函數(shù)的概念及其表示教案（Word）2

《函數(shù)的概念及其表示（第三課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1．了解函數(shù)常見的三種表示法：解析法、列表法和圖象法；對比這三種表示法，了解它們各自的特點；能從不同角度全面理解“y＝f(x)”中f的意義．2．理解分段函數(shù)的概念及表示，通過函數(shù)的不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用，加強數(shù)形結(jié)合觀念，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)．3．通過對max{f(x)，g(x)}這種符號化表示的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：了解函數(shù)常見的三種表示法及其綜合應(yīng)用．教學(xué)難點：理解分段函數(shù)的概念及表示．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入問題1：你能說說函數(shù)有哪些表示法嗎？它們各自的特點又是什么？師生活動：學(xué)生結(jié)合初中學(xué)習(xí)經(jīng)驗以及第一課時4個問題一般能回答出三種表示法，但是對各自的特點可能感受不深，敘述不準(zhǔn)確，老師借機給出新的例題，導(dǎo)入新課．預(yù)設(shè)的答案：我們已經(jīng)接觸過的函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法．解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如的問題1、2．列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如的問題4．圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如的問題3．設(shè)計意圖：梳理已有知識經(jīng)驗，使學(xué)生感受學(xué)習(xí)函數(shù)表示法的必要性．引語：解析法、列表法和圖象法各有特點，而且有的函數(shù)只能采取某種表示法，本節(jié)課我們專門討論函數(shù)的表示法．（板書：函數(shù)的表示法）二、新知探究1．感知對比，歸納概括例1某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)．師生活動：學(xué)生獨立完成本題，可能暴露的問題：定義域疏漏導(dǎo)致將離散的點連成直線，老師針對問題講解并引導(dǎo)學(xué)生思考三種表示方法的特點．預(yù)設(shè)的答案：解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}．用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y＝f(x)表示為圖1．圖1圖1追問1：你能說說這個函數(shù)與正比例函數(shù)y＝5x，x∈R的異同嗎？（解析式相同，定義域、值域都不同，從圖象上看，這個函數(shù)的圖象是由5個離散的點構(gòu)成的，正比例函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的直線．）追問2：比較函數(shù)的三種表示法，它們各自的特點是什么？（解析法有兩個優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的對應(yīng)關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值；圖象法的優(yōu)點是直觀形象地表示隨著自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì)；列表法的優(yōu)點就是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值．）追問3：所有函數(shù)都能用解析法表示嗎？列表法與圖象法呢？請你舉出實例加以說明．（不是所有的函數(shù)都能用這三種方法表示，有的函數(shù)只能采取某一種表示法．比如課本的問題3中的函數(shù)只能用圖象法表示，不能用解析法和列表法表示；再比如課本第75頁給出的狄利克雷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ.))不能用圖象法表示．）設(shè)計意圖：介紹了一個可以用三種方法表示的函數(shù)．通過這個例子，讓學(xué)生體會三種表示方法各自的特點．2．結(jié)合實例，理解分段函數(shù)的概念例2畫出函數(shù)y＝|x|的圖象．師生活動：老師通過設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的舊問題，具體而言即將含絕對值的問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值的問題．學(xué)生在畫圖時可能忽略定義域，導(dǎo)致錯誤，教師要及時指出，并示范這道題的畫圖步驟，講解分段函數(shù)的概念．追問1：y＝|x|不屬于之前學(xué)過的任何一類函數(shù)，你能將解析式變形，化為不含絕對值的形式嗎？（根據(jù)絕對值的定義，分類討論：當(dāng)x＜0時，y＝|x|＝－x；當(dāng)x≥0時，y＝|x|＝x．）追問2：如何畫y＝|x|的圖象？（在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出y＝－x，x＜0和y＝x，x≥0的圖象，則y＝|x|的圖象就是這兩部分圖象的組合．）追問3：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．那么判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？（任意與x軸垂直的直線與圖象至多一個交點．）預(yù)設(shè)的答案：解：由絕對值的概念，我們有y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0．))所以，函數(shù)y＝|x|的圖象如圖2所示．