函數模型的應用同步練習（含答案）

函數模型的應用1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)實際問題中兩變量之間一定有確定的函數關系．(×)(2)實際問題中，函數的定義域只需使函數有意義．(×)(3)用擬合函數預測的結果和實際的結果可能有偏差．(√)(4)對于一個實際問題，數據收集的越多，建立的函數模型的模擬效果越好．(√)題型1指數函數模型的應用2．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝…為自然對數的底數，k，b為常數)，若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是(D)A．22小時 B．23小時C．33小時 D．24小時解析：由題意可得x＝0時，y＝192，x＝22時，y＝48，代入y＝ekx＋b可得eb＝192，e22k＋b＝48，即有e11k＝eq\f(1,2)，則當x＝33時，y＝e33k＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24.故選D.3．某科技股份有限公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年增加研發(fā)資金投入，若該公司2016年全年投入的研發(fā)資金為100萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg≈，lg2≈(C)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年解析：設從2016年后，第n年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由題意可得，100×(1＋10%)n>200，即>2，兩邊取對數可得，n>eq\f(lg2,lg≈eq\f,≈，則n≥8，即該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是2024年．4．某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內，他的這只股票先經歷了3次漲停(每次上漲10%)又經歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(A)A．略有虧損B．略有盈利C．沒有盈利也沒有虧損D．無法判斷盈虧情況解析：由題意可得，(1＋10%)3(1－10%)3＝≈<1.因此該股民這只股票的盈虧情況為略有虧損．題型2對數函數模型的應用5．據統(tǒng)計，第x年到鄱陽湖國家濕地公園越冬的白鶴數量y(只)近似滿足y＝alog3(x＋2)，觀測發(fā)現第1年有越冬白鶴3000只，估計第7年有越冬白鶴(C)A．4000只 B．5000只C．6000只 D．7000只解析：當x＝1時，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000，所以當x＝7時，y＝3000×log3(7＋2)＝6000(只)．6．已知函數t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的圖象可表示打字任務的“學習曲線”，其中t(h)表示達到打字水平N(字/min)所需的學習時間，N表示打字速度(字/min)，則按此曲線要達到90字/min的水平，所需的學習時間是(A)A．144h B．90hC．60h D．40h解析：由N＝90可知，t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(90,100)))＝144(h)．7．我們經常聽到這樣一種說法：一張紙經過一定次數對折之后厚度能超過地月距離．但實際上，因為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當紙張的厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續(xù)對折了，一張長邊為w，厚度為x的矩形紙張，在理想情況下，對折次數n有下列關系：n≤eq\f(2,3)log2eq\f(w,x)(注：lg2≈，根據以上信息，一張長為21cm，厚度為mm的紙最多能對折__8__次．解析：由題意n≤eq\f(2,3)log2eq\f(w,x)＝eq\f(2,3)log2eq\f(210,＝eq\f(2,3)log24200＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log24＋log21000＋log2\f(21,20)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋3log210＋log2\f(21,20))).因為log210＝eq\f(1,lg2)＝eq\f(1,，0<log2eq\f(21,20)<1，所以n≤8＋eq\f(2,3)log2eq\f(21,20)，所以n的最大值為8.題型3建立擬合型函數解決實際問題8．“菊花”型煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．通過研究，發(fā)現該型煙花爆裂時距地面的高度h(單位：米)與時間t(單位：秒)存在函數關系，并得到相關數據如表：時間t1eq\f(3,2)3高度h1919(1)根據表中數據，從下列函數中選取一個函數描述該型煙花爆裂時距地面的高度h與時間t的變化關系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，確定此函數解析式并簡單說明理由；(2)利用你選取的函數，判斷煙花爆裂的最佳時刻，并求此時煙花距地面的高度．解：(1)由表中數據分析可知，煙花距地面的高度隨時間的變化呈先上升再下降的趨勢，則在給定的三類函數中，只有y2滿足，故選取該函數．設h(t)＝at2＋bt＋c，由表中數據得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(19＝a＋b＋c，,\f(47,2)＝\f(9,4)a＋\f(3,2)b＋c，,19＝9a＋3b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝24，,c＝1，))所以h(t)＝－6t2＋24t＋1(t≥0)．(2)由(1)得h(t)＝－6(t－2)2＋25，故煙花沖出后2s是爆裂的最佳時刻，此時距地面高度為25米．易錯點忽略限制條件9．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b<a)，在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，則當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？求出最大面積．解：設四邊形EFGH的面積為S.因為S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DGH＝eq\f(1,2)(a－x)·(b－x)，所以S＝ab－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x))，即S＝－2x2＋(a＋b)·x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8).由圖形知此函數的定義域為{x|0<x≤b}．因為0<b<a，所以0<b<eq\f(a＋b,2).若eq\f(a＋b,4)≤b，即a≤3b，則當x＝eq\f(a＋b,4)時，S取得最大值，且Smax＝eq\f(a＋b2,8).