第四講復合命題及推理

第四講復合命題及其推理（命題演算）

復合命題及其推理一、復合命題的定義二、復合命題的邏輯特征三、復合命題的基本形式和真值表四、復合命題推理一、復合命題的定義復合命題是指由簡單命題通過聯(lián)結詞組合構成的命題。一、復合命題的定義1.并非選修邏輯的學生都是文科生。2.小張歌唱得好并且舞跳得好。3.小明或者在圖書館，或者在宿舍。4.如果天下雨，那么我們就在家里學習。5.一個自然數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除如：從邏輯結構上分析，復合命題有兩個基本構成要素：支命題和聯(lián)結詞。支命題也可以包含復合命題。(12005/8)聯(lián)結詞是邏輯常項，因為聯(lián)結詞有確定的邏輯涵義，有什么樣的聯(lián)結詞決定了一個復合命題有什么樣的邏輯形式。

構成復合命題的命題為支命題；支命題被稱作邏輯變項，它是以命題為取值范圍的變項，我們用p,q,r…表示。顯然p,q,r代表任意命題，從而也代表一定的真值。邏輯只研究支命題與復合命題之間的真值關系。若以“天在下雨”和“地是濕的”為支命題，我們可構造出如下復合命題：如果天在下雨，那么地是濕的。天在下雨并且地是濕的。天在下雨或者地是濕的。天在下雨當且僅當?shù)厥菨竦?。四個不同的命題如果天在下雨，那么地是濕的。如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪動機。如果王武的計算機配置合理，那么它的價格低廉。以上命題有相同的邏輯形式：如果p，那么q。是同一形式的命題。

二、復合命題的邏輯特征復合命題則是由聯(lián)結詞聯(lián)結支命題而構成的，從這個意義上講，復合命題描述的是支命題之間的邏輯關聯(lián)。支命題之間的邏輯關聯(lián)就表現(xiàn)為:支命題的真假對整個復合命題的真假有制約關系。

復合命題的真假是由支命題的真假決定的。聯(lián)結詞不同，支命題之間的邏輯關聯(lián)就不同，支命題的真假對整個復合命題真假的制約情況就不同。

復合命題的真值表：

把一種形式的復合命題的支命題的真假對整個復合命題的真假的制約情況列出來，就得到一張表，稱為該種形式復合命題的真值表。二、復合命題的邏輯特征復合命題的真值表：pq

p或者q

1、TTT

2、TFT

3、FTT

4、FFF“T”表示真“F”表示假真值表描述了支命題的真假對一個復合命題真假的制約關系，因此，真值表實際上描述的是這一形式復合命題的邏輯特征。三、復合命題的基本形式和真值表

1.負命題：否定一個命題而形成的復合命題。如：(1)并非選修邏輯的學生都是文科生。(2)這個班的學生不都學英語。(3)如果它是三角形，則內角和等于180°，這個觀點不對。三、復合命題的基本形式和真值表

負命題的支命題可以是簡單命題，也可以是復合命題。負命題的形式:

并非p（?p）邏輯性質：負命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。P?pTFFT真值表：2.聯(lián)言命題：其聯(lián)結詞為聯(lián)言聯(lián)結詞的復合命題，也稱合取命題。在自然語言中，聯(lián)言聯(lián)結詞有多種表達形式，如在漢語中有“不但…而且…”,“既…又…”,“盡管…卻…”,“并且”等等。如：三、復合命題的基本形式和真值表

如下都是合取命題：

不僅小張沒去上課，而且小王也沒去。虛心使人進步，驕傲使人落后。他聰明，用功，成績優(yōu)異，為人誠懇。雪是白的，并且2+2=4。情有可原，理不可恕。理不可恕，情有可原。

例：菊花可以觀賞，并且菊花可以入藥。

前云南省省長李嘉廷不但犯有貪污罪，而且犯有受賄罪。聯(lián)言命題的邏輯形式：

p∧q讀作：“p并且q”。Pqp∧

qTTTTFFFTFFFF真值表：

聯(lián)言命題的邏輯特征可以概括為：一個聯(lián)言命題是真的，當且僅當它的每一個聯(lián)言支都真。注意邏輯形式中所研究的合取命題與自然語言聯(lián)言命題的區(qū)別，例如：“屢戰(zhàn)屢敗”等也是合取命題。