圖2圖2教師點撥：像例2中y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0))這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)的特點：在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同．追問4：你能舉出生活中可以用分段函數(shù)描述的實際問題嗎？（如出租車的計費、天然氣的計費、銀行的利率等．）設(shè)計意圖：前3個追問引導(dǎo)學(xué)生分析問題，培養(yǎng)學(xué)生通過將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，進而分析問題、解決問題的能力．追問4以實例的方式幫助學(xué)生理解分段函數(shù)的概念與表示．例3給定函數(shù)f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；（2）?x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的較大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}．例如，當(dāng)x＝2時，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x)．師生活動：第（1）問學(xué)生獨立完成．第（2）問比較抽象，在完成第（1）問之后，老師通過問題引導(dǎo)學(xué)生完成．追問1：如圖3，你能說說f(x)＞g(x)對應(yīng)圖象上的什么特征嗎？（當(dāng)自變量x的取值相同時，函數(shù)f(x)對應(yīng)的點比函數(shù)g(x)對應(yīng)的點高．）追問2：你能從圖象上觀察并回答M(x)的取值情況嗎？（當(dāng)x＜－1時，g(x)＝(x＋1)2的圖象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2為較大者，此時M(x)＝(x＋1)2；當(dāng)－1＜x＜0時，f(x)＝x＋1的圖象位于g(x)＝(x＋1)2的上方，f(x)＝x＋1為較大者，此時M(x)＝x＋1；當(dāng)x＞0時，g(x)＝(x＋1)2的圖象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2為較大者，此時M(x)＝(x＋1)2；當(dāng)x＝－1或x＝0時，g(x)＝(x＋1)2的圖象與f(x)＝x＋1相交，f(x)與g(x)相等，M(x)＝f(x)＝g(x)．）追問3：你能用代數(shù)方法求出M(x)的表達式嗎？（令f(x)＞g(x)，即x＋1＞(x＋1)2，解得：－1＜x＜0；令g(x)＞f(x)，即(x＋1)2＞x＋1，解得：x＜－1或x＞0；令f(x)＝g(x)，即x＋1＝(x＋1)2，解得：x＝－1或x＝0．綜上可得：M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,(x＋1)2，x＞0．))）預(yù)設(shè)的答案：解：（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象（圖3）．（2）由圖3中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象（圖4）．由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．解得x＝－1，或x＝0．結(jié)合圖4，得出函數(shù)M(x)的解析式為M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x≤－1，,x＋1，－1＜x≤0，,(x＋1)2，x＞0．))圖3圖3圖4教師點撥：在例2中，我們的分析過程是從數(shù)到形，例3則是從形到數(shù)，這兩個例子充分說明，函數(shù)的不同表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)化，我們可以根據(jù)題目要求選取恰當(dāng)?shù)谋磉_方式解決問題．設(shè)計意圖：加深學(xué)生對分段函數(shù)的理解，提升學(xué)生的直觀想象能力和抽象思維能力．三、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題2：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的內(nèi)容，回答下列問題：（1）函數(shù)常用的表示法有哪些？它們各自的特點是什么？（2）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對如何學(xué)習(xí)函數(shù)又有什么體會？師生活動：學(xué)生先獨立思考，再由學(xué)生代表回答，其他學(xué)生依次補充，老師最后總結(jié)．預(yù)設(shè)的答案：（1）解析法、表格法和圖象法，其中解析式是精確的、圖象是直觀的、表格是直接的；（2）解析式、表格、圖象是對應(yīng)關(guān)系f的不同的表現(xiàn)形式，但實質(zhì)相同，為了更好地分析和解決問題，有時需要進行不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，全面理解函數(shù)的內(nèi)涵．作業(yè)布置：教科書習(xí)題第6，7，10，11，13，18題．四、目標(biāo)檢測設(shè)計圖51．如圖5，把直截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長為x（單位：cm），面積為y（單位：cm2），把y表示為x的函數(shù)圖5設(shè)計意圖：考查函數(shù)的解析法，強化定義域的重要性．2．畫出函數(shù)y＝|x－2|的圖象．設(shè)計意圖：考查對分段函數(shù)的理解．3．給定函數(shù)f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象；（2）?x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的較小者，記為m(x)＝min{f(x)，g(x)}，請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)m(x)．設(shè)計意