一元線性回歸模型及其應(yīng)用同步訓(xùn)練B【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修

一元線性回歸模型及其應(yīng)用B一．選擇題（共8小題）1．已知與之間的一組數(shù)據(jù)01231357則與的線性回歸方程必過(guò)點(diǎn)A．，2 B．1， C．，4 D．，2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：123456532得到的線性回歸方程為，則A．， B．， C．， D．，3．已知回歸方程，則該方程在樣本處的殘差為A． B．1 C．2 D．54．根據(jù)散點(diǎn)圖，對(duì)兩個(gè)具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量，進(jìn)行回歸分析，設(shè)，，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為，則變量的最大值的估計(jì)值是A． B． C． D．5．某科研型企業(yè)，每年都對(duì)應(yīng)聘入圍的大學(xué)生進(jìn)行體檢，其中一項(xiàng)重要指標(biāo)就是身高與體重比，其中每年入圍大學(xué)生體重（單位：與身高（單位：基本都具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)今年的一組樣本數(shù)據(jù)，，2，，，用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中不正確的是A．與具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心， C．若某應(yīng)聘大學(xué)生身高增加，則其體重約增加 D．若某應(yīng)聘大學(xué)生身高為，則可斷定其體重必為6．在一組樣本數(shù)據(jù)，，，，，，，，，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)，，2，，都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為A． B．1 C． D．7．在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，如圖是由這兩個(gè)變量近8年來(lái)的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是A． B． C． D．8．廣告投入對(duì)商品的銷售額有較大影響，某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度的廣告費(fèi)和銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表（單位：萬(wàn)元）廣告費(fèi)23456銷售額2941505971由上表可得回歸方程為，又已知生產(chǎn)該商品的成本（不含廣告費(fèi)）為（單位：萬(wàn)元），據(jù)此模型預(yù)測(cè)最大的純利潤(rùn)為A．萬(wàn)元 B．萬(wàn)元 C．萬(wàn)元 D．萬(wàn)元二．多選題（共2小題）9．研究變量，得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說(shuō)法正確的是A．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好 B．用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，越小說(shuō)明擬合效果越好 C．在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位 D．若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為，則變量和之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)．

三．填空題（共4小題）10．已知與之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：012313當(dāng)變化時(shí)，回歸直線必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．11．已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)如表所示，若據(jù)此利用最小二乘估計(jì)得到回歸方程，則．3456412．某單位為了了解用電量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫2016124用電量（度14284462由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，則預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為時(shí)，用電量的度數(shù)是．13．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：135779已求得關(guān)于與的線性回歸方程，則的值為．四．解答題（共4小題）14．自新冠肺炎疫情爆發(fā)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)專家紛紛利用數(shù)學(xué)模型對(duì)新冠病毒的可能感染規(guī)模和傳播風(fēng)險(xiǎn)等進(jìn)行預(yù)測(cè)，為疫情防控作出數(shù)據(jù)指導(dǎo)．某同學(xué)從國(guó)家衛(wèi)健委獲取了2020年1月20日至2020年1月25日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)據(jù)，如表：日期1月20日1月21日1月22日1月23日1月24日1月25日時(shí)間（天123456確診數(shù)（人29144057183012871975其中，，．（1）該同學(xué)通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)累計(jì)確診病例數(shù)（人與時(shí)間（天大致呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系，求出該回歸方程（保留兩位小數(shù)）；（2）若該同學(xué)想從這6天的數(shù)據(jù)中選出2天來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析，求這2天確診病例數(shù)恰好都小于600的概率．參考公式：，．15．高二理科班有60名同學(xué)參加某次考試，從中隨機(jī)抽選出5名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)?nèi)绫恚簲?shù)學(xué)成績(jī)140130120110100物理成績(jī)110901008070數(shù)據(jù)表明與之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系．（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)該班某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)該同學(xué)的物理成績(jī)；（Ⅱ）本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到125分為數(shù)學(xué)優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到100分為物理優(yōu)秀．若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為和，且所有同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有6人，請(qǐng)你在答卷頁(yè)上填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計(jì)60參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線的系數(shù)，，，，．，．16．為了了解某校高中生的身體質(zhì)量情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一次高一學(xué)生體重和身高的抽樣調(diào)查，從中抽取了8名學(xué)生（編號(hào)為的身高和體重?cái)?shù)據(jù)．如表：學(xué)生的編號(hào)12345678身高164176165163170172168182體重607277547255某調(diào)查機(jī)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)學(xué)生的身高和體重之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在編號(hào)為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前，調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析并計(jì)算出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為的學(xué)生體重為，計(jì)算得到的其他數(shù)據(jù)如下：．（1）求的值及表格中8名學(xué)生體重的平均值；（2）在數(shù)據(jù)處理時(shí)，調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號(hào)為8的學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)有誤，應(yīng)為，身高數(shù)據(jù)無(wú)誤．請(qǐng)你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為的學(xué)生的體重．附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，．17．某單位共有10名員工，他們某年的收入如表：?jiǎn)T工編號(hào)12345678910年薪（萬(wàn)元）4658951（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；（2）已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬(wàn)元、萬(wàn)元、6萬(wàn)元、萬(wàn)元，預(yù)測(cè)該員工第六年的年薪為多少？附：線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為：，其中、為樣本均值．