據(jù)說曾國藩帶兵鎮(zhèn)壓太平天國農民起義軍時，屢打敗仗，他必須上書朝廷報告戰(zhàn)況，并要表達自責之意。奏折中有“臣屢戰(zhàn)屢敗”這樣一句話。一個幕僚覺得這句話不妥，他認為朝廷看后一定會認為曾國藩無能，但又不能欺君，于是建議曾國潘把“屢戰(zhàn)屢敗”改為“屢敗屢戰(zhàn)”。曾國藩連聲叫“妙”，立即采納了這個建議。3.選言命題：其聯(lián)結詞為選言聯(lián)結詞的復合命題，也稱析取命題。在自然語言中，選言聯(lián)結詞有多種表達形式，如在漢語中有“….或者…”，“要么…要么…”，“不是

…就是…”，“可能…可能…”等等。三、復合命題的基本形式和真值表

他發(fā)燒到39度或者是由于腦膜炎，或者是由于肺部感染。如：三、復合命題的基本形式和真值表

一般認為有兩種選言命題：

1.相容的選言命題

2.不相容的選言命題。相容選言命題：相容的選言命題是指其支命題可以同時為真的選言命題。

邏輯形式：

p∨q讀作：“p或者q”。真值表：pqp∨qTTTTFTFTTFFF相容選言命題的邏輯特征：一個相容選言命題是假的，當且僅當它的每一個選言支都假；不相容的選言命題是指其支命題不可能同時為真的選言命題。如：這個三角形是鈍角的，或者是銳角的不相容選言命題：邏輯形式：

p

qpqp

qTTFTFTFTTFFF真值表：

不相容的選言命題可以用相容選言命題組合成聯(lián)言命題來定義

既然不相容的選言命題可能用相容選言命題組合成聯(lián)言命題來定義，因此，現(xiàn)代邏輯中只選取相容選言命題作為基本的命題形式。(12007/7)(14下004/8）

pq=（p∨q）∧（p∧q）

4.假言命題：也稱條件命題，是聯(lián)結詞為條件聯(lián)結詞的復合命題。如：如果你去圖書館，那么就不用等我了。只有有犯罪動機，才是犯罪嫌疑人。假言命題分為：充分條件假言命題必要條件假言命題換句話說，如果p為前件，q為后件，則有p必定有q，但無p則不一定無q。充分條件聯(lián)結詞的漢語表達形式有

“如果…那么…”，“若…則…”，（14下004/8）“一但…就…”，“只要…就…”等。充分條件命題的邏輯形式:p→q讀作：“若p則q”。a.充分條件命題：有之必然，無之不必然pqp→qTTTTFFFTTFFT真值表：

充分條件假言命題的邏輯特征：

除了前件為真而后件為假時充分條件命題是假的之外,其它情況下,充分條件假言命題都是真的。因為只有前件真而后件假違背“充分條件”的含義，其他情況都不違背“充分條件‘的含義。（14上1/8）實質蘊涵：

對一個涉及前件p和后件q蘊涵式（如p→q），邏輯上只考慮前件p和后件q之間的真假關系是否成立，而不考慮他們之間的語義關系等其他關系，這種對蘊涵的理解稱之為實質蘊涵。例如：如果雪是白的，那么2+2=4。這被稱為“實質蘊涵怪論”。其實，它只是用怪論的形式來強調命題邏輯的形式性——只考慮命題之間的真值關系而不考慮命題內容。換句話說，如果p為前件，q為后件，則無p必定無q，但有p則不一定有q。在這種情況下，p為q的必要條件。必要條件的聯(lián)結詞的漢語表達形式有：“只有…才”、“除非…不”等等。邏輯形式:

p←q讀作：“只有p才q”。b.必要條件命題：無之必不然，有之不必然。pqp←

qTTTTFTFTFFFT必要條件命題真值表：1.“只要…就…”與“只有…才…”的區(qū)別；1.只有年滿18歲，才有選舉權。2.只要年滿18歲，就有選舉權。（假）2.如果P與q有必要條件聯(lián)系，那么沒有p必定沒有q；也即，若是有q則必定有p，這意味著q是p的充分條件。(14上2/8)因此，如果前件是后件的必要條件，那么后件就是前件的充分條件。

（03下/８）練習：

某單位三位領導對于是否選派小丁、小馬出國作了各自的批示如下，甲：如果派小丁，則也要派小馬；乙：只有派小丁，才會派小馬；丙：或者派小丁，或者派小馬；用真值表方法解答，是否有一方案同時滿足三位領導的要求？（P→Q）∧（P←Q）∧（P∨Q）

p

q

p→q

p←q

p∨q

T

T

T

T

T

T

F

F

T

T

F

T

T

F

T

F

F

T

T

F5.等值命題：其聯(lián)結詞為等值聯(lián)結詞的復合命題。

在自然語言中，等值聯(lián)結詞一般為“當且僅當”等。邏輯形式

pq

讀作：“p當且僅當q”。亦即是充分而且必要條件假言命題。例：一個三角形是等邊的，當且僅當它是等角的。pqpq

TTTTFFFTFFFT真值表：四、復合命題推理1.聯(lián)言推理前提或結論為聯(lián)言命題的必然性推理。聯(lián)言推理有組合式和分解式兩種形式：

