)立，但不是相互獨(dú)立解：P(A1)=P(A2)=P(A3)=0.5所以A1，A2，A3不是相互獨(dú)立的P(A1A2)=P({e2})=0.25=P(A1)P(A2)P(A1A3)=P({e1})=0.25=P(A1)P(A3)P(A2A3)=P({e3})=0.25=P(A2)P(A3)由以上三等式知A1，A2，A3兩兩獨(dú)立,但是77必然事件及不可能事件與任何事件均獨(dú)立787980

在上例中，S={e1,e2,e3,e4},P(ei)=0.25,i=1,2,3,4

A1={e1,e2},A2={e2,e3},A3={e1,e3}

由于P(A1A2)=0.25=P(A1)P(A2)，所以說A1，A2獨(dú)立但A1A2={e2}不為空，即A1，A2是相容的.81

例2：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標(biāo)被 擊中的概率。解：設(shè)A={甲擊中},B={乙擊中}∵甲、乙同時(shí)射擊，其結(jié)果互不影響，∴A，B相互獨(dú)立82

例3：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率。1432注意：這里系統(tǒng)的概念與電路中的系統(tǒng)概念不同83

例3：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率。1432注意：這里系統(tǒng)的概念與電路中的系統(tǒng)概念不同8443152例4：有5個(gè)獨(dú)立元件組成的如下系統(tǒng)，設(shè)每個(gè)元件運(yùn)行正常的概率為p，求系統(tǒng)運(yùn)行正常（事件A）的概率。85

86例6：一袋中有編號為1,2,3,4共四個(gè)球，每回從袋中有放回地取兩次(一次一個(gè)球)，記錄號碼之和，這樣獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，求“和等于3”出現(xiàn)在“和等于5”之前的概率。解：設(shè)A表示“和等于3”出現(xiàn)在“和等于5”之前,

B表示第一回兩球號碼之和為3，

C表示第一回兩球號碼之和為5，

D表示第一回號碼之和既不為3也不為58788例7