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北京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教程第三章微分中值定理及其應(yīng)用定理3.1(費爾馬引理)

3.1費爾馬引理與函數(shù)最值

設(shè)在點

的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)點,如果對于任意證不妨設(shè)有根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)條件及極限的保號性,有所以,推論3.1(最值的必要條件)的點稱為函數(shù)的駐點.

設(shè)如果存在,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要條件,最大、最小值點只可能是的駐點、不可導(dǎo)點或區(qū)間的端點.求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求出區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值;3.在實際問題的應(yīng)用中,問題本身可以保證目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這種思想求取應(yīng)用問題的最值.例1

求函數(shù)在[-1,4]上的最大值解計算與最小值.(-1,4)內(nèi)駐點比較得,最大值最小值解駐點:是可能最值點.與最小值.例2求函數(shù)在的最大值比較得,最大值最小值解得例3求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的

半徑

R.設(shè)圓柱體的高為2h,底半徑為

r,體積為V,

圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點

就是最大值點,

最大體積為令得(舍去負(fù)值)唯一駐點

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