1）組合式由全部為真的支命題,推出其所構成的聯(lián)言命題為真，其推理的基本形式（記為+）是：

P

qpq例如：A公司的產品質量好，A公司的產品價格便宜，所以A公司的產品物美價廉。例：

2是偶數(shù)，2是素數(shù)；所以2既是偶數(shù)又是素數(shù)。記為：p

q∴pq也可以記為：（p,q）

pq1、聯(lián)言推理2）分解式由聯(lián)言命題真推出其支命題為真，其推理的基本形式（記為-）是：

p

qp(orq)例：小張能歌善舞，所以小張會唱歌（或會跳舞）。例：

桂花既可觀賞又可入藥。所以，桂花可以入藥。記為：pq∴p也可以記為：pq

p2.選言推理前提為選言命題，并根據(jù)選言命題的邏輯特征進行的推理。

1）相容選言推理根據(jù)相容選言命題進行的推理。其推理規(guī)則有二：

規(guī)則1：否定一部分選言支，就要肯定（保留）其余選言支；（否定肯定式）規(guī)則2：肯定一部分選言支，無法斷定其余部分選言支。（無肯定否定式）

①否定肯定式(記為-)

pqp

(q)q

(p)

也稱為選言三段論，或析取消去。

肯定否定式為無效推理形式。1）相容選言推理有效式:附：析取引入（記為+）

p

pq

當P為真時，q的真假對pq的真假無影響，所以可以引入。根據(jù)不相容選言命題的邏輯特征進行的推理。其推理規(guī)則有：

規(guī)則1：肯定一個選言支，就要否定其余的選言支；

規(guī)則2：否定一個選言支，就要肯定（保留）其余的選言支。根據(jù)規(guī)則，即有肯定否定式和否定肯定式兩種有效推理式：2）不相容選言推理①肯定否定式：

pq2）不相容選言推理②否定肯定式:

pq

p

q

p

q（不能有“析取引入”）3.假言推理以一個假言命題和一個直言命題為前提，并根據(jù)其邏輯特征進行的必然性推理。

（1）充分條件假言推理前提中有充分條件假言命題的推理。其規(guī)則有：

規(guī)則1：肯定前件就要肯定后件，否定后件

就要否定前件；規(guī)則2：否定前件不能確定后件，肯定后件不能確定前件。

即只能“肯前；否后”②否定后件式（逆分離式）ＭＴ：

p

qqp①肯定前件式（分離式）ＭＰ：

p

q

pq（1）充分條件假言推理其有效推理形式有二：

肯定后件式和否定前件式皆為無效推理形式。(12005/9)

肯定前件式：

pqp

∴

q

也可表示為

((pq),p)?q

或

(pq)∧p→q

這條規(guī)則亦叫做分離規(guī)則

(MP)。例：

如果不刻苦鉆研，就不能取得好成績；

自以為聰明的人不刻苦鉆研；

所以，這樣的人不能取得好成績。

否定后件式

pq

q

∴p

可記為：((pq),q)?p

或(pq)∧q→p

又稱逆分離規(guī)則(MT)

。例：

如果是高水平的領導，那么就懂得現(xiàn)代管理原理；張總不懂現(xiàn)代管理原理，所以，張總不是高水平的領導。例：如果物理學得好，那么就必須數(shù)學學得好；

肯定前件式：小楊物理學得好，所以他數(shù)學也學得好。否定后件式：小魯?shù)臄?shù)學學得不好，所以他的物理也學得不好。（2）必要條件假言推理

以必要條件假言命題為前提的推理。其規(guī)則有：

規(guī)則1：否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件；規(guī)則2：肯定前件不能確定后件，否定后件不能確定前件。即只能“否前；肯后”3.假言推理根據(jù)規(guī)則，有兩種有效推理形式：否定前件式只有努力學習，才能取得好的成績；小王學習不努力，所以不能取得好成績?？隙ê蠹剑褐挥信W習，才能取得好的成績；小李學習成績好，所以他一定努力了。

都是一個假言前提加上一個直言前提，得出一個直言命題，所以亦稱假言三段論。(12007/8)