一元線性回歸模型及其應(yīng)用B參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：由表格可得，，．樣本中心點(diǎn)為，則線性回歸方程必過(guò)點(diǎn)，4．故選：．2．【解答】解：【方法一】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，；計(jì)算；．【方法二】根據(jù)表中樣本數(shù)據(jù)知，變量隨的增大而減小，所以線性回歸方程中，；又，對(duì)應(yīng)，所以．故選：．3．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，方程在樣本處的殘差是．故選：．4．【解答】解：由題意可知，，所以，所以．故選：．5．【解答】解：由于線性回歸方程中的系數(shù)為，因此與具有正的線性相關(guān)關(guān)系，所以正確；因?yàn)榫€性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以正確；由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，每增加，其體重約增加，所以正確；當(dāng)某大學(xué)生的身高為時(shí)，其體重估計(jì)值是，而不是具體值，所以錯(cuò)誤．故選：．6．【解答】解：這組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)，，2，，都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，即說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的樣本完全負(fù)相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是．故選：．7．【解答】解：由散點(diǎn)圖可得，圖象是拋物線形狀，符合作為關(guān)于的回歸方程類型的是．故選：．8．【解答】解：由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，代入回歸方程中，得，所以，計(jì)算純利潤(rùn)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以據(jù)此模型預(yù)測(cè)最大的純利潤(rùn)為19．故選：．二．多選題（共2小題）9．【解答】解：殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故正確；用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸效果，越大說(shuō)明擬合效果越好，故錯(cuò)誤；在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位，故正確；若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為，接近，則變量和之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，故正確．故選：．三．填空題（共4小題）10．【解答】解：由題意可得；，由回歸直線方程的性質(zhì)可知，回歸直線必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)是樣本中心，．故答案為：，．11．【解答】解：由題意可知，，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過(guò)樣本中心，所以，解得．故答案為：3．12．【解答】解：由題意，，，關(guān)于的線性回歸方程為，根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本的中心，，．關(guān)于的線性回歸方程為．當(dāng)氣溫為時(shí)，．故答案為：70．13．【解答】解：由題意可得，因?yàn)榛貧w直線，經(jīng)過(guò)樣本中心，所以，所以，解得，故答案為：2．四．解答題（共4小題）14．【解答】解：（1）由題意，指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系，兩邊取為底的對(duì)數(shù)，可得，令，則，其樣本中心點(diǎn)；根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，由則，所以該回歸方程為．（2）設(shè)6天的數(shù)據(jù)為，，，，，，所有可能為：，，，，，，，，，，，，，，，共15種，選出2天都小于600的，，，故得這2天確診病例數(shù)恰好都小于600的概率為．15．【解答】解：（Ⅰ），．，．關(guān)于的線性回歸方程為，取，得．估計(jì)該班某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?3分；（Ⅱ）由題意填寫列聯(lián)表：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀24630數(shù)學(xué)不優(yōu)秀121830合計(jì)362460，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)．16．【解答】解：（1）調(diào)查員由線性回歸方程，預(yù)估一名身