若eq\f(a＋b,4)>b，即a>3b，則S在區(qū)間(0，b]上是增函數，因此當x＝b時，S取得最大值，且Smax＝ab－b2.綜上所述，當b<a≤3b，x＝eq\f(a＋b,4)時，四邊形EFGH的面積最大，且最大面積為eq\f(a＋b2,8)；當a>3b，x＝b時，四邊形EFGH的面積最大，且最大面積為ab－b2.[誤區(qū)警示]本題易出現沒有考慮二次函數的定義域，直接套用求二次函數最值的公式的錯誤．本題需對eq\f(a＋b,4)與函數的定義域的關系進行分類討論．(限時30分鐘)一、選擇題1．如果一種放射性元素每年的衰減率是8%，那么akg的這種物質的半衰期(剩余量為原來的一半所需的時間)t等于(C)A．lgeq\f, B．lgeq\f,C．eq\f(lg,lg D．eq\f(lg,lg解析：由題意得a(1－8%)t＝eq\f(a,2)，兩邊取對數，得lg＝lg，即tlg＝lg，所以t＝eq\f(lg,lg.2．某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數解析式為y＝×2x－2＋10(0<x<10，x∈N*)，若每臺產品的售價為6萬元，則當產量為8臺時，生產者可獲得的利潤為(A)A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元解析：因為總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數解析式為y＝×2x－2＋10(0<x<10，x∈N*)，且產量為8臺，所以總成本為y＝×28－2＋10＝(萬元)．因為每臺產品的售價為6萬元，所以當產量為8臺時，生產者可獲得的利潤為6×8－＝48－＝(萬元)．3．某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時間t(單位：小時)滿足p(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，其中p0為t＝0時的污染物數量．又測得當t∈[0,30]時，污染物數量的變化率是－10ln2，則p(60)＝(C)A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：因為當t∈[0,30]時，污染物數量的變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2.因為p(t)＝p0×2－eq\f(t,30)，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．4．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度(記作[H＋]，單位mol/L)和氫氧根離子的物質的量的濃度(記作[OH－]，單位mol/L)的乘積等于常數10－14.已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在～之間，那么健康人體血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以為(參考數據：lg2≈，lg3≈(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,10)解析：因為[H＋]·[OH－]＝10－14，所以eq\f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014.因為<－lg[H＋]<，所以10－<[H＋]<10－，所以10－<eq\f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2<10－.所以－<lgeq\f([H＋],[OH－])<－.又lgeq\f(1,2)≈－，lgeq\f(1,3)≈－，lgeq\f(1,6)＝－lg6＝－(lg2＋lg3)≈－，lgeq\f(1,10)＝－1，所以只有l(wèi)geq\f(1,6)在范圍之中，故選C.二、填空題5．某商品價格y(單位：元)因上架時間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價格與上架時間的函數關系是一種指數型函數，即y＝k·ax(a>0且a≠1)，x∈N*.當商品上架第1天的價格為96元，而上架第3天的價格為54元，則該商品上架第4天的價格為元．解析：由題意可得方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k×a1＝96，,k×a3＝54，))結合a>0且a≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))即y＝128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x，則該商品上架第4天的價格為128×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,2)＝(元)．6．設在海拔x(單位：m)處的大氣壓強為y(單位：kPa)，y與x的函數關系可近似地表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強為90kPa，則根據函數解析式，在海拔2000m處的大氣壓強為__81__kPa.解析：將(1000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq\f(ln,1000)，y與x的函數關系可近似表示為y＝100eeq\f(ln,1000)x，當x＝2000時，y＝100e2ln＝81.三、解答題7．某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過8萬元時，按銷售利潤的15%進行獎勵；當銷售利潤超過8萬元時，若超過A萬元，則超過部分按log5(2A＋1)進行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．(1)寫出獎金y關于銷售利潤x的解析式；(2)如果業(yè)務員小江獲得萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解：(1)由題意知，當0≤x<8時，y＝；當x>8時，y＝8×＋log5(2x－15)＝＋log5(2x－15)，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，0≤x<8，,＋log52x－15，x>8.))(2)由題意知＋log5(2x－15)＝，解得x＝20.所以小江的銷售利潤是20萬元．8．家用冰箱制冷使用的氟化物，釋放后破壞了大氣上層的臭氧層．臭氧含量Q呈指數函數型變化，滿足關系式Q＝Q0e－eq\f(t,400)，其中Q0是臭氧的初始量．(1)隨著時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？(2)多少年以后將會有一半的臭氧消失？(提示：ln2≈，ln3≈解：(1)因為Q0>0，－eq\f(1,400)<0，e>1,所以Q＝Q0e－eq\f(t,400)為減函數．所以隨著時間的增加，臭氧的含量是減少．(2)設x年以后將會有一半的臭氧消失，則Q＝Q0e－eq\f(x,400)＝eq\f(1,2)Q0,即e－eq\f(x,400)＝eq\f(1,2)，兩邊取自然對數，得－eq\f(x,400)＝lneq\f(1,2)，解得x＝400ln2≈.所以278年后將會有一半的臭氧消失．9．有時可用函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－,