①否定前件式：

p

qpq（2）必要條件假言推理②肯定后件式：

pqqp肯定前件式和否定后件式為無效推理形式。（14下004/9）必要條件假言命題可以轉化為充分條件假言命題：

前件是后件的必要條件，則后件是前件的充分條件。例如：只有陽光充足,莊稼才健康生長。這等于說：如果莊稼健康生長了，則說明陽光充足。

把兩種假言命題推理統(tǒng)一起來看，拋開變項的前后位置，可以看到推理只能從肯定箭尾的變項到肯定箭頭的變項，從否定箭頭的變項到否定箭尾的變項進行。

（p→q）∧p→

q（p→q）∧q→p

（p←q）∧

q→p（p←q）∧p→q（3）充分必要條件假言推理：

pq

顯然：肯定前件式、肯定后件式、否定前件式、否定后件式都成立。如：一個三角形是等邊的，當且僅當它是等角的，所以：這個三角形是等邊的，所以它是等角的。這個三角形是等角的，所以它是等邊的。這個三角形不是等邊的，所以它不是等角的。這個三角形不是等角的，所以它不是等邊的。等值命題的推理：

pqqp∴

p≡

q

這一推理形式稱為等值引入。等值命題可以用充分條件假言命題組合為聯(lián)言命題來定義，即：

（p≡q）＝df（pq）∧（qp）4.負命題推理（1）負直言命題推理負命題的支命題為直言命題的推理。其有效式有：

（SAP）SOP（SEP）SIP（SIP）SEP（SOP）SAP

就是直言命題對當方陣里的矛盾關系。注意Ｓ和Ｐ必須是同一素材的命題。支命題是復合命題的負復合命題推理。

1）負聯(lián)言命題推理

(pq)(pq)例：他不是能歌善舞的人他或者不會唱歌或者不會跳舞。

2)負選言命題推理

(pq)(pq)例：并非必須參加田徑比賽或者參加球類比賽

可以既不參加田徑比賽又不參加球類比賽。

以上稱為

德.摩根定理

（2）負復合命題推理3)負假言命題推理

(p→q)(pq)（前真而后假）

(p←q)(pq)（前假而后真）

（注意：都是箭頭所指向的變項被否定。負命題的真值就是使原命題為假的值）（14下002/9）4)負負命題推理

pp（雙重否定得肯定）4.純假言推理（假言聯(lián)鎖推理）(1)充分條件假言聯(lián)鎖推理：A）肯定式：

（p

q）（qr)(p

r)

就是前面講過的傳遞關系的推理。B)否定式：

（p

q）（qr)(rp)

例如：如果產生火星，就會引起燃燒；如果燃燒，就會發(fā)生爆炸；所以，（肯定式）如果發(fā)生火星就會引起爆炸。（否定式）要避免爆炸就不能產生火星。(2)必要條件假言聯(lián)鎖推理（教材P.93）A）否定式：

（p←

q）（q←r)(

p

r)B）肯定式：

（p←

q）（q←

r)(r

p)例如：只有認真聽課，才能取得好成績，只有取得好的成績，才能獲得獎學金；所以否定式：不認真聽課就不能獲得獎學金?？隙ㄊ剑阂@得獎學金就要認真聽課。注意：都是順著箭頭方向進行肯定，逆著箭頭方向進行否定。(3)混合條件假言聯(lián)鎖推理A)肯定前件式：（p←→

q）（qr)(p

r)B）否定后件式：（p←→

q）（qr)(r

p)C）否定前件式：（p←→

q）（q←r)(p

r)D)肯定后件式：（p←→

q）（q←r)(r

p)

充要條件假言命題+充分條件假言命題

or:充要條件假言命題+必要條件假言命題作前提。注意：如果有一個前提是充分條件命題，就適用充分條件假言推理的規(guī)則；如果有一個前提是必要條件假言命題，就適用必要條件假言推理的規(guī)則。（4）假言易位推理

（教材P.96）

即以一個假言命題作前提，將其中的前、后件的位置加以交換，仍得出一個假言命題。Ａ）充分條件假言易位推理：

如果Ｐ則Ｑ，所以，如果非Ｑ則非Ｐ。（p→q）→（q→p)Ｂ）必要條件假言易位推理：

只有Ｐ才Ｑ，所以，如果Ｑ則Ｐ。

（p←q）→（q→p)

我們只能順著箭頭方向進行肯定（從肯定箭尾到肯定箭頭），逆著箭頭方向進行否定（從否定箭頭到否定箭尾）。

與假言三段論的區(qū)別：前提是一個假言命題，結論也是一個假言命題。(13下005/9)（14上1/9（10）)練習：

下列命題是那種復合命題？指出它們的邏輯聯(lián)結詞和支命題。1.只要下定決心，就可以克服困難。2.理論一旦掌握群眾，就會形成物質力量。3.當氣體的質量一定時，氣體的體積和壓力的乘積，跟它的絕對溫度成正比。4.謙虛使人進步，驕傲使人落后。5.會憎，才會愛。6.若要人不知，除非己莫為。

7.沒有革命的理論，就沒有革命的行動。8.不破不立，不塞不流，不止不行。9.凡事預則立，不預則廢。10.不是東風壓倒西風，就是西風壓倒東風。11.現(xiàn)在不是西風壓倒東風，而是東風壓倒西風。12.并非所有參加民主運動的人都是馬克思主義者。

將下列命題符號化，并用真值表表示其與支命題間的真值關系：1.高水平的舞蹈演員不怕吃苦并且還有常人不具備的毅力。2.學術上有建樹的人，或者學習刻苦或者方法好。3.如果邏輯學是使人更聰明的學問，那么人人都應當認真學習邏輯學。4.只有理解自然語言，才能對自然語言提出有深度的問題。5.當且僅當具有推理能力，才能推演出所需的答案。復合命題推理習題1.某小島上男性公民分為騎士和無賴。騎士只講真話，無賴只講假話。甲和乙是該島上的公民，關于他倆，甲說了這句話：

“或者我是無賴，或者我是騎士”根據(jù)上述條件，可推出以下哪項結論？A.甲和乙都是騎士；B.甲和乙都是無賴；C.甲是騎士，乙是無賴；D.甲是無賴，乙是騎士；A.甲和乙都是騎士；B.甲和乙都是無賴；C.甲是騎士，乙是無賴；D.甲是無賴，乙是騎士；設：p:甲是騎士（?p:甲是無賴）

q:乙是騎士（?q:乙是無賴）（P∧q）∨（?P∧?q）∨（P∧?q）∨（?P∧q）

甲說的是邏輯真理，當然是真話，所以甲是騎士，首先排除B和D兩種可能。A和C是不相容關系。如果甲說的只是自己，則A真或C真不能確定；如果說的是兩人，則A真而C假。

（13下003/9)（14上2/9)2.已知下列四個命題中只有一個為真：（1）或小周不學日語，或小陳不學日語（2）只有小周學日語，小陳才學日語（3）小劉學日語，并且，小陳也學日語（4）小周不學日語

由此可以判斷小周、小陳、小劉三人中誰一定學日語？（1）或小周不學日語，或小陳不學日語（2）只有小周學日語，小陳才學日語（3）小劉學日語，并且，小陳也學日語（4）小周不學日語

設：P：小周學日語；q:小陳學日語；r:小劉學日語

(?p∨?q)（p←q）（q∧r)?p

4個復合命題只有一個真，即為不相容的析取關系。根據(jù)題意，首先可以排除（4）真，因為（4）真會導致（1）也真，所以小周一定學日語。小周學日語，假設（１）真（小陳也不學日語）

→（２）真（前真而后假），違背題意→（１）假（小周和小陳都學日語）→（2）真，其余為假。(12005/10)（１３上/８）3.甲、乙、丙三人爭奪圍棋決賽前三名，小林預測：只有甲不是第一，丙才第二。小李預測：丙不是第二。

事實證明小林和小李兩人的預測只有一人為真，則甲、乙、丙三人的名次為：

A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.甲、丙、乙

D.乙、丙、甲

E.丙、甲、乙Ｆ．丙、乙、甲小林預測：“只有甲不是第一，丙才第二?！毙±铑A測：“丙不是第二?！?/p>

設：Ｐ：甲第一；Ｑ：丙第二則：（（Ｐ←Ｑ）∨Ｑ）∧(（Ｐ←Ｑ）∧Ｑ）)

注意到小李的預測是對小林預測的后件的否定，如果小李預測真，會導致小林預測也真（必要條件無否定后件式），所以小李預測假，小林預測真，即：丙為第二，甲不是第一（肯定后件而肯定前件）。

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.甲、丙、乙D.乙、丙、甲

E.丙、甲、乙F.丙、乙、甲6種可能性中只有D滿足條件(12007/9)

pqp←

qTTTTFTFTFFFT

以上兩個例子中，都涉及必要條件假言命題，它只有在前件假而后件真時才為假，如果后件為假，則前件無論真假它都為真。真值表：4.對某盜竊案三位嫌疑犯來說，下列事實成立：（1）A、B、C中至少一人有罪（2）A有罪時，B、C與之同案（3）C